Matrisler, Tensörler ve Tropikal Cebir: Arbitraj Tespiti için Lineer Cebir

"Vadeli İşlemler ve Spot Arasındaki Karmaşık Arbitraj Zincirleri" serisinin 4. Bölümü

Yüzlerce tüccarın eş zamanlı olarak döviz değiştirdiği devasa bir salon hayal edin. Her birinin kendi kurları, ücretleri ve özellikleri vardır. Elinde bir defteriyle ortada duruyorsunuz ve kâr getirecek bir değişim rotası bulmaya çalışıyorsunuz: dolardan euroya, eurodan yene, yenden tekrar dolara—ve başladığınızdan daha fazlasıyla ayrılıyorsunuz. Kaybolmak çok kolay. Ancak tüm kurları bir tabloya—bir matrise—yazarsanız, kaos birden yapı kazanır. Bu matrisin özdeğerleri arbitraj olup olmadığını söyleyecektir. Tropikal cebir en uygun rotayı bulacaktır. Tensör ayrışımları ise çıplak gözle görülemeyen örüntüleri ortaya çıkaracaktır.

Bu makalede, basit bir döviz kuru tablosundan gelişmiş çok boyutlu analiz yöntemlerine uzanan bir yolculuğa çıkacağız—ve her adım Rust'ta bir uygulama ile desteklenecek.

Kripto paralar arasındaki döviz kuru matrisinin görselleştirilmesi: grafik kenarları işlem çiftlerini, vurgulanan döngü ise tespit edilen bir arbitraj fırsatını temsil eder.

1. Döviz Kuru Matrisi: Temel

1.1 Kaostan Tabloya

Diyelim ki n varlığımız var: BTC, ETH, USDT, SOL vb. Her çift belirli bir kurla değiştirilebilir. Döviz Kuru Matrisi R, n × n boyutunda bir tablodur; burada R[i][j] elemanı, i varlığının bir birimi karşılığında kaç birim j varlığı aldığımızı gösterir.

İyi oluşturulmuş bir matrisin özellikleri:

• Köşegen: R[i][i] = 1—bir varlığı kendisiyle değiştirmek hiçbir şeyi değiştirmez.
• Pozitiflik: tüm çiftler için R[i][j] > 0.
• Karşılıklılık (ideal bir piyasada): R[i][j] * R[j][i] = 1.

Rust'ta bunu nalgebra kullanarak temsil edebiliriz:

use nalgebra::DMatrix;

/// İşlem çiftleri kümesinden bir döviz kuru matrisi oluşturur
fn build_exchange_rate_matrix(
    assets: &[&str],
    rates: &[((usize, usize), f64)],
) -> DMatrix<f64> {
    let n = assets.len();
    let mut matrix = DMatrix::from_element(n, n, 0.0);

    // Köşegen: kendisiyle değişim = 1
    for i in 0..n {
        matrix[(i, i)] = 1.0;
    }

    // Bilinen kurları doldur
    for &((i, j), rate) in rates {
        matrix[(i, j)] = rate;
        // Karşılıklı kur (doğrudan kur yoksa)
        if matrix[(j, i)] == 0.0 {
            matrix[(j, i)] = 1.0 / rate;
        }
    }

    matrix
}

1.2 Arbitraj Yok Koşulu

İşte her şeyin üzerine inşa edildiği temel teorem.

Teorem. Bir piyasa arbitrajdan arınmış ise ve yalnızca ise, herhangi bir (i₁, i₂, ..., iₖ, i₁) varlık döngüsü için döngü boyunca döviz kurlarının çarpımı bire eşittir:

R[i₁][i₂] * R[i₂][i₃] * ... * R[iₖ][i₁] = 1

Eşdeğer formülasyon: Bir R matrisi arbitrajsızdır, yalnızca ve yalnızca rankı 1 ise (çarpımsal anlamda). Bu, şu şekilde bir p = (p₁, p₂, ..., pₙ) fiyat vektörünün var olduğu anlamına gelir:

R[i][j] = pj / pi   tüm i, j için

R matrisi, bir dış çarpım olarak R = (1/p) * pᵀ şeklinde ayrışır—bu da rank-1 bir matristir. Gerçek matris rank 1'den sapıyorsa—bir yerde bir arbitraj fırsatı gizleniyor demektir.

2. Özdeğer Yöntemi: O(n³) Uzayında Arbitraj

2.1 Ming Ma'nın Teoremi

Arbitraj tespitine yönelik en zarif yaklaşımlardan biri 2007 yılında Ming Ma tarafından önerilmiştir. Fikir son derece basittir.

Teorem (Ming Ma). R, n × n boyutunda bir döviz kuru matrisi olsun. Piyasa arbitrajsızsa:

1. En büyük özdeğer λ_max = n.
2. Diğer tüm özdeğerler sıfıra eşittir.
3. Karşılık gelen v özvektörü denge fiyatlarını temsil eder.

Neden işe yarar? Arbitrajsız bir matrisin rankı 1'dir ve izi (köşegen elemanlarının toplamı) n'e eşittir (çünkü her R[i][i] = 1). Rank-1 bir matris için, yalnızca sıfırdan farklı özdeğer ize eşittir. Dolayısıyla λ_max = n.

Arbitraj kriteri: Arbitraj varsa ve yalnızca varsa λ_max > n. δ = λ_max - n sapması, arbitraj fırsatının ölçeğini sayısal olarak tahmin eder.

3. Tropikal (Max-Artı) Cebir: En Zarif Yöntem

3.1 Toplama Maksimum Olduğunda

Bu, çalışmamızdaki belki de en güzel keşiftir. Tropikal cebir, alışılageldik işlemlerin yeniden tanımlandığı bir cebirsel sistemdir:

• "Toplama": a ⊕ b = max(a, b)
• "Çarpma": a ⊗ b = a + b

Bu cebirde matris çarpımı, otomatik olarak ağırlıkların maksimum toplamına sahip yolu arar. Bu, en kârlı arbitraj döngüsünü bulmak için tam olarak ihtiyaç duyulan şeydir.

3.2 Tropikal Özdeğer ve Arbitraj

Kurların log matrisini alın: L[i][j] = ln(R[i][j]). L matrisinin tropikal özdeğerini λ hesaplayın.

Teorem. λ > 0 ise ve yalnızca ise arbitraj vardır. Üstelik, exp(λ) en iyi döngünün kâr çarpanıdır.

/// Tropikal (max-artı) matris çarpımı
fn tropical_matmul(a: &DMatrix<f64>, b: &DMatrix<f64>) -> DMatrix<f64> {
    let n = a.nrows();
    let m = b.ncols();
    let k = a.ncols();
    let mut result = DMatrix::from_element(n, m, f64::NEG_INFINITY);

    for i in 0..n {
        for j in 0..m {
            for l in 0..k {
                // Tropikal çarpma: toplam yerine max, * yerine +
                let val = a[(i, l)] + b[(l, j)];
                if val > result[(i, j)] {
                    result[(i, j)] = val;
                }
            }
        }
    }
    result
}

4. PCA ve Faktör Modelleri: İstatistiksel Arbitraj

Deterministik arbitrajdan (doğrudan fiyat tutarsızlıkları) bir faktör modelinden sistematik sapmaları bulmaya yönelik istatistiksel arbitraja geçiş yapıyoruz.

Temel Bileşen Analizi (PCA), varlık getirilerini sistematik faktörlere ve özgün artıklara ayırır:

ri(t) = αi + Σk βik * Fk(t) + εi(t)

burada Fk(t) k-inci faktör, βik yük ve εi(t) artıktır—yani arbitraj sinyali.

4.1 Rastgele Matris Teorisi (RMT)

Temel soru: kaç faktör tutulacak? Marchenko-Pastur dağılımı, rastgele bir kovaryans matrisinin özdeğer spektrumunu tanımlar. Üst sınır $λ_+$ üzerindeki özdeğerler gerçek sinyaller taşırken, sınır içindekiler gürültüdür.

5. Tensör Yöntemleri: Arbitrajın Üçüncü Boyutu

Kripto para arbitrajı aynı anda birden fazla boyutu kapsar. Kur matrisi yalnızca 2 boyutlu bir dilimdir. Gerçek tablo bir Tensördür:

T(a, e, i) = a varlığının e borsasındaki i enstrümanı için fiyat/kur

Boyutlar:

• Mod 1 (Varlıklar): BTC, ETH, SOL, ...
• Mod 2 (Borsalar): Binance, Kraken, Coinbase, ...
• Mod 3 (Enstrümanlar): Spot, Sürekli, Vadeli İşlemler, ...

CP-Ayrışımı (CANDECOMP/PARAFAC), tensörü rank-1 tensörlerin toplamına ayrıştırır. T - T_approx artıkları, belirli fiyat/borsa/enstrüman kombinasyonlarının genel piyasa faktör yapısına göre yanlış fiyatlandırıldığı anomalileri ortaya çıkarır.

Sonuç

Basit tablolardan çok boyutlu tensörlere kadar lineer cebir, kripto para piyasası için resmi bir dil sağlar. Rust ise bu karmaşık modelleri HFT için gereken hızda çalıştırmamızı sağlar.

Bir sonraki bölümde, sinir ağlarının nasıl işlem yapmayı öğrendiğine bakarak Arbitraj için GNN, Transformerlar ve RL konularını inceleyeceğiz.

Yüksek boyutlu sinyalleri işliyor musunuz? GitHub'daki Tensör Tabanlı İşlem Motorumuza göz atın.