Zarar-Foyda Asimmetriyasi: Depozitingizni Yo'q Qiluvchi Matematika

Nima uchun 50% zararni qoplash uchun 100% o'sish kerak, volatillik drag (volatility drag) yon tomonga siljigan bozorlarda ham kapitalni qanday yo'q qilishi, va har bir algo-treyder xavflarni boshqarishni qurish uchun bilishi kerak bo'lgan formulalar.

Intuitsiyani Buzadigan Jumboq

Tasavvur qiling: aktiv 70% ga o'sdi, keyin 70% ga tushdi. Yoki aksincha — avval tushdi, keyin o'sdi. Qaysi stsenariy ko'proq foydali?

Javob: ikkalasi ham bir xilda foydasiz. Ko'paytirish kommutativ:

$100 \times 1.7 \times 0.3 = 100 \times 0.3 \times 1.7 = 51$

Siz "nol" narx harakatida kapitalingizning 49% ini yo'qotdingiz. Bu xato emas — bu daromadlarning ko'paytiruvchi tabiatining fundamental xususiyatidir.

Nima Uchun Zararlar Foydadan "Og'irroq"

Foizli daromad ko'paytiruvchi fazodagi amaldir. 50% zarar ko'rish 0,5 ga ko'paytirishni anglatadi, boshlang'ich nuqtaga qaytish uchun esa 2 ga ko'paytirish kerak — ya'ni 100% topish kerak.

Tiklash Formulasi

Agar siz kapitalingizning $x\%$ ini yo'qotgan bo'lsangiz, boshlang'ich balansga qaytish uchun zarur bo'lgan daromad:

$R_{recovery} = \frac{x}{100 - x} \times 100\%$

Chiqarish oddiy. Boshlang'ich kapital $C$ bo'lsin. $x\%$ zarardan keyin:

$C_{after} = C \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Tiklash uchun $C_{after} \cdot (1 + R) = C$, demak:

$R = \frac{C}{C_{after}} - 1 = \frac{1}{1 - x/100} - 1 = \frac{x}{100 - x}$

Asimmetriya Jadvali

Asimmetriya koeffitsiyenti chiziqli bo'lmagan tarzda o'sadi. 50% zarardan keyin siz strategiyani o'zgartirmasdan chiqib ketish statistik jihatdan deyarli mumkin bo'lmagan zonaga kirasiz.

Volatillik Drag: Yon Tomonga Siljigan Bozorlardagi Sokin Qotil

Bozor "qimirlamay" tursa ham, faqat volatillikning o'zi kapitalni yo'q qiladi. Bu hodisa volatillik drag (yoki variance drain) deb ataladi.

Rasmiy Ta'rif

$r_1, r_2, \ldots, r_n$ kunlik daromadlar ketma-ketligi uchun geometrik (haqiqiy) daromad:

$G = \prod_{i=1}^{n}(1 + r_i) - 1$

Arifmetik (o'rtacha) daromad:

$\bar{r} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} r_i$

Ular orasidagi bog'liqlik taxminan quyidagicha:

$G \approx \bar{r} - \frac{\sigma^2}{2}$

bu yerda $\sigma^2$ — daromadlarning dispersiyasi. $\frac{\sigma^2}{2}$ hadi — volatillik drag.

Misol: Kunlik Volatilligi 5% Bo'lgan Yon Tomonga Siljigan Bozor

Faraz qilaylik, aktiv har kuni teng ehtimollik bilan tasodifiy ravishda 5% ga o'sadi yoki tushadi. Arifmetik o'rtacha = 0%. Lekin geometrik daromad:

$G \approx 0 - \frac{0.05^2}{2} = -0.125\%$

252 savdo kuni davomida: $(1 - 0.00125)^{252} \approx 0.729$, ya'ni "nol" o'rtacha harakatda yiliga -27,1%.

Odatda kunlik volatilligi 3–8% bo'lgan kripto bozori uchun bu yo'nalishli trendsiz volatil aktivni ushlab turish kapital yo'qotishga kafolat berishini bildiradi.

Amaliy Qo'llanish: Python Simulyatsiyasi

import numpy as np

def simulate_volatility_drag(daily_vol: float, days: int = 252, simulations: int = 10_000) -> dict:
    """
    Monte Carlo simulation of volatility drag.

    Args:
        daily_vol: daily volatility (0.05 = 5%)
        days: number of trading days
        simulations: number of simulations

    Returns:
        Statistics of real (geometric) returns
    """
    daily_returns = np.random.normal(0, daily_vol, (simulations, days))

    cumulative = np.prod(1 + daily_returns, axis=1)
    geo_returns = cumulative - 1

    theoretical_drag = -0.5 * daily_vol**2 * days

    return {
        "mean_geometric_return": np.mean(geo_returns),
        "median_geometric_return": np.median(geo_returns),
        "theoretical_drag": theoretical_drag,
        "prob_loss": np.mean(geo_returns < 0),
        "worst_5pct": np.percentile(geo_returns, 5),
        "best_5pct": np.percentile(geo_returns, 95),
    }

result = simulate_volatility_drag(daily_vol=0.04)
print(f"Mean geometric return:  {result['mean_geometric_return']:.2%}")
print(f"Theoretical drag:       {result['theoretical_drag']:.2%}")
print(f"Probability of loss:    {result['prob_loss']:.2%}")
print(f"Worst 5%:               {result['worst_5pct']:.2%}")

BTC ga o'xshash volatillik uchun odatiy natija:

Mean geometric return:  -17.34%
Theoretical drag:       -20.16%
Probability of loss:     63.28%
Worst 5%:               -72.41%

Algo-treyding Uchun Oqibatlar

1. Risk/Reward va Kelli Mezoni

Zararlar asimmetriyasini bilgan holda, optimal pozitsiya hajmi Kelli mezoni orqali hisoblanadi:

$f^* = \frac{p \cdot W - (1 - p) \cdot L}{W \cdot L}$

bu yerda $p$ — yutish ehtimoli, $W$ — o'rtacha yutuq, $L$ — o'rtacha zarar (garovning ulushi sifatida).

Amaliy treyding uchun fraksion Kelli ($f^{*}/2$ yoki $f^{*}/3$) qo'llaniladi, u uzoq muddatli daromadning faqat ozgina kamayishi bilan kapital volatilligini kamaytiradi.

2. Maksimal Drawdown va Pozitsiya Hajmi

Agar strategiya $D_{max}$ maksimal drawdownga ruxsat bersa va stop-loss $S\%$ da o'rnatilgan bo'lsa, kritik drawdowngacha ketma-ket stoplar maksimal soni:

$n = \frac{\ln(1 - D_{max})}{\ln(1 - S)}$

Misol: $D_{max} = 20\%$ va $2\%$ stop-loss bilan:

$n = \frac{\ln(0.8)}{\ln(0.98)} = \frac{-0.2231}{-0.0202} \approx 11$

Strategiya 11 ta ketma-ket stopga bardosh bera oladi. Win rate ni bilgan holda, biz bunday ketma-ketlik ehtimolini baholay olamiz:

$P(n\ \text{stops}) = (1 - WR)^n$

45% win rate da: $P = 0.55^{11} \approx 0.14\%$ — qabul qilinishi mumkin bo'lgan xavf.

3. Strategiyaning Geometrik Kutilishi

Strategiyaning haqiqiy uzoq muddatli daromadi bitimlarning arifmetik o'rtachasi emas, balki geometrik kutilishdir:

$E_{geo} = (1 + W)^p \times (1 - L)^{(1-p)} - 1$

$W = 3\%$, $L = 1\%$, $WR = 40\%$ bo'lgan strategiya:

$E_{geo} = 1.03^{0.4} \times 0.99^{0.6} - 1 = 1.01194 \times 0.99401 - 1 = +0.59\%$

$W = 3\%$, $L = 3\%$, $WR = 50\%$ bo'lgan strategiya ("nol" kabi ko'rinadi):

$E_{geo} = 1.03^{0.5} \times 0.97^{0.5} - 1 = 1.01489 \times 0.98489 - 1 = -0.045\%$

Win rate 50% bo'lgan simmetrik R:R strategiyasi volatillik drag tufayli foydasizdir.

4. Kredit Yelkasi: Yelka Strategiyani Buzganda

Kredit yelkasi nafaqat daromadlarni, balki volatillik dragni ham ko'paytiradi. Kredit yelkasisiz drag $\frac{\sigma^2}{2}$ ga teng; $L$ kredit yelkasi bilan u $\frac{L^2 \sigma^2}{2}$ ga aylanadi. Kredit yelkasi ostida kapitalning geometrik o'sish tezligi:

$g(L) = L \cdot \mu - \frac{L^2 \sigma^2}{2}$

bu yerda $\mu$ — kutilayotgan daromad, $\sigma$ — aktivning volatilligi.

3× kredit yelkasi dragni 3 emas, 9 marta oshiradi. 10× kredit yelkasi — 100 marta. 100× kredit yelkasi — 10 000 marta.

Optimal Kelli Kredit Yelkasi

$g(L)$ ning maksimumi quyidagi nuqtada erishiladi:

$L^* = \frac{\mu}{\sigma^2}$

Bu nazariy optimumdir. Amaliyotda pozitsiya hajmini belgilashdagi kabi sabablarga ko'ra fraksion Kelli ($L^*/2$ yoki $L^*/3$) qo'llaniladi: $\mu$ ning noaniq bahosi, "yog'li dum" taqsimotlari va statsionar bo'lmagan volatillik.

Jadval: Kredit Yelkasi, Likvidatsiya va Volatillik Drag

Maqsadli Drawdowndan Maksimal Kredit Yelkasi

Agar siz maksimal drawdownni $D_{max}$ bilan cheklasangiz va aktivning 99% ishonch darajasidagi kunlik VaR qiymati $V$ bo'lsa:

$L_{max} = \frac{D_{max}}{V}$

Jadvaldan xulosa: o'zining volatilligi bilan kripto bozori uchun 3× ning o'zi allaqachon agressiv kredit yelkasidir. Kripto birjalaridagi mashhur 50×–125× — bozorning birinchi normal harakatida matematik jihatdan kafolatlangan likvidatsiyadir.

Kredit Yelkasini Tanlash Uchun Amaliy Formula

Mustahkam yondashuv — bir nechta baholarning minimumini olishdir:

$L_{opt} = \min\left(\frac{L_{Kelly}}{2},\quad \frac{D_{max}}{VaR},\quad \frac{\sigma_{target}}{\sigma_{current}},\quad L_{exchange}\right)$

bu yerda:

• $\frac{L_{Kelly}}{2}$ — fraksion Kelli (optimal kredit yelkasining yarmi)
• $\frac{D_{max}}{VaR}$ — maksimal drawdown cheklovi
• $\frac{\sigma_{target}}{\sigma_{current}}$ — vol-targeting (maqsadli portfel volatilligiga moslashtirish)
• $L_{exchange}$ — birja limiti

Minimum hech qanday cheklov buzilmasligini ta'minlaydi. Amaliyotda drawdown cheklovi odatda eng cheklovchisi hisoblanadi.

Interaktiv kalkulyator: Optimal Leverage Calculator ni sinab ko'ring — strategiya parametrlaringizni kiriting va vizualizatsiya bilan barcha to'rtta usul bo'yicha optimal kredit yelkasini oling.

Savdo Tizimlarini Qurish Uchun Xulosalar

Zararlarni boshqarish foydali kirishlarni topishdan matematik jihatdan muhimroqdir. Bu motivatsion shior emas — bu ko'paytiruvchi daromadlar asimmetriyasining natijasidir.

Aniq qoidalar:

1. Stop-losslar majburiy. Zararning har bir foizi tiklanishni eksponensial ravishda qiyinlashtiradi. 25% dan yuqori drawdown (+33% talab qiladi) — qizil zona.

2. Minimal R:R = 1:2. Simmetrik R:R da hatto 50% win rate ham foydasizdir. Faqat foyda foydasiga asimmetrik R:R volatillik dragni qoplaydi.

3. Hajmni belgilash uchun fraksion Kelli. To'liq Kelli nazariy jihatdan optimal, lekin amaliyotda $f^{*}/2$ kapital volatilligining 50% i bilan daromadning 75% ini beradi.

4. Volatillik — edgsiz sizning dushmaningiz. Yon tomonga siljigan bozorda yuqori volatil aktivlar uchun oddiygina pozitsiyani ushlab turish zarar keltiradi. Agar sizda statistik edge bo'lmasa — savdo qilmang.

5. Arifmetik emas, geometrik kutilishni hisoblang. Bitim boshiga o'rtacha foydani ko'rsatadigan backtest yolg'on gapiradi — haqiqiy daromad har doim $\frac{\sigma^2}{2}$ ga kamroq.

6. Kredit yelkasi formulalardan, ochko'zlikdan emas. Maksimal kredit yelkasini hisoblash uchun $L_{max} = D_{max} / VaR$ formulasidan foydalaning. Kunlik VaR 8% va maqsadli drawdown 20% bo'lgan kripto uchun bu 2,5× ni beradi — 50× ham, 125× ham emas.

Xulosa: To'g'ri Hisoblang — Uzoqroq Yashang

Daromadlarning ko'paytiruvchi tabiatini tushunish akademik mashg'ulot emas. Bu har qanday yashovchan savdo tizimi quriladigan poydevordir.

Ko'pchilik treyderlar bozorga "intuitsiya" yoki insayder ma'lumot yetishmasligi sababli yutqizmaydi — ular qo'shuvchi fazoda (arifmetik o'rtacha) qaror qabul qilishlari sababli yutqizadilar, bozor esa ko'paytiruvchi fazoda (geometrik o'rtacha) ishlaydi.

Har bir bitimdan oldin berish kerak bo'lgan uchta savol:

1. Agar stop ishga tushsa — men tiklanishim mumkinmi? $R_{recovery} = \frac{x}{100-x}$ formulasi javobni darhol beradi. Bitim boshiga xavf 10% dan oshganda, tiklanish nomutanosib kuch talab qila boshlaydi.

2. Mening statistik edgeim bormi? Agar yo'q bo'lsa — savdo qilmang. Faqat volatillikning o'zi volatillik drag orqali zararga kafolat beradi. Volatillik ostida edgening yo'qligi — kapitalning sekin, ammo muqarrar yo'q bo'lishidir.

3. Mening strategiyamning geometrik kutilishi qanday? Bitim boshiga o'rtacha foyda emas, win rate foizi emas — aynan $E_{geo}$. Bu haqiqiy uzoq muddatli samaradorlikni ko'rsatadigan yagona ko'rsatkichdir.

Algo-treyding kod yozishdan emas, matematikadan boshlanadi. Kod — bu allaqachon matematik tekshiruvdan o'tgan strategiyani amalga oshirish vositasi xolos. Bu tekshiruvsiz mukammal yozilgan algoritm ham depozitingizni tizimli ravishda kamaytiradi.

Bozor xatolarni jazolamaydi — u shunchaki kapitalni noto'g'ri hisoblovchilardan to'g'ri hisoblovchilarga qayta taqsimlaydi.

Keyingi mavzu: o'rtacha-dispersiya usullaridan foydalangan holda portfelni optimallashtirish — diversifikatsiya qachon ishlaydi va qachon u xavfsizlik illyuziyasiga aylanadi.

Iqtibos

@article{soloviov2026lossprofitasymmetry,
  author = {Soloviov, Eugen},
  title = {Loss-Profit Asymmetry: The Math That Kills Your Deposit},
  year = {2026},
  url = {https://marketmaker.cc/en/blog/post/loss-profit-asymmetry},
  version = {0.1.0},
  description = {Why losing 50% requires 100% growth to recover, how volatility drag destroys capital even in sideways markets, and which formulas every algo trader must know for risk management.}
}