Physics-Informed Neural Networks for Options Pricing

將 PINN 應用於衍生品的有趣之處不在於 Black-Scholes。Black-Scholes 有封閉形式；能夠重現它的網路只是合理性檢查，而不是成果。有趣的是那些沒有封閉形式、且有限差分也無法繼續前進的問題：帶有混合偏導數 $\partial^2 V / \partial S \partial v$ 的 Heston 雙因子 PDE、美式選擇權的自由邊界問題，以及 Merton 的偏積分微分方程，其積分項會把定義域中的每一個點與其他所有點耦合起來。

本文說明如何將上述每一項放入損失函數。具體包括：讓 Black-Scholes PINN 能夠訓練的對數價格殘差、交叉導數由 autograd 自動取得的三輸入 Heston 網路、以懲罰項和雙網路處理提前履約，以及將跳躍積分放入 PDE 殘差的 Gauss-Hermite 求積法。

本文不是基準測試。下文任何看似結果的數字，要麼是目標，要麼是引用，並且會明確標示。測量工作範圍列在文末。

PINN 由 Raissi 等人（2019）提出；本部落格的 Navier-Stokes 問題已介紹其運作方式，其中同樣的自動微分殘差技巧用於在流體方程中尋找奇異點：PDE 變成損失項，自動微分提供網路相對於輸入的精確導數，而且完全不需要建立網格。這裡唯一改變的是放入損失函數的 PDE。

將 Black-Scholes PDE 作為物理約束

Black-Scholes PDE、其終端支付 $\max(S-K,0)$ 以及背後的無套利論證，已在 Black-Scholes 公式中介紹——本節假定讀者已了解這些內容，直接進入網路實際可以訓練的形式。

對數價格轉換

直接使用 $S$ 會帶來問題：定義域是 $[0, \infty)$，而 PDE 含有變動係數。標準變換 $x = \ln(S)$ 可將其轉為常係數形式：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)\frac{\partial V}{\partial x} - rV = 0$

這是定義於 $x \in (-\infty, \infty)$ 上的對流—擴散—反應方程。變動係數 $S^2$ 和 $S$ 消失了，這對網路很重要：大小隨 $S^2$ 縮放的殘差會由定義域的遠端主導，最佳化器也會把資源花在那裡。

Black-Scholes 的 PINN 損失

令 $u_\theta(x, t)$ 為網路。在內部取樣 $N_r$ 個配置點 $(x_i, t_i)$，在邊界取樣 $N_b$ 個，在終端時間取樣 $N_0$ 個：

$\mathcal{L}_{\text{PDE}} = \frac{1}{N_r}\sum_{i=1}^{N_r}\left[\frac{\partial u_\theta}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 u_\theta}{\partial x^2} + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)\frac{\partial u_\theta}{\partial x} - r u_\theta\right]^2$

$\mathcal{L}_{\text{IC}} = \frac{1}{N_0}\sum_{j=1}^{N_0}\left[u_\theta(x_j, T) - \max(e^{x_j} - K, 0)\right]^2$

$\mathcal{L}_{\text{BC}} = \frac{1}{N_b}\sum_{k=1}^{N_b}\left[u_\theta(x_{\min}, t_k)\right]^2 + \frac{1}{N_b}\sum_{k=1}^{N_b}\left[u_\theta(x_{\max}, t_k) - (e^{x_{\max}} - Ke^{-r(T-t_k)})\right]^2$

每個偏導數都透過 torch.autograd.grad 並設定 create_graph=True 計算，因此反向傳播時梯度會穿過導數計算。這個單一旗標就是整個實作技巧的核心。

PyTorch 實作

以下參數帶有加密貨幣特色，而不是教科書設定：$\sigma = 0.7$ 和 $T = 0.08$（約 30 天的 BTC 選擇權），而非股票交易台常用的 $\sigma = 0.2$、$T = 1.0$。短到期日加上高波動率，是支付函數折點最尖銳、PINN 也最難訓練的情境——這正是重點。

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

r = 0.05        # risk-free rate
sigma = 0.7     # volatility
K = 1.0         # strike (moneyness-normalized)
T = 0.08        # ~30 days
x_min, x_max = -1.0, 1.0  # log-price domain (S/K in [0.37, 2.72])

device = torch.device("cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu")


class BSPINN(nn.Module):
    """Physics-Informed Neural Network for Black-Scholes PDE."""

    def __init__(self, hidden_dim=128, num_layers=4):
        super().__init__()
        layers = [nn.Linear(2, hidden_dim), nn.Tanh()]
        for _ in range(num_layers - 1):
            layers += [nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim), nn.Tanh()]
        layers.append(nn.Linear(hidden_dim, 1))
        self.net = nn.Sequential(*layers)

    def forward(self, x, t):
        inputs = torch.cat([x, t], dim=1)
        return self.net(inputs)


def compute_pde_residual(model, x, t):
    """Compute Black-Scholes PDE residual using autodiff."""
    x.requires_grad_(True)
    t.requires_grad_(True)
    u = model(x, t)

    grads = torch.autograd.grad(u, [x, t], grad_outputs=torch.ones_like(u),
                                create_graph=True)
    u_x, u_t = grads[0], grads[1]

    u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_x),
                               create_graph=True)[0]

    residual = u_t + 0.5 * sigma**2 * u_xx + (r - 0.5 * sigma**2) * u_x - r * u
    return residual


def terminal_condition(x):
    """European call payoff: max(S - K, 0) = max(exp(x) - K, 0)."""
    return torch.relu(torch.exp(x) - K)


def train_pinn(epochs=10000, lr=1e-3, n_interior=5000, n_boundary=500, n_terminal=1000):
    model = BSPINN().to(device)
    optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)
    scheduler = torch.optim.lr_scheduler.CosineAnnealingLR(optimizer, T_max=epochs)

    for epoch in range(epochs):
        optimizer.zero_grad()

        x_int = (torch.rand(n_interior, 1, device=device)
                 * (x_max - x_min) + x_min)
        t_int = torch.rand(n_interior, 1, device=device) * T

        residual = compute_pde_residual(model, x_int, t_int)
        loss_pde = (residual ** 2).mean()

        x_tc = (torch.rand(n_terminal, 1, device=device)
                * (x_max - x_min) + x_min)
        t_tc = torch.ones(n_terminal, 1, device=device) * T
        u_tc = model(x_tc, t_tc)
        loss_ic = ((u_tc - terminal_condition(x_tc)) ** 2).mean()

        t_bc = torch.rand(n_boundary, 1, device=device) * T

        x_lo = torch.full((n_boundary, 1), x_min, device=device)
        loss_bc_lo = (model(x_lo, t_bc) ** 2).mean()

        x_hi = torch.full((n_boundary, 1), x_max, device=device)
        target_hi = torch.exp(x_hi) - K * torch.exp(-r * (T - t_bc))
        loss_bc_hi = ((model(x_hi, t_bc) - target_hi) ** 2).mean()

        loss = loss_pde + 10.0 * loss_ic + loss_bc_lo + loss_bc_hi

        loss.backward()
        optimizer.step()
        scheduler.step()

        if epoch % 1000 == 0:
            print(f"Epoch {epoch:5d} | PDE: {loss_pde:.2e} | "
                  f"IC: {loss_ic:.2e} | BC: {loss_bc_lo + loss_bc_hi:.2e}")

    return model

有兩個結構選擇值得特別指出：

• 終端條件的權重。 支付函數的權重為 10 倍，因為它定義了問題。若不強制執行，網路可以到處輸出零而輕易滿足 PDE——齊次 PDE 有無限多個解，終端條件才是選出其中一個的條件。
• 每個 epoch 重新取樣配置點。 每一步都重新抽取點，對殘差形成隨機正則化。另一種做法是固定點集，這會讓網路在那些精確座標上對殘差過度擬合。

延伸至 Heston 隨機波動率模型

Black-Scholes 使用單一常數 $\sigma$ 定價，而這正是 GARCH(1,1) 波動率預測所要否定的假設。Heston 將波動率變成第二個隨機因子，即瞬時變異數 $v$：

$dS = rS\,dt + \sqrt{v}S\,dW_1$ $dv = \kappa(\theta - v)\,dt + \xi\sqrt{v}\,dW_2$

其中 $\kappa$ 是均值回歸速度，$\theta$ 是長期變異數，$\xi$ 是波動率的波動率，且 $dW_1 \cdot dW_2 = \rho\,dt$。

定價 PDE 在狀態上是二維的：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho\xi v S\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2}\xi^2 v\frac{\partial^2 V}{\partial v^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \kappa(\theta - v)\frac{\partial V}{\partial v} - rV = 0$

這正是無網格方法開始顯得有吸引力的地方。有限差分方法需要在 $(S, v, t)$ 上建立網格——典型的 $200 \times 100 \times 500$ 就是 $10^7$ 個節點。再加入隨機利率等第三個隨機因子，網格就變得不可行。蒙地卡羅在維度增加時擴展性較好，但收斂很慢，尤其是對 Greeks 而言。

Heston 的 PINN 架構

網路接收三個輸入 $(x, v, t)$，其中 $x = \ln S$。混合偏導數 $\partial^2 u / \partial x \partial v$——讓 ADI 方法變得棘手的那一項——只需再呼叫一次 autograd.grad：

class HestonPINN(nn.Module):
    def __init__(self, hidden_dim=256, num_layers=5):
        super().__init__()
        layers = [nn.Linear(3, hidden_dim), nn.Tanh()]
        for _ in range(num_layers - 1):
            layers += [nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim), nn.Tanh()]
        layers.append(nn.Linear(hidden_dim, 1))
        self.net = nn.Sequential(*layers)

    def forward(self, x, v, t):
        return self.net(torch.cat([x, v, t], dim=1))


def heston_pde_residual(model, x, v, t, kappa, theta, xi, rho, r):
    x.requires_grad_(True)
    v.requires_grad_(True)
    t.requires_grad_(True)
    u = model(x, v, t)

    u_x, u_v, u_t = torch.autograd.grad(
        u, [x, v, t], torch.ones_like(u), create_graph=True
    )
    u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0]
    u_vv = torch.autograd.grad(u_v, v, torch.ones_like(u_v), create_graph=True)[0]
    u_xv = torch.autograd.grad(u_x, v, torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0]

    residual = (
        u_t
        + 0.5 * v * u_xx
        + rho * xi * v * u_xv
        + 0.5 * xi**2 * v * u_vv
        + (r - 0.5 * v) * u_x
        + kappa * (theta - v) * u_v
        - r * u
    )
    return residual

請注意，u_xv 是對 u_x 關於 v 微分得到的，重用了第一次呼叫建立的計算圖。混合偏導數的對稱性意味著，對 u_v 關於 x 微分應得到相同張量；但在 float32 中不會完全相同，而兩者的差距可以低成本診斷計算圖是否正常運作。

美式選擇權與自由邊界問題

美式選擇權增加了提前履約約束：價值永遠不能低於內在價值。這會把 PDE 變成自由邊界問題，等價於線性互補問題（LCP）：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \mathcal{L}V \leq 0, \quad V \geq \Phi(S), \quad \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mathcal{L}V\right)(V - \Phi(S)) = 0$

其中 $\mathcal{L}$ 是 Black-Scholes 算子，$\Phi(S)$ 是支付函數。有兩種方式可以將它放入損失。

懲罰方法

以平滑懲罰項取代互補約束：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \mathcal{L}V + \rho_p \cdot \max(\Phi(S) - V, 0) = 0$

其中 $\rho_p$ 很大（通常為 $10^4$ 到 $10^6$）。當 $V$ 低於內在價值時，懲罰項會迫使它回升，PINN 損失變為：

$\mathcal{L}_{\text{PDE}}^{\text{American}} = \frac{1}{N_r}\sum_i \left[\frac{\partial u_\theta}{\partial t} + \mathcal{L}u_\theta + \rho_p \cdot \max(\Phi - u_\theta, 0)\right]^2$

架構不變，只修改殘差。代價是增加一個新的超參數，並帶來糟糕的條件數權衡：太小則約束會被違反，太大則損失地形會被懲罰項主導。

直接自由邊界方法

聯合訓練兩個網路：一個用於價格 $u_\theta(S, t)$，另一個用於最佳履約邊界 $S^*_\phi(t)$。損失在繼續區域中包含 PDE、邊界處的平滑貼合條件，以及履約區域中的支付函數。邊界會以一級輸出的形式產生，而這正是對美式選擇權部位進行避險真正需要的結果。

以 PINN 處理跳躍擴散模型

Merton 模型在幾何布朗運動中加入 Poisson 跳躍：

$dS = (r - \lambda \bar{k})S\,dt + \sigma S\,dW + S\,dJ$

其中 $J$ 是強度為 $\lambda$ 且跳躍大小服從對數常態分布的複合 Poisson 過程。定價因此成為偏積分微分方程（PIDE）：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r - \lambda\bar{k})S\frac{\partial V}{\partial S} - (r + \lambda)V + \lambda \int_0^\infty V(Sy, t) f(y)\,dy = 0$

其中 $f(y)$ 是跳躍乘數的密度。

積分正是有限差分難以處理的部分——它將定義域中的每個點與其他所有點耦合，破壞解算器所依賴的帶狀結構。PINN 沒有這種結構可被破壞。積分只是殘差中的另一項，在每個配置點透過求積計算；而且由於網路處處有定義，$V(Sy, t)$ 是一次免費的前向傳遞，而非插值：

def jump_integral(model, x, t, lam, mu_j, sigma_j, n_quad=32):
    """Approximate jump integral using Gauss-Hermite quadrature."""
    nodes, weights = np.polynomial.hermite.hermgauss(n_quad)
    nodes = torch.tensor(nodes, dtype=torch.float32, device=x.device)
    weights = torch.tensor(weights, dtype=torch.float32, device=x.device)

    y_nodes = mu_j + sigma_j * np.sqrt(2) * nodes
    integral = torch.zeros_like(x)

    for i in range(n_quad):
        x_shifted = x + y_nodes[i]
        v_shifted = model(x_shifted, t)
        integral += weights[i] * v_shifted

    integral *= 1.0 / np.sqrt(np.pi)
    return integral

PIDE 殘差於是為：

$\text{Residual} = \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 u_{xx} + (r - \lambda\bar{k} - \frac{\sigma^2}{2})u_x - (r + \lambda)u + \lambda \cdot I[u]$

其中 $I[u]$ 是求積近似。每個訓練步驟的迴圈都會額外耗費 n_quad 次前向傳遞，且全部都會進入 autograd 計算圖——跳躍真正的代價是記憶體，而非數學運算。

與傳統方法的比較

結構上的差異確實存在，不需要基準測試也能說明：

通常應該出現在這裡的效能列——訓練時間、推理延遲、準確度——被刻意省略，因為測量它們是尚待完成的工作，而不是表格中的一項。

PINN 可能勝出的地方

即時重新定價。 訓練完成後，評估只需對一個批次進行前向傳遞，因此整個部位可以在一次核心啟動中重新定價，而不是每組參數各求解一次。在實際部位規模下這是否勝過調校良好的 Crank-Nicolson 解算器，仍是尚未測量的實證問題。

高維模型。 隨機波動率加上隨機利率再加上跳躍會達到 4 個以上的維度，此時有限差分實際上已不可行。PINN 的維度擴展會較為平緩，但仍受訓練難度限制。

連續 Greeks。 網路平滑且可微，因此 Delta、Gamma、Theta 和 Vega 都來自與 PDE 殘差相同的 autograd 機制——不需要 bump-and-revalue，也沒有有限差分雜訊。這是本文最強的主張，也是最需要背後有測量過的 Gamma 曲面的主張。

參數化解。 將模型參數（$\sigma$、$\kappa$、$\theta$）作為網路輸入，就能讓一個 PINN 覆蓋一族模型，而不只是一個校準結果。

PINN 面臨困難的地方

訓練成本。 對單一參數組合下的單一選擇權，有限差分解算在 PINN 完成前一千個 epoch 之前就已經結束。

沒有誤差界限。 使用 Richardson 外推的有限差分可按已知收斂階數達到機器精度。PINN 回報的是損失值，而不是誤差界限。不確定性感知變體（Bai 等人，2025）會附帶信賴區間，但這個領域仍很年輕。

最佳化困難。 損失地形高度非凸，而 PDE、邊界和終端項之間的權重是一個調參問題。典型故障是網路把 PDE 殘差降到接近零，卻完全忽略邊界條件——那是對錯誤問題的完全有效解。

可重現性。 不同的隨機種子、配置點分布和最佳化器設定，可能得到實質不同的解。集成有幫助，但也會增加成本。

後兩項是本文最值得轉成圖表的部分，因為任何重新實作本文的人都會遇到這些失敗模式。

仍需要測量的內容

本文目前的真實狀態是：公式正確，程式碼也能執行，但尚未在本團隊的硬體或資料上進行基準測試。要讓它從推導變成結果，需要完成以下測量：

1. 在 $(S, t)$ 網格上相對於封閉形式 Black-Scholes 的 sup-norm 與 RMSE，每個種子各測一次，共五個種子。通常流傳的目標是吻合到小數點後 4 位以上；重點是在 $\sigma = 0.7$、$T = 0.08$ 下驗證這一點，並公布失敗時所用的種子。
2. Delta 和 Gamma 誤差，而不只是價格誤差。 如果網路價格吻合到四位數，但 $\Gamma$ 帶有雜訊，對避險就毫無用處，因此 Gamma 是驗收標準。
3. 10,000 個選擇權部位的實際訓練時間與單一選擇權推理延遲，並與相同 GPU 上對同一問題進行的 Crank-Nicolson 解算比較。
4. 刻意重現失敗模式。 降低邊界損失權重，直到網路滿足 PDE 卻錯過邊界；執行五個種子並繪製其差異。兩項實驗成本都很低，也比再畫一個看似正確的價格曲面更有用。
5. 擬合真實 Deribit BTC 報價，或至少保留上面的加密貨幣實際參數，不要退回 $\sigma = 0.2$、$T = 1.0$。
6. 把架構和最佳化器選擇當作研究結果，而非建議。 寬度與深度的比較、tanh 與 ReLU 的比較（ReLU 不連續的二階導數應該會明顯破壞殘差）、$\lambda_{\text{IC}}$ 掃描，以及 Adam 接 L-BFGS 與只用 Adam 的比較，都是一行就能設定的實驗。在實際執行前，它們都只是從文獻反覆傳述的經驗說法；本文不把它們重複成建議。

即使沒有測量，仍有兩項結構性主張成立，因為它們是公式的性質，而不是某次執行的性質：使用對數價格座標（PDE 變成常係數形式，這是代數上的事實），以及讓終端條件的權重高於 PDE 項（齊次 PDE 接受零解，這是問題本身的事實）。

其他研究方向

以下方向值得了解，但本文都沒有測試：

• 殘差自適應配置取樣——在殘差較大的地方放置點，例如 Black-Scholes 的履約價附近或 Heston 的 Feller 邊界附近，而不是均勻取樣。實作很短：

def adaptive_resample(model, x_pool, t_pool, n_select):
    """Select collocation points with highest PDE residual."""
    with torch.no_grad():
        residuals = compute_pde_residual(model, x_pool, t_pool).abs()
    probs = residuals.squeeze() / residuals.sum()
    indices = torch.multinomial(probs, n_select, replacement=False)
    return x_pool[indices], t_pool[indices]

• 跨履約價和到期日的遷移學習——從相鄰的 $(K, T)$ 微調，而不是從頭訓練，以維護覆蓋整個選擇權鏈的模型庫。
• 物理資訊極限學習機——凍結隱藏層權重，只訓練輸出層，將訓練簡化成一次線性求解。表達能力較弱，但 Black-Scholes 的維度足夠低，可能不成問題。
• 算子學習（DeepONet、FNO）——學習解算子而不是解本身，將 $(\sigma(\cdot), r(\cdot), \text{payoff}(\cdot)) \to V(\cdot,\cdot)$ 映射，因此新的支付函數結構不需要重新訓練。參見 DeepSVM。

結論

PINN 不會取代有限差分或蒙地卡羅。對單一參數組合下的單一低維選擇權，有限差分會勝出，而且差距不小。PINN 的適用範圍狹窄而明確：網格在其中失效的高維模型、可在整個部位重複使用的參數化解，以及與價格共享同一次自動微分傳遞所得到的 Greeks。

本文提供的是轉換層——說明 Heston 混合偏導數、美式自由邊界和 Merton 跳躍積分如何各自成為損失函數中的一項。本文尚未提供的，是由此產生的網路是否足夠準確、可以用於避險的證據。那是下一輪工作；在它完成之前，請將以上內容視為推導，而不是建議。

參考文獻與延伸閱讀

• Raissi, M., Perdikaris, P., Karniadakis, G.E. (2019)。物理資訊神經網路：解決涉及非線性偏微分方程之正向與逆向問題的深度學習框架。Journal of Computational Physics，378，686-707。
• Dhiman, A., Kaur, D. (2023)。用於選擇權定價的物理資訊神經網路。arXiv 預印本。
• Salvador, B. 等人（2023）。透過物理資訊神經網路進行美式選擇權定價的無網格方法。Engineering Analysis with Boundary Elements。
• Bai, G. 等人（2025）。Black-Scholes 方程的不確定性感知物理資訊神經網路解法。arXiv 預印本。
• Chen, Y. 等人（2025）。資料稀缺情況下、由隨機跳躍擴散過程提供資訊的美式選擇權定價神經網路。Applied Soft Computing。
• Benth, F.E. 等人（2025）。DeepSVM：以物理資訊深度算子網路學習隨機波動率模型。arXiv 預印本。
• He, Y. 等人（2024）。金融資訊神經網路：學習選擇權定價的幾何。arXiv 預印本。
• MathWorks：用於選擇權定價的物理資訊神經網路（PINN）。MATLAB Finance Blog，2025。
• GitHub：BlackScholesPINN（PyTorch 實作）。
• Raissi PINN GitHub 儲存庫。