Hamiltonian Neural Networks: Does a Financial System Conserve Anything?

Es gibt zwei Fragen, die Sie zu Hamiltonschen Neuronalen Netzen stellen können, und nur eine davon ist interessant.

Die langweilige Frage lautet: „Sind HNNs stabil?“ Die Antwort ist ja, und es ist ein Theorem, kein Experiment. Kodieren Sie Hamiltons Gleichungen in die Architektur, integrieren Sie sie in ein symplektisches Schema, und die Rückwärtsfehleranalyse liefert Ihnen begrenzte Energiefehler über exponentiell lange Horizonte. Es geht nicht um Finanzen. Sie brauchen keinen Backtest, um es zu glauben.

Die interessante Frage ist die, die das Stabilitätsergebnis stillschweigend voraussetzt: Lässt ein Finanzzustandsvektor überhaupt eine Erhaltungsgröße zu? Ein HNN findet nicht heraus, ob $H$ existiert. Es geht davon aus $H$ existiert und findet unter dieser Annahme die beste. Wenn Märkte keine Konserven haben $H$ Für die von Ihnen gewählten Koordinaten wird das Netzwerk immer noch konvergieren, immer noch einen glatten Skalar erzeugen, immer noch integrieren, ohne zu explodieren – und das Ganze wird ein sehr stabiles Modell des Nichts sein.

Dieser Beitrag baut die Maschinerie auf und verbringt dann die hintere Hälfte damit, zu versuchen, sie zu zerstören. Die zu prüfende Behauptung ist eng gefasst und falsifizierbar: dass ein Auserwählter $(q, p)$ Paar – sagen wir Log-Preis und EMA der Renditen – ist kanonisch konjugiert, d.h $dq/dt = \partial H/\partial p$ gilt tatsächlich für einige $H$. Das ist eine empirische Behauptung, und der Theorieteil des Entwurfs selbst gibt keinen Grund, dies zu glauben.

Hamiltonsche Mechanik: Was hier eigentlich neu ist

Phasenraum, dynamische Systeme, Trajektorien und Umlaufbahnen sind in diesem Blog bereits Vokabular – siehe Attraktoren im Algotrading für die Definitionen und komplexe Mannigfaltigkeiten für die Phasenraumrekonstruktion mittels Takens-Einbettung. Was folgt, setzt sie voraus.

Neu ist die symplektische Struktur. Die klassische Mechanik hat zwei äquivalente Formulierungen. Newton gibt $F = ma$. Hamilton gibt eine Skalarfunktion an $H(q, p)$ woraus sich alle Dynamiken ergeben:

$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}$

Drei Konsequenzen sind wichtig, und keine davon steht einem generischen dynamischen Modell zur Verfügung:

1. $H$ bleibt entlang der Trajektorien erhalten. Das System ist auf eine Oberfläche konstanter Energie beschränkt – eine niederdimensionale Mannigfaltigkeit innerhalb des Phasenraums. Dabei handelt es sich um eine harte Einschränkung, wohin der Staat gehen kann, nicht um eine Tendenz.
2. Die symplektische 2-Form $\omega = dq \wedge dp$ bleibt erhalten. Das Phasenraumvolumen bleibt exakt erhalten (Satz von Liouville). Flugbahnen können nicht auf einen Attraktor konvergieren; Die Strömung ist inkompressibel.
3. Die Dynamik ist zeitlich umkehrbar. Führen Sie den Fluss rückwärts aus und Sie stellen den Ausgangszustand exakt wieder her.

Bei Punkt 2 lohnt es sich, innezuhalten, denn er stellt die größte Spannung zu allem anderen in diesem Blog dar. Der Satz von Liouville besagt, dass ein Hamilton-System keine Attraktoren hat. Volumenerhaltende Strömungen können sich nicht auf irgendetwas zusammenziehen. Wenn Sie glauben, dass Märkte eine anziehende Struktur haben – und der Artikel über Attraktoren argumentiert, dass dies der Fall ist –, dann sind Sie bereits davon überzeugt, dass Märkte nicht im strengen Sinne hamiltonisch sind. Das ist ein echter Konflikt, keine Formsache, und das ist der Grund, warum die folgenden dissipativen Erweiterungen kein nachträglicher Einfall sind.

Warum der Integrator wichtig ist

Simulieren Sie ein Hamilton-System mit einem naiven Integrator (Euler, RK4), und die berechnete Flugbahn driftet langsam von der Oberfläche konstanter Energie ab. Der lokale Kürzungsfehler ist gering; Der geometrische Fehler ist systematisch. Auf lange Sicht wird die Simulation qualitativ falsch: Umlaufbahnen, die sich schließen sollten, beginnen sich zu spiralisieren.

Standardmäßige neuronale Netze weisen aus einem tieferen Grund denselben Defekt auf. Ein MLP-Mapping-Zustand auf Derivate verfügt über keinen Mechanismus, um irgendetwas zu bewahren. Es lernt die lokale Dynamik angemessen und akkumuliert Fehler, die sich verstärken.

Der Naturschutzanspruch in Kürze

In diesem Blog wurde bereits argumentiert, dass Märkte konservierungsähnlichen Prinzipien folgen – Navier-Stokes für Algotrading, Teil 2 bringt die Argumente ausführlich vor, von der Liquidität als Masse bis zum hydrodynamischen Risikomanagement, und beschafft die ökonophysikalischen Rahmenbedingungen richtig. Die Mean-Varianz-Optimierung ist in diesem Blog ebenfalls bereits ein Lagrange-System: siehe Markowitz-Portfoliotheorie für die eingeschränkte quadratische Form und Almgren-Chriss-optimale Ausführung für das Risikobudget/$\lambda$ Identifikation, wo $\lambda$ spielt genau die Rolle eines konjugierten Impulses.

Nichts davon wird hier erneut abgeleitet, da der interessante Zug ein anderer ist. In diesen Artikeln wird Naturschutz als Metapher verwendet, die ein Modell motiviert. Ein HNN verwandelt die Erhaltung in eine architektonische Einschränkung, die das Modell nicht verletzen kann, selbst wenn die Daten dies verlangen. Dieser Unterschied – weiche Analogie versus harte Struktur – ist der gesamte Inhalt des Folgenden und betrifft beide Seiten: Eine Einschränkung, die die Daten nicht erfüllen, ist kein Prior, sondern ein Fehler.

HNN-Architektur: Strukturelle vs. bestrafte Erhaltung

Der allgemeine physikinformierte Mechanismus – automatische Ableitungen der Netzwerkausgabe in Bezug auf ihre Eingaben vornehmen, ein physikalisches Residuum bilden und es minimieren – wird bereits in der Navier-Stokes-PINN demonstriert, deren physics_loss baut u_t, u_x, u_xx über autograd.grad und quadriert das Residuum. Das HNN verwendet denselben Mechanismus mit einer Änderung, und die Änderung ist der springende Punkt.

Eine PINN bestraft Verstöße gegen ein physikalisches Gesetz. Das Residuum ist ein Verlustterm mit einer Gewichtung; Der Optimierer wägt dies gegen die Datenanpassung ab. Reduzieren Sie die Gewichtung oder geben Sie widersprüchliche Daten weiter, und das Netzwerk wird gerne gegen das Gesetz verstoßen. Konservierung ist eine Präferenz.

Ein HNN macht Erhaltung strukturell. Das Vektorfeld wird nicht gelernt $(\dot{q}, \dot{p}) = f_\theta(q, p)$, was uneingeschränkt ist und nichts konserviert. Es lernt einen Skalar $H_\theta(q, p)$ und leitet beide Komponenten des Vektorfeldes aus einem einzigen Gradienten ab:

$\dot{q} = \frac{\partial H_\theta}{\partial p}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H_\theta}{\partial q}$

Da beide Ableitungen von einem Skalarpotential stammen, ist das resultierende Feld konstruktionsbedingt ein symplektischer Gradient. $dH_\theta/dt = \partial_q H \cdot \dot{q} + \partial_p H \cdot \dot{p} = \partial_q H \cdot \partial_p H - \partial_p H \cdot \partial_q H = 0$, identisch, für jede Parametereinstellung $\theta$ – einschließlich eines zufällig initialisierten, völlig untrainierten Netzwerks. Es gibt kein Gewicht zum Reduzieren. Die Erhaltung ist eine algebraische Identität der Parametrisierung, kein Begriff im Ziel.

Dies ist eine viel stärkere Garantie als eine PINN und verfügt über einen viel schärferen Fehlermodus. Der Verlust vergleicht die abgeleiteten Derivate mit beobachteten Daten:

$\mathcal{L} = \left\| \frac{\partial H_\theta}{\partial p} - \dot{q}_{\text{data}} \right\|^2 + \left\| \frac{\partial H_\theta}{\partial q} + \dot{p}_{\text{data}} \right\|^2$

Wenn das beobachtet wird $(\dot{q}, \dot{p})$ Das Feld ist kein symplektischer Gradient von irgendetwas – wenn es eine Krümmung aufweist, die die Parametrisierung nicht darstellen kann – kann der Verlust einfach nicht Null erreichen. Der Restboden ist kein Optimierungsfehler. Es ist ein Maß dafür, wie weit die Daten von der Zulassung eines Hamilton-Operators entfernt sind. Diese Zahl ist die nützlichste Ausgabe dieser gesamten Architektur und sie ist die Zahl, um die sich der Rest dieses Beitrags dreht.

Das Netzwerk selbst ist unauffällig: ein MLP von $(q, p) \in \mathbb{R}^{2n}$ durch zwei Tanh-Schichten mit einer Breite von 200 zu einer skalaren Ausgabe.

Koordinaten

Für Finanzanträge, $q$ ist eine verallgemeinerte Position (Log-Preise, Portfoliogewichte, Faktor-Exposures) und $p$ ein verallgemeinerter Impuls (Änderungsraten, Impulsindikatoren, Flussvariablen). $H_\theta(q, p)$ ist dann jede Invariante, die das Netzwerk finden kann – möglicherweise die Gesamtmarktkapitalisierung, möglicherweise ein Risikomaß, möglicherweise eine abstrakte Größe ohne wirtschaftliche Bedeutung, möglicherweise nichts.

Die Wahl der Paarung ist nicht unschuldig, und darin liegt die Lücke in der Standarddarstellung. Nichts über „$q$ = Log-Preis, $p$ = EMA der Renditen“ stellt fest, dass diese konjugiert sind. Konjugation ist eine spezifische strukturelle Beziehung – $p$ muss der kanonisch gepaarte Impuls sein $q$, so dass $dq/dt = \partial H/\partial p$ gilt für einige $H$. Es zu behaupten und zu testen sind unterschiedliche Aktivitäten, und in der Literatur, die HNNs an die Finanzierung anpasst, geht es meist um Ersteres.

Symplektische Integratoren

Lernen $H_\theta$ ist das halbe Problem. Die Generierung von Trajektorien erfordert die Integration der Hamilton-Gleichungen, und der Integrator kann das zerstören, was die Architektur garantiert.

Symplektische Integratoren bewahren $\omega = dq \wedge dp$ genau. Das Phasenraumvolumen bleibt erhalten, $H$ oszilliert um seinen wahren Wert mit begrenztem Fehler, anstatt säkular zu driften, und die Umlaufbahnen bleiben qualitativ korrekt. RK4 gibt Ihnen einen kleineren Fehler pro Schritt und keine dieser Eigenschaften.

Das einfachste symplektische Schema ist Stormer-Verlet (Leapfrog):

$p_{n+1/2} = p_n - \frac{\Delta t}{2} \frac{\partial H}{\partial q}(q_n, p_{n+1/2})$ $q_{n+1} = q_n + \Delta t \frac{\partial H}{\partial p}(q_{n+1}, p_{n+1/2})$ $p_{n+1} = p_{n+1/2} - \frac{\Delta t}{2} \frac{\partial H}{\partial q}(q_{n+1}, p_{n+1/2})$

Zum trennbar $H(q, p) = T(p) + V(q)$ Dies sind explizite Updates. Finanzielle Hamiltonoperatoren sind im Allgemeinen nicht trennbar – die Impulsdynamik hängt von den Preisen ab und umgekehrt – daher erfordert der allgemeine Fall implizite Schritte, Methoden höherer Ordnung (Yoshida, Forest-Ruth) oder die unten stehende SympNets-Route.

Tong et al. (2020) zeigte, dass das Zusammensetzen von Leapfrog-Schritten als Netzwerkschichten Architekturen erzeugt, die konstruktionsbedingt symplektisch sind: Jede Schicht ist ein Integrationsschritt, die Tiefe entspricht der Schrittanzahl und der erlernten Karte $(q_n, p_n) \mapsto (q_{n+1}, p_{n+1})$ bewahrt die symplektische Struktur genau.

Stabilitätsgarantien: Real und nebensächlich

Die Stabilitätseigenschaften ergeben sich aus Theoremen, weshalb sie gerade deshalb nichts über Märkte beweisen.

Rückwärtsfehleranalyse. Ein symplektischer Integrator, angewendet auf $H$ löst genau einen nahe gelegenen Hamilton-Operator $\tilde{H} = H + O(\Delta t^k)$. Die berechnete Flugbahn ist die genaue Flugbahn eines leicht gestörten Systems, und die KAM-Theorie begrenzt den Energiefehler über exponentiell lange Zeiträume.

Lyapunov-Stabilität. Wenn $H_\theta$ hat im Gleichgewicht ein Minimum, $H_\theta$ ist selbst eine Lyapunov-Funktion, die beweist, dass das Gleichgewicht stabil ist. Keine gesonderte Analyse erforderlich.

Beide Ergebnisse sind abhängig von $H_\theta$ das richtige Objekt sein. Sie sagen Ihnen, dass die Simulation des erlernten Systems originalgetreu ist; Sie sagen nichts darüber aus, ob das erlernte System der Markt ist. Ein perfekt erhaltenes Exemplar $H_\theta$ angepasst an einen Restboden von 0,9 ist eine stabile Simulation eines Artefakts.

Implementierung

Kern-HNN-Modul

import torch
import torch.nn as nn

class HamiltonianNN(nn.Module):
    """Learns a scalar H(q, p); derives dynamics via Hamilton's equations."""
    def __init__(self, input_dim: int, hidden_dim: int = 200):
        super().__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_dim, hidden_dim), nn.Tanh(),
            nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim), nn.Tanh(),
            nn.Linear(hidden_dim, 1),
        )

    def hamiltonian(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor) -> torch.Tensor:
        return self.net(torch.cat([q, p], dim=-1))

    def time_derivative(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor):
        q = q.requires_grad_(True)
        p = p.requires_grad_(True)
        H = self.hamiltonian(q, p)
        dH_dq, dH_dp = torch.autograd.grad(H.sum(), [q, p], create_graph=True)
        return dH_dp, -dH_dq          # dq/dt, dp/dt

Symplektischer Leapfrog-Integrator

class LeapfrogIntegrator:
    """Stormer-Verlet integrator. Preserves the symplectic structure."""
    def __init__(self, hnn: HamiltonianNN, dt: float = 0.01):
        self.hnn, self.dt = hnn, dt

    def step(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor):
        _, dp_dt = self.hnn.time_derivative(q, p)
        p_half = p + 0.5 * self.dt * dp_dt

        dq_dt, _ = self.hnn.time_derivative(q, p_half)
        q_new = q + self.dt * dq_dt

        _, dp_dt = self.hnn.time_derivative(q_new, p_half)
        return q_new, p_half + 0.5 * self.dt * dp_dt

    def integrate(self, q0, p0, n_steps: int):
        traj_q, traj_p, q, p = [q0], [p0], q0, p0
        for _ in range(n_steps):
            q, p = self.step(q, p)
            traj_q.append(q); traj_p.append(p)
        return torch.stack(traj_q), torch.stack(traj_p)

Phasenraumkoordinaten

Log-Preise, unterschiedliche Renditen, EMA-Momentum und rollierende Volatilität sind Standardkonstruktionen in diesem Blog – die Diffusionsmodell-Pipeline und komplexe Mannigfaltigkeiten liefern es beide. Die einzigen zwei Linien, die hier wichtig sind, sind diejenigen, die das konjugierte Paar definieren:

q = np.log(prices)[w:-1]                          # generalised position
p = ewma(np.diff(np.log(prices), axis=0), w)[w-1:-1]   # generalised momentum

Alles stromabwärts – endliche Differenzen $\dot{q}$, $\dot{p}$, Längenausrichtung, die Trainingsschleife, die abgeleitete Ableitungen mit beobachteten mit Adam abgleicht – ist mechanisch.

Erhaltungsprüfung

def measure_conservation(hnn, integrator, q0, p0, n_steps=1000):
    """Energy drift along an integrated trajectory."""
    with torch.no_grad():
        traj_q, traj_p = integrator.integrate(q0, p0, n_steps)
        energies = torch.stack([
            hnn.hamiltonian(traj_q[i], traj_p[i]) for i in range(n_steps + 1)
        ]).squeeze().numpy()

    return {
        "H_initial": energies[0],
        "H_final": energies[-1],
        "drift": energies[-1] - energies[0],
        "oscillation": energies.std(),
        "relative_error": abs(energies[-1] - energies[0]) / abs(energies[0]),
    }

Beachten Sie, was diese Funktion nicht testet. Es misst, ob der Integrator konserviert $H_\theta$ – was es laut Theorem tun wird, ob oder nicht $H_\theta$ bedeutet alles. Die Erhaltung eines erlernten Hamilton-Operators in der Probe ist kein Beweis. Der Test, auf den es ankommt, ist ein anderer.

Der Falsifikationstest

Das ehrliche Experiment besteht aus drei Teilen und ist so konzipiert, dass ein negatives Ergebnis informativ und nicht peinlich ist.

1. Restboden. Passgenau $H_\theta$ auf echten Daten basieren und den konvergenten Verlust angeben, nicht die Erhaltung. Eine symplektische Gradientenparametrisierung kann kein Vektorfeld mit Curl darstellen; Der Boden misst die nicht-Hamiltonsche Komponente der beobachteten Dynamik. Passen Sie ein unbeschränktes MLP an die identischen Daten wie die Referenz an – es unterliegt keiner strukturellen Einschränkung, daher ist die Lücke zwischen den beiden Etagen die Kosten der Hamilton-Annahme, angegeben in den Verlusteinheiten des Problems.

2. Konservierung außerhalb der Stichprobe. In ein Fenster einpassen und dann auswerten $H_\theta$ entlang der beobachteten Out-of-Sample-Trajektorie – der reale Preispfad, kein integrierter. Wenn $(q, p)$ ist wirklich kanonisch, $H_\theta$ bleibt entlang von Daten, die es nie gesehen hat, ungefähr konstant. Wenn $H_\theta$ wandert aus der Probe, die konservierte Menge war ein Artefakt innerhalb der Probe und die Garantie der Architektur funktioniert nicht.

3. Koordinatenablation. Dies ist der Teil, den der Theorieteil verlangt, und keine Präsentation finanzieller HNNs scheint zu funktionieren. Es gibt keinen Beleg dafür, dass der logarithmische Preis und der EMA der Rendite konjugiert sind; es wird behauptet. Testen Sie also die Paarungen miteinander – (Log-Preis, EMA-Renditen), (Log-Preis, Rohrenditen), (Portfoliogewichte, Gewichtsänderungsraten) – und ordnen Sie sie nach Out-of-Sample $H$ Stabilität. Gegen einen Surrogat mit gemischten Erträgen als Kontrolle: Zerstöre die zeitliche Struktur, behalte die Randverteilung bei, refit. Wenn die Surrogat-Erträge vergleichbar sind $H$ Stabilität ist die „Erhaltungsgröße“ eher eine Eigenschaft der Parametrisierung als des Marktes.

Meine vorherige Aussage, damit sie anhand des Ergebnisses überprüft werden kann: Dies schlägt fehl. Die Begründung finden Sie in der Einführung oben: Der Satz von Liouville verbietet Attraktoren, Märkte scheinen eine anziehende Struktur zu haben, und die beiden unten aufgeführten Notausstiege sind Eingeständnisse, dass die strikte Hamilton-Annahme nicht zutrifft. Wenn der Restboden hoch ist und außerhalb der Probe liegt $H$ ist über jede Paarung hinweg instabil, das ist ein sauber gemessenes Negativ auf einem physikinformierten Prior, und dieser Blog hat diese bereits veröffentlicht (das ehrliche Negativ, deflated Sharpe). Ein maßvolles Negativ einer eleganten Theorie ist mehr wert als ein ungetestetes Tutorial.

Wenn die Konservierung fehlschlägt: Dissipative Erweiterungen

Echte Märkte lecken. Transaktionskosten, Slippage und Informationsverfall entziehen dem System Energie und bleiben streng erhalten $H$ kann das nicht darstellen. Es gibt zwei prinzipielle Lockerungen, und beide sollten als Zugeständnisse, dass die Annahme zu stark war, und nicht als Verfeinerungen gelesen werden:

1. Konformer Hamiltonoperator: Modell $\dot{H} = -\gamma H$ mit einer erlernten Verlustrate $\gamma$. Die Größe der Anpassung $\gamma$ ist selbst ein Maß – wie weit das System vom Konservativen entfernt ist.
2. Port-Hamiltonian: $\dot{x} = (J - R)\nabla H + Bu$, mit $J$ die symplektische Matrix, $R \succeq 0$ die Dissipationsmatrix und $Bu$ externer Antrieb (Nachrichten, Flows). Hier $\|R\|$ relativ zu $\|J\|$ quantifiziert die Abweichung direkt.

Beide stellen die Fähigkeit zur Darstellung von Attraktoren wieder her, allerdings auf Kosten der Bounded-Error-Garantie, die die Architektur motiviert hat. Das ist der Handel, klar ausgedrückt: Man kann Liouville haben oder man kann Dissipation haben, und die Märkte scheinen das Zweite zu wollen.

Verwandte offene Probleme: Finanz-Hamiltonoperatoren sind nicht trennbar (erfordern implizite oder symplektische Schritte höherer Ordnung oder SympNets symplektische Karten direkt lernen), und Märkte operieren auf mehreren Zeitskalen als einer $H$ Es ist unwahrscheinlich, dass es hierarchische Hamiltonoperatoren für schnelle und langsame Dynamiken oder eine adiabatische Behandlung langsamer Variablen als Parameter einer schnellen Skala erfasst $H$.

Fazit

Die Maschinerie funktioniert. Lerne einen Skalar $H_\theta$, leiten Sie das Vektorfeld aus seinem Gradienten ab, integrieren Sie symplektisch, und Sie erhalten Erhaltung als algebraische Identität, begrenzten Fehler über Tausende von Schritten, exakte Zeitreversibilität und eine Lyapunov-Funktion kostenlos. Jede dieser Behauptungen ist ein Theorem und keine davon bedarf einer Validierung.

Was eine Validierung erfordert, ist die Prämisse. HNNs testen nicht, ob eine Erhaltungsgröße existiert – sie gehen davon aus und optimieren unter der Annahme, wobei sie trotzdem zu einem glatten, stabilen und gut funktionierenden Modell konvergieren. Der Restboden und Out-of-Sample $H$ Stabilität sind die einzigen beiden Zahlen, die „der Markt konserviert etwas“ von „die Parametrisierung bringt immer etwas hervor“ unterscheiden.

Die Frage, mit der dieser Beitrag endet, ist also nicht, ob HNNs stabil sind. Es geht darum, ob die Eleganz den Kontakt mit BTCUSDT überlebt – und bis diese Zahlen auf der Seite sind, ist die richtige Haltung gegenüber jedem Erhaltungsanspruch im maschinellen Finanzlernen, einschließlich diesem, dass er nicht getestet wurde.

Referenzen

1. Greydanus, S., Dzamba, M. & Sprague, J. (2019). Hamiltonsche neuronale Netze. NeurIPS 2019.
2. Tong, Y., Xiong, S., He, X., Pan, G. & Zhu, B. (2020). Tiefe Hamilton-Netzwerke basierend auf symplektischen Integratoren. arXiv-Vorabdruck.
3. Baaquie, B. E. (2000). Hamiltonian in Financial Markets. arXiv-Vorabdruck.
4. Cotler, J. & Rezchikov, S. (2023). Effiziente Hamilton-Simulation zur Lösung der Optionspreisdynamik. Forschung zur körperlichen Überprüfung.
5. Gonon, P. & Ortega, J.-P. (2009). Aktienmärkte und Quantendynamik. arXiv-Vorabdruck.
6. Greydanus, S. (2019). Hamiltonsche neuronale Netze – Blogbeitrag.
7. Santos, C. et al. (2022). Symplektische Impuls-Neuronale Netze. PMLR.