Hamiltonian Neural Networks: Does a Financial System Conserve Anything?

มีคำถามสองข้อที่คุณสามารถถามเกี่ยวกับ Hamiltonian Neural Networks และมีเพียงคำถามเดียวเท่านั้นที่น่าสนใจ

คำถามที่น่าเบื่อคือ "HNNs มีเสถียรภาพหรือไม่" คำตอบคือใช่ และมันเป็นทฤษฎีบท ไม่ใช่การทดลอง เข้ารหัสสมการของ Hamilton ลงในสถาปัตยกรรม บูรณาการกับรูปแบบสมมาตร และการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดแบบย้อนกลับ ช่วยให้คุณจำกัดข้อผิดพลาดด้านพลังงานเหนือขอบเขตอันยาวไกลแบบเอกซ์โปเนนเชียล ไม่มีอะไรเกี่ยวกับการเงินเข้ามาเกี่ยวข้อง คุณไม่จำเป็นต้องมีการทดสอบย้อนหลังเพื่อที่จะเชื่อ

คำถามที่น่าสนใจคือคำถามที่ผลลัพธ์ด้านเสถียรภาพตั้งสมมติฐานไว้อย่างเงียบๆ ว่า เวกเตอร์สถานะทางการเงินยอมรับปริมาณที่อนุรักษ์ไว้เลยหรือไม่ HNN ไม่ค้นพบว่ามี $H$ อยู่หรือไม่ โดยถือว่า $H$ มีอยู่และค้นหาสิ่งที่ดีที่สุดภายใต้สมมติฐานนั้น หากตลาดไม่มีการอนุรักษ์ $H$ สำหรับพิกัดที่คุณเลือก เครือข่ายจะยังคงมาบรรจบกัน ยังคงสร้างสเกลาร์ที่ราบรื่น ยังคงบูรณาการโดยไม่ระเบิด — และทั้งหมดจะเป็นแบบจำลองที่เสถียรมากโดยไม่มีอะไรเลย

โพสต์นี้สร้างเครื่องจักรแล้วใช้เวลาครึ่งหลังพยายามพังมัน การกล่าวอ้างภายใต้การทดสอบนั้นแคบและสามารถปลอมแปลงได้: คู่ $(q, p)$ ที่เลือก — เช่น log-price และ EMA ของผลตอบแทน — เป็น การผันตามรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งหมายความว่า $dq/dt = \partial H/\partial p$ มีไว้สำหรับ $H$ บางตัวจริงๆ นั่นเป็นข้อกล่าวอ้างเชิงประจักษ์ และส่วนทฤษฎีของร่างเองก็ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อเช่นนั้น

กลศาสตร์แฮมิลตัน: มีอะไรใหม่จริง ๆ ที่นี่

พื้นที่เฟส ระบบไดนามิก วิถี และวงโคจรเป็นคำศัพท์อยู่แล้วในบล็อกนี้ - ดู ตัวดึงดูดใน algotrading สำหรับคำจำกัดความและ ท่อที่ซับซ้อน สำหรับการสร้างพื้นที่เฟสใหม่ผ่านการฝัง Takens สิ่งต่อไปนี้ถือว่าพวกเขา

ส่วนที่มาใหม่คือโครงสร้างแบบสมมาตร กลศาสตร์คลาสสิกมีสูตรที่เทียบเท่ากันสองสูตร นิวตันให้ $F = ma$ แฮมิลตันให้ฟังก์ชันสเกลาร์ $H(q, p)$ ซึ่งไดนามิกทั้งหมดจะเป็นไปตาม:

$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}$

ผลที่ตามมาสามประการมีความสำคัญ และไม่มีผลที่ตามมาใด ๆ สำหรับโมเดลไดนามิกทั่วไป:

1. $H$ ได้รับการอนุรักษ์ตามวิถี ระบบถูกจำกัดอยู่ที่พื้นผิวพลังงานคงที่ — ท่อร่วมมิติที่ต่ำกว่าภายในพื้นที่เฟส นี่เป็นข้อจำกัดอย่างหนักว่ารัฐจะไปในทิศทางใด ไม่ใช่แนวโน้ม
2. $\omega = dq \wedge dp$ รูปแบบ 2 แบบสมมาตรได้รับการเก็บรักษาไว้ ปริมาตรเฟส-สเปซได้รับการอนุรักษ์ไว้อย่างแน่นอน (ทฤษฎีบทของ Liouville) วิถีโคจรไม่สามารถมาบรรจบกันบนตัวดึงดูดได้ การไหลไม่สามารถบีบอัดได้
3. ไดนามิกสามารถย้อนกลับเวลาได้ เรียกใช้การไหลย้อนกลับและคุณจะกู้คืนสถานะเริ่มต้นได้อย่างแน่นอน

จุดที่ 2 คุ้มค่าที่จะหยุดชั่วคราว เพราะเป็นจุดที่ตึงเครียดที่สุดกับสิ่งอื่นๆ ในบล็อกนี้ ทฤษฎีบทของ Liouville กล่าวว่าระบบแฮมิลตัน ไม่มีตัวดึงดูด กระแสการรักษาปริมาตรไม่สามารถหดตัวกับสิ่งใดๆ ได้ หากคุณเชื่อว่าตลาดมีโครงสร้างที่ดึงดูดใจ และบทความของดึงดูดใจก็โต้แย้งว่าเป็นเช่นนั้น แสดงว่าคุณได้ให้คำมั่นสัญญากับตลาดที่จะไม่เป็นแบบแฮมิลตันในความหมายที่เข้มงวดแล้ว นั่นคือความขัดแย้งที่แท้จริง ไม่ใช่ด้านเทคนิค และเป็นเหตุผลที่การขยายการกระจายด้านล่างไม่ใช่สิ่งที่คิดในภายหลัง

เหตุใดตัวอินทิเกรตจึงสำคัญ

จำลองระบบแฮมิลตันด้วยผู้บูรณาการที่ไร้เดียงสา (ออยเลอร์, RK4) และวิถีที่คำนวณไว้จะค่อย ๆ ลอยออกจากพื้นผิวพลังงานคงที่ ข้อผิดพลาดในการตัดทอนในเครื่องมีขนาดเล็ก ข้อผิดพลาด เรขาคณิต เป็นระบบ ในขอบเขตอันยาวไกล การจำลองเกิดความผิดพลาดในเชิงคุณภาพ นั่นคือ วงโคจรที่ควรปิดเริ่มหมุนวน

โครงข่ายประสาทเทียมมาตรฐานมีข้อบกพร่องเดียวกันด้วยเหตุผลที่ลึกซึ้งกว่านั้น สถานะการแมป MLP กับอนุพันธ์ไม่มีกลไกที่จะรักษาสิ่งใดไว้ เรียนรู้พลศาสตร์ท้องถิ่นอย่างเพียงพอและสะสมข้อผิดพลาดที่ประกอบขึ้น

การเรียกร้องการอนุรักษ์โดยย่อ

บล็อกนี้ได้โต้แย้งไปแล้วว่าตลาดปฏิบัติตามหลักการที่คล้ายกับการอนุรักษ์ Navier-Stokes for algotrading, ตอนที่ 2 กล่าวถึงกรณีนี้อย่างละเอียด ตั้งแต่สภาพคล่องในเชิงมวล ไปจนถึงการจัดการความเสี่ยงทางอุทกพลศาสตร์ และจัดหาแหล่งที่มาของกรอบเศรษฐศาสตร์อย่างเหมาะสม การเพิ่มประสิทธิภาพความแปรปรวนเฉลี่ยก็เป็นระบบ Lagrangian อยู่แล้วในบล็อกนี้: ดู ทฤษฎีพอร์ตโฟลิโอของ Markowitz สำหรับรูปแบบกำลังสองที่มีข้อจำกัด และ การดำเนินการที่เหมาะสมที่สุดของ Almgren-Chriss สำหรับงบประมาณความเสี่ยง/การระบุ $\lambda$ โดยที่ $\lambda$ มีบทบาทเป็นโมเมนตัมคอนจูเกตทุกประการ

ไม่มีสิ่งใดที่ถูกนำกลับมาใช้ใหม่ที่นี่ เนื่องจากการเคลื่อนไหวที่น่าสนใจนั้นแตกต่างออกไป บทความเหล่านั้นใช้การอนุรักษ์เป็น อุปมา ที่จูงใจแบบจำลอง HNN เปลี่ยนการอนุรักษ์ให้เป็น ข้อจำกัดทางสถาปัตยกรรม ซึ่งโมเดลไม่สามารถละเมิดได้ แม้ว่าข้อมูลจะร้องขอก็ตาม ความแตกต่างดังกล่าว — การเปรียบเทียบแบบนุ่มนวลกับโครงสร้างแบบแข็ง — คือเนื้อหาทั้งหมดของสิ่งที่ตามมา และลดทั้งสองวิธี กล่าวคือ ข้อจำกัดที่ข้อมูลไม่เป็นไปตามนั้นไม่ใช่แบบเดิม แต่เป็นข้อบกพร่อง

สถาปัตยกรรม HNN: การอนุรักษ์โครงสร้างเทียบกับการลงโทษ

กลไกที่ได้รับข้อมูลจากฟิสิกส์ทั่วไป - นำอนุพันธ์อัตโนมัติของเอาต์พุตเครือข่ายที่เกี่ยวข้องกับอินพุต สร้างฟิสิกส์ที่เหลือ ย่อให้เล็กสุด - ได้แสดงให้เห็นแล้วใน Navier-Stokes PINN ซึ่ง physics_loss สร้าง u_t, u_x, u_xx ผ่าน autograd.grad และยกกำลังสอง ที่เหลือ HNN ใช้กลไกเดียวกันนั้นกับการเปลี่ยนแปลงเพียงครั้งเดียว และการเปลี่ยนแปลงคือประเด็นทั้งหมด

PINN ลงโทษ การละเมิดกฎหมายทางกายภาพ คงเหลือคือระยะการสูญเสียที่มีน้ำหนัก เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพจะแลกเปลี่ยนกับข้อมูลที่เหมาะสม ลดน้ำหนักลงหรือส่งข้อมูลที่ขัดแย้งกัน แล้วเครือข่ายก็จะฝ่าฝืนกฎหมายอย่างมีความสุข การอนุรักษ์เป็นการตั้งค่า

HNN ทำให้การอนุรักษ์ เชิงโครงสร้าง มันไม่ได้เรียนรู้ฟิลด์เวกเตอร์ $(\dot{q}, \dot{p}) = f_\theta(q, p)$ ซึ่งไม่มีข้อจำกัดและไม่อนุรักษ์อะไรเลย เรียนรู้ สเกลาร์ $H_\theta(q, p)$ และได้รับทั้งสององค์ประกอบของสนามเวกเตอร์จากการไล่ระดับสีเดียว:

$\dot{q} = \frac{\partial H_\theta}{\partial p}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H_\theta}{\partial q}$

เนื่องจากอนุพันธ์ทั้งสองมาจากศักย์สเกลาร์เดียว สนามผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นการไล่ระดับแบบสมมาตรโดยการสร้าง $dH_\theta/dt = \partial_q H \cdot \dot{q} + \partial_p H \cdot \dot{p} = \partial_q H \cdot \partial_p H - \partial_p H \cdot \partial_q H = 0$ ในทำนองเดียวกันสำหรับการตั้งค่าพารามิเตอร์ ทุกตัว $\theta$ — รวมถึงเครือข่ายที่เริ่มต้นแบบสุ่มและไม่ได้รับการฝึกอย่างสมบูรณ์ ไม่มีน้ำหนักที่ต้องปรับลง การอนุรักษ์เป็นอัตลักษณ์พีชคณิตของการกำหนดพารามิเตอร์ ไม่ใช่คำในวัตถุประสงค์

นี่เป็นการรับประกันที่แข็งแกร่งกว่าข้อเสนอของ PINN มากและมาพร้อมกับโหมดความล้มเหลวที่คมชัดกว่ามาก การสูญเสียจะเปรียบเทียบอนุพันธ์ ที่ได้รับ กับข้อมูลที่สังเกตได้:

$\mathcal{L} = \left\| \frac{\partial H_\theta}{\partial p} - \dot{q}_{\text{data}} \right\|^2 + \left\| \frac{\partial H_\theta}{\partial q} + \dot{p}_{\text{data}} \right\|^2$

หากฟิลด์ $(\dot{q}, \dot{p})$ ที่สังเกตได้ไม่ใช่การไล่ระดับแบบสมมาตรของสิ่งใด ๆ — หากมีความโค้งงอ การกำหนดพารามิเตอร์จะไม่สามารถแสดงได้ — การสูญเสียก็ไม่สามารถไปถึงศูนย์ได้ The residual floor is not an optimisation failure. เป็นการวัดว่าข้อมูลมาจากการยอมรับแฮมิลตันมากแค่ไหน ตัวเลขนั้นเป็นผลลัพธ์ที่มีประโยชน์มากที่สุดของสถาปัตยกรรมทั้งหมดนี้ และเป็นตัวเลขที่เหลือในโพสต์นี้ที่จัดระเบียบไว้

ตัวเครือข่ายนั้นไม่มีมาตรฐาน: MLP จาก $(q, p) \in \mathbb{R}^{2n}$ ผ่านเลเยอร์ Tanh สองชั้นที่มีความกว้าง 200 ไปจนถึงเอาต์พุตแบบสเกลาร์

พิกัด

สำหรับการใช้งานทางการเงิน $q$ เป็นสถานะทั่วไป (ราคาบันทึก น้ำหนักพอร์ตโฟลิโอ การเปิดเผยปัจจัย) และ $p$ เป็นโมเมนตัมทั่วไป (อัตราการเปลี่ยนแปลง ตัวชี้วัดโมเมนตัม ตัวแปรการไหล) $H_\theta(q, p)$ คือค่าคงที่ใดก็ตามที่เครือข่ายสามารถค้นหาได้ - อาจเป็นมูลค่าตลาดรวม, ​​อาจเป็นมาตรการความเสี่ยง, อาจเป็นปริมาณนามธรรมที่ไม่มีการอ่านทางเศรษฐกิจ หรืออาจไม่มีอะไรเลย

การเลือกจับคู่ไม่ใช่เรื่องไร้เดียงสา และนี่คือช่องว่างในการนำเสนอแบบมาตรฐาน ไม่มีอะไรเกี่ยวกับ "$q$ = log-price, $p$ = EMA ของผลตอบแทน" ที่กำหนดว่าสิ่งเหล่านี้คือ คอนจูเกต การผันคำกริยาเป็นความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างที่เฉพาะเจาะจง — $p$ จะต้องเป็นโมเมนตัมที่จับคู่กับ $q$ ตามรูปแบบบัญญัติ โดยที่ $dq/dt = \partial H/\partial p$ มีไว้สำหรับ $H$ บางส่วน การยืนยันและการทดสอบเป็นกิจกรรมที่แตกต่างกัน และวรรณกรรมที่ปรับ HNN ให้เข้ากับการเงินส่วนใหญ่จะทำแบบแรก

อินทิเกรตเตอร์แบบซิมเพล็กติก

การเรียนรู้ $H_\theta$ มีชัยไปกว่าครึ่ง การสร้างวิถีจำเป็นต้องบูรณาการสมการของแฮมิลตัน และผู้บูรณาการสามารถทำลายสิ่งที่สถาปัตยกรรมรับประกันได้

ผู้รวมระบบ Symplectic รักษา $\omega = dq \wedge dp$ ไว้อย่างแน่นอน ปริมาตรพื้นที่เฟสได้รับการอนุรักษ์ไว้ $H$ แกว่งไปรอบค่าจริงโดยมีข้อผิดพลาดแบบมีขอบเขต แทนที่จะเคลื่อนไปในทางฆราวาส และวงโคจรยังคงถูกต้องในเชิงคุณภาพ RK4 ให้ข้อผิดพลาดต่อขั้นตอนน้อยลง และไม่มีคุณสมบัติเหล่านี้เลย

รูปแบบสมมาตรที่ง่ายที่สุดคือ Stormer-Verlet (แบบก้าวกระโดด):

$p_{n+1/2} = p_n - \frac{\Delta t}{2} \frac{\partial H}{\partial q}(q_n, p_{n+1/2})$ $q_{n+1} = q_n + \Delta t \frac{\partial H}{\partial p}(q_{n+1}, p_{n+1/2})$ $p_{n+1} = p_{n+1/2} - \frac{\Delta t}{2} \frac{\partial H}{\partial q}(q_{n+1}, p_{n+1/2})$

สำหรับ $H(q, p) = T(p) + V(q)$ ที่แยกส่วนได้ สิ่งเหล่านี้คือการอัปเดตที่ชัดเจน โดยทั่วไปแล้วชาวแฮมิลตันทางการเงินไม่สามารถแยกออกจากกัน — พลวัตของโมเมนตัมขึ้นอยู่กับราคาและในทางกลับกัน — ดังนั้นกรณีทั่วไปจำเป็นต้องมีขั้นตอนโดยนัย วิธีการที่มีลำดับสูงกว่า (Yoshida, Forest-Ruth) หรือเส้นทาง SympNets ด้านล่าง

ตองและคณะ. (2020) แสดงให้เห็นว่าการเขียนขั้นตอนการก้าวกระโดดในขณะที่เลเยอร์เครือข่ายสร้างสถาปัตยกรรมที่มีความสมมาตรโดยการก่อสร้าง แต่ละเลเยอร์เป็นขั้นตอนการบูรณาการ ความลึกเท่ากับจำนวนขั้นตอน และแผนที่ที่เรียนรู้ $(q_n, p_n) \mapsto (q_{n+1}, p_{n+1})$ จะรักษาโครงสร้างสมมาตรไว้อย่างแน่นอน

รับประกันความเสถียร: จริงและนอกประเด็น

คุณสมบัติเสถียรภาพเป็นไปตามทฤษฎีบท ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงไม่พิสูจน์อะไรเกี่ยวกับตลาดเลย

การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดแบบย้อนกลับ ผู้บูรณาการแบบ Symplectic ที่ใช้กับ $H$ สามารถแก้ปัญหา ใกล้เคียง Hamiltonian $\tilde{H} = H + O(\Delta t^k)$ ได้อย่างแน่นอน วิถีการคำนวณคือวิถีที่แน่นอนของระบบที่ถูกรบกวนเล็กน้อย และทฤษฎี KAM เชื่อมโยงข้อผิดพลาดด้านพลังงานในช่วงเวลาที่ยาวนานแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ความเสถียรของ Lyapunov หาก $H_\theta$ มีจุดต่ำสุดที่สมดุล $H_\theta$ จะเป็นฟังก์ชันของ Lyapunov ที่พิสูจน์ว่าความสมดุลนั้นเสถียร ไม่จำเป็นต้องมีการวิเคราะห์แยกต่างหาก

Both results are conditional on $H_\theta$ being the right object. พวกเขาบอกคุณว่าการจำลองของระบบการเรียนรู้นั้นซื่อสัตย์ พวกเขาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับว่าระบบการเรียนรู้คือตลาดหรือไม่ $H_\theta$ ที่ได้รับการอนุรักษ์ไว้อย่างสมบูรณ์แบบซึ่งติดตั้งกับพื้นที่เหลือ 0.9 ถือเป็นการจำลองวัตถุที่มีความเสถียร

การนำไปปฏิบัติ

โมดูล HNN หลัก

import torch
import torch.nn as nn

class HamiltonianNN(nn.Module):
    """Learns a scalar H(q, p); derives dynamics via Hamilton's equations."""
    def __init__(self, input_dim: int, hidden_dim: int = 200):
        super().__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_dim, hidden_dim), nn.Tanh(),
            nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim), nn.Tanh(),
            nn.Linear(hidden_dim, 1),
        )

    def hamiltonian(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor) -> torch.Tensor:
        return self.net(torch.cat([q, p], dim=-1))

    def time_derivative(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor):
        q = q.requires_grad_(True)
        p = p.requires_grad_(True)
        H = self.hamiltonian(q, p)
        dH_dq, dH_dp = torch.autograd.grad(H.sum(), [q, p], create_graph=True)
        return dH_dp, -dH_dq          # dq/dt, dp/dt

Symplectic Leapfrog Integrator

class LeapfrogIntegrator:
    """Stormer-Verlet integrator. Preserves the symplectic structure."""
    def __init__(self, hnn: HamiltonianNN, dt: float = 0.01):
        self.hnn, self.dt = hnn, dt

    def step(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor):
        _, dp_dt = self.hnn.time_derivative(q, p)
        p_half = p + 0.5 * self.dt * dp_dt

        dq_dt, _ = self.hnn.time_derivative(q, p_half)
        q_new = q + self.dt * dq_dt

        _, dp_dt = self.hnn.time_derivative(q_new, p_half)
        return q_new, p_half + 0.5 * self.dt * dp_dt

    def integrate(self, q0, p0, n_steps: int):
        traj_q, traj_p, q, p = [q0], [p0], q0, p0
        for _ in range(n_steps):
            q, p = self.step(q, p)
            traj_q.append(q); traj_p.append(p)
        return torch.stack(traj_q), torch.stack(traj_p)

พิกัดเฟส-อวกาศ

ราคาบันทึก ผลตอบแทนที่แตกต่าง โมเมนตัม EMA และความผันผวนแบบกลิ้งเป็นสิ่งก่อสร้างมาตรฐานในบล็อกนี้ — ไปป์ไลน์โมเดลการแพร่กระจาย และ ท่อร่วมที่ซับซ้อน ทั้งคู่จัดส่งมาให้] เพียงสองบรรทัดที่สำคัญในที่นี้คือบรรทัดที่กำหนดคู่คอนจูเกต:

q = np.log(prices)[w:-1]                          # generalised position
p = ewma(np.diff(np.log(prices), axis=0), w)[w-1:-1]   # generalised momentum

ทุกสิ่งที่อยู่ปลายน้ำ — ผลต่างอันจำกัด $\dot{q}$, $\dot{p}$, การจัดตำแหน่งความยาว, ลูปการฝึกอบรมที่จับคู่อนุพันธ์ที่ได้รับกับอนุพันธ์ที่สังเกตได้กับอดัม — นั้นเป็นกลไก

การตรวจสอบการอนุรักษ์

def measure_conservation(hnn, integrator, q0, p0, n_steps=1000):
    """Energy drift along an integrated trajectory."""
    with torch.no_grad():
        traj_q, traj_p = integrator.integrate(q0, p0, n_steps)
        energies = torch.stack([
            hnn.hamiltonian(traj_q[i], traj_p[i]) for i in range(n_steps + 1)
        ]).squeeze().numpy()

    return {
        "H_initial": energies[0],
        "H_final": energies[-1],
        "drift": energies[-1] - energies[0],
        "oscillation": energies.std(),
        "relative_error": abs(energies[-1] - energies[0]) / abs(energies[0]),
    }

โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้ ไม่ ทดสอบอะไร โดยจะวัดว่าผู้รวมระบบรักษา $H_\theta$ ไว้หรือไม่ ซึ่งตามทฤษฎีบท $H_\theta$ จะมีความหมายใดๆ หรือไม่ก็ตาม การอนุรักษ์แฮมิลตันที่เรียนรู้ในตัวตัวอย่างไม่ใช่หลักฐาน การทดสอบที่สำคัญนั้นแตกต่างออกไป

การทดสอบหักล้าง

การทดลองที่ซื่อสัตย์มีสามส่วน และได้รับการออกแบบเพื่อให้ผลลัพธ์เชิงลบเป็นข้อมูลมากกว่าจะน่าอาย

1. พื้นตกค้าง ติดตั้ง $H_\theta$ กับข้อมูลจริงและรายงานการสูญเสียแบบรวม ไม่ใช่การอนุรักษ์ การกำหนดพารามิเตอร์แบบไล่ระดับแบบสมมาตรไม่สามารถแสดงสนามเวกเตอร์ที่มีการโค้งงอได้ the floor measures the non-Hamiltonian component of the observed dynamics. ติดตั้ง MLP ที่ไม่มีข้อจำกัดกับข้อมูลที่เหมือนกันเป็นข้อมูลอ้างอิง เนื่องจากไม่มีข้อจำกัดทางโครงสร้าง ดังนั้นช่องว่างระหว่างสองชั้น คือ ต้นทุนของสมมติฐานของแฮมิลตัน ที่ระบุไว้ในหน่วยการสูญเสียของปัญหา

2. การอนุรักษ์นอกตัวอย่าง พอดีกับหน้าต่างเดียว จากนั้นประเมิน $H_\theta$ ตามวิถีนอกตัวอย่าง ที่สังเกตได้ ซึ่งเป็นเส้นทางราคาจริง ไม่ใช่เส้นทางบูรณาการ หาก $(q, p)$ เป็น Canonical อย่างแท้จริง $H_\theta$ จะคงอยู่โดยประมาณตามข้อมูลที่ไม่เคยเห็น หาก $H_\theta$ หลุดออกจากตัวอย่าง ปริมาณที่สงวนไว้นั้นเป็นสิ่งประดิษฐ์ในตัวอย่าง และการรับประกันของสถาปัตยกรรมไม่ได้ผล

3. การระเหยแบบประสานงาน นี่เป็นส่วนที่ส่วนทฤษฎีต้องการ และดูเหมือนว่าจะไม่มีการนำเสนอ HNN ทางการเงินใดๆ เกิดขึ้น ไม่มีสิ่งใดกำหนดได้ว่าราคาบันทึกและ EMA ของผลตอบแทนจะผันกัน มันถูกยืนยัน ดังนั้นทดสอบการจับคู่กัน — (ราคาบันทึก, ผลตอบแทน EMA), (ราคาบันทึก, ผลตอบแทนดิบ), (น้ำหนักพอร์ตโฟลิโอ อัตราการเปลี่ยนแปลงน้ำหนัก) — และจัดอันดับตามความเสถียรของ $H$ นอกตัวอย่าง ต่อต้านตัวแทนที่ส่งคืนแบบสับเปลี่ยนในฐานะผู้ควบคุม: ทำลายโครงสร้างชั่วคราว คงการกระจายส่วนขอบไว้ ปรับใหม่ หากตัวแทนให้ความเสถียรของ $H$ ที่เทียบเคียงได้ "ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้" จะเป็นคุณสมบัติของการกำหนดพารามิเตอร์แทนที่จะเป็นของตลาด

ก่อนหน้านี้ของฉันระบุไว้ก่อนข้อเท็จจริงเพื่อให้สามารถตรวจสอบกับผลลัพธ์ได้: สิ่งนี้ล้มเหลว เหตุผลอยู่ในไพรเมอร์ข้างต้น - ทฤษฎีบทของ Liouville ห้ามผู้ดึงดูด ตลาดดูเหมือนจะมีโครงสร้างที่ดึงดูดใจ และช่องทางหลบหนีทั้งสองด้านล่างเป็นการรับเข้าซึ่งสมมติฐานของแฮมิลตันที่เข้มงวดไม่ได้ยึดถือ หากพื้นที่ตกค้างสูงและ $H$ ที่ไม่อยู่ในตัวอย่างไม่เสถียรในทุกการจับคู่ นั่นเป็นผลลบที่วัดได้หมดจดจากข้อมูลทางฟิสิกส์ก่อนหน้านี้ และบล็อกนี้ได้เผยแพร่สิ่งเหล่านั้นก่อนหน้านี้ (ค่าลบที่ซื่อสัตย์ , ยุบ Sharpe) ค่าลบที่วัดได้จากทฤษฎีที่หรูหรานั้นมีค่ามากกว่าบทช่วยสอนที่ยังไม่ผ่านการทดสอบ

หากการอนุรักษ์ล้มเหลว: ส่วนขยายแบบกระจาย

ตลาดจริงรั่วไหล ต้นทุนการทำธุรกรรม การคลาดเคลื่อนของข้อมูล และข้อมูลที่เสื่อมลงจะขจัดพลังงานออกจากระบบ และ $H$ ที่ได้รับการอนุรักษ์ไว้อย่างเข้มงวดไม่สามารถเป็นตัวแทนได้ การผ่อนคลายตามหลักการมีอยู่สองประการ และทั้งสองควรอ่านว่าเป็น การยินยอมที่สมมติฐานนั้นแรงเกินไป ไม่ใช่เป็นการขัดเกลา:

1. คอนฟอร์มัลแฮมิลตัน: รุ่น $\dot{H} = -\gamma H$ พร้อมอัตราการกระจายที่เรียนรู้ $\gamma$ ขนาดของ $\gamma$ ที่ติดตั้งไว้นั้นเป็นเพียงการวัด — ว่าระบบอยู่ห่างจากแบบอนุรักษ์นิยมเพียงใด
2. พอร์ต-ฮามิลโทเนียน: $\dot{x} = (J - R)\nabla H + Bu$ โดยมี $J$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร $R \succeq 0$ เป็นเมทริกซ์การกระจาย และการบังคับภายนอก $Bu$ (ข่าว โฟลว์) ในที่นี้ $\|R\|$ สัมพันธ์กับ $\|J\|$ ระบุปริมาณการออกเดินทางโดยตรง

ทั้งสองคืนความสามารถในการเป็นตัวแทนของผู้ดึงดูด โดยเสียค่าใช้จ่ายในการรับประกันข้อผิดพลาดแบบมีขอบเขตซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้กับสถาปัตยกรรม นั่นคือการค้าขาย ระบุไว้อย่างชัดเจน: คุณสามารถมี Liouville หรือคุณจะสูญเสียไปก็ได้ และตลาดดูเหมือนจะต้องการอย่างที่สอง

ปัญหาแบบเปิดที่เกี่ยวข้อง: แฮมิลตันทางการเงินไม่สามารถแยกออกจากกันได้ (ต้องใช้ขั้นตอนซิมเพล็กติกโดยปริยายหรือลำดับที่สูงกว่า หรือ SympNets การเรียนรู้แผนที่ซิมเพล็กติกโดยตรง) และตลาดดำเนินการในหลายไทม์สเกลที่ $H$ เดียวไม่น่าจะจับได้ - แฮมิลตันเนียนแบบลำดับชั้นสำหรับไดนามิกที่เร็วและช้า หรือการรักษาแบบอะเดียแบติกของตัวแปรช้าเป็นพารามิเตอร์ของสเกลที่รวดเร็ว $H$.

บทสรุป

เครื่องจักรทำงาน เรียนรู้สเกลาร์ $H_\theta$ หาสนามเวกเตอร์จากการไล่ระดับสี บูรณาการเชิงสมมาตร และคุณจะได้รับการอนุรักษ์เป็นอัตลักษณ์พีชคณิต ข้อผิดพลาดที่มีขอบเขตในขั้นตอนหลายพันขั้น การย้อนกลับเวลาที่แน่นอน และฟังก์ชัน Lyapunov ฟรี ข้อกล่าวอ้างแต่ละข้อเป็นทฤษฎีบทและไม่มีข้อใดต้องได้รับการตรวจสอบความถูกต้อง

สิ่งที่ต้องมีการตรวจสอบคือหลักฐาน HNN ไม่ได้ทดสอบว่ามีปริมาณอนุรักษ์อยู่หรือไม่ โดยจะสันนิษฐานและปรับให้เหมาะสมภายใต้สมมติฐาน โดยจะนำมาบรรจบกันเป็นแบบจำลองที่ราบรื่น มีเสถียรภาพ และมีพฤติกรรมที่ดี พื้นคงเหลือและความเสถียรของ $H$ นอกตัวอย่างเป็นเพียงตัวเลขสองตัวเท่านั้นที่แยกแยะ "ตลาดอนุรักษ์บางสิ่งบางอย่าง" จาก "การกำหนดพารามิเตอร์จะสร้างบางสิ่งบางอย่างเสมอ"

ดังนั้นคำถามที่โพสต์นี้จบลงไม่ใช่ว่า HNN มีความเสถียรหรือไม่ สิ่งสำคัญคือความสง่างามนั้นจะรอดจากการติดต่อกับ BTCUSDT หรือไม่ และจนกว่าตัวเลขเหล่านั้นจะปรากฏบนหน้า ท่าทีที่ถูกต้องต่อการเรียกร้องการอนุรักษ์ทุกครั้งในการเรียนรู้ของเครื่องจักรทางการเงิน รวมถึงอันนี้ด้วย ก็คือว่ามันยังไม่ได้ทดสอบ

อ้างอิง

1. Greydanus, S., Dzamba, M., & Sprague, J. (2019) โครงข่ายประสาทเทียมฮามิลโทเนียน. นิวรอยส์ 2019
2. Tong, Y., Xiong, S., He, X., Pan, G., และ Zhu, B. (2020) เครือข่ายแฮมิลตันเชิงลึกที่อิงตามตัวรวม Symplectic. พิมพ์ล่วงหน้า arXiv
3. Baaquie, B.E. (2000). Hamiltonian in Financial Markets. พิมพ์ล่วงหน้า arXiv
4. คอตเลอร์ เจ. และ เรซชิคอฟ เอส. (2023) การจำลองแฮมิลตันที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแก้การเปลี่ยนแปลงราคาตัวเลือก. การวิจัยทบทวนทางกายภาพ
5. โกนอน พี. และ ออร์เทกา เจ.-พี. (2552) ตลาดหุ้นและพลศาสตร์ควอนตัม. พิมพ์ล่วงหน้า arXiv
6. Greydanus, S. (2019). เครือข่ายประสาทเทียมแฮมิลตัน — บล็อกโพสต์.
7. ซานโตส ซี. และคณะ (2022) โครงข่ายประสาทเทียมโมเมนตัมเชิงสัญลักษณ์. PMLR.