Mạng lưới thần kinh Hamilton: Hệ thống tài chính có bảo toàn được gì không?

Có hai câu hỏi bạn có thể hỏi về Mạng lưới thần kinh Hamilton và chỉ một trong số đó là thú vị.

Câu hỏi nhàm chán là "HNN có ổn định không?" Câu trả lời là có, và đó là một định lý, không phải một thí nghiệm. Mã hóa các phương trình của Hamilton vào kiến ​​trúc, tích hợp với sơ đồ đối xứng và phân tích lỗi ngược giúp bạn có được sai số năng lượng giới hạn trong các khoảng thời gian dài theo cấp số nhân. Không có gì liên quan đến tài chính. Bạn không cần phải kiểm tra lại để tin điều đó.

Câu hỏi thú vị là kết quả ổn định giả định một cách lặng lẽ: một vectơ trạng thái tài chính có thừa nhận một đại lượng được bảo toàn không? HNN không phát hiện ra liệu $H$ tồn tại. Nó giả định $H$ tồn tại và tìm ra cái tốt nhất theo giả định đó. Nếu thị trường không có biện pháp bảo tồn $H$ đối với các tọa độ bạn đã chọn, mạng sẽ vẫn hội tụ, vẫn tạo ra vô hướng trơn tru, vẫn tích hợp mà không bị lỗi - và toàn bộ mọi thứ sẽ là một mô hình rất ổn định của không có gì.

Bài này xây dựng bộ máy, sau đó dành nửa sau để cố gắng phá vỡ nó. Tuyên bố đang được thử nghiệm là hẹp và có thể sai lệch: rằng một lựa chọn $(q, p)$ cặp — giả sử giá log và EMA của lợi nhuận — là liên hợp chuẩn, nghĩa là $dq/dt = \partial H/\partial p$ thực sự đúng với một số người $H$. Đó là một khẳng định mang tính thực nghiệm, và phần lý thuyết của bản dự thảo không đưa ra lý do gì để tin vào điều đó.

Cơ học Hamilton: Thực sự có gì mới ở đây

Không gian pha, hệ động lực, quỹ đạo và quỹ đạo đã là từ vựng trên blog này - xem điểm thu hút trong thuật toán cho các định nghĩa và đa tạp phức tạp để tái tạo không gian pha thông qua nhúng Takens. Những gì tiếp theo giả định chúng.

Phần mới là cấu trúc đối xứng. Cơ học cổ điển có hai công thức tương đương. Newton đưa ra $F = ma$. Hamilton đưa ra hàm vô hướng $H(q, p)$ từ đó mọi động lực đều tuân theo:

$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}$

Ba hệ quả quan trọng và không có hệ quả nào có sẵn cho một mô hình động lực chung:

1. $H$ được bảo toàn dọc theo các quỹ đạo. Hệ được giới hạn trong một bề mặt có năng lượng không đổi — một đa tạp có chiều thấp hơn bên trong không gian pha. Đây là một hạn chế cứng rắn về việc nhà nước có thể đi đến đâu chứ không phải là một xu hướng.
2. Dạng đối xứng 2 $\omega = dq \wedge dp$ được bảo toàn. Thể tích không gian pha được bảo toàn chính xác (định lý Liouville). Quỹ đạo không thể hội tụ vào một điểm thu hút; dòng chảy không thể nén được.
3. Động lực có thể đảo ngược theo thời gian. Chạy ngược dòng và bạn khôi phục chính xác trạng thái ban đầu.

Điểm 2 đáng để tạm dừng vì đây là điểm căng thẳng nhất với mọi thứ khác trên blog này. Định lý Liouville cho biết hệ Hamilton không có đường thu hút. Các luồng bảo toàn khối lượng không thể co lại vào bất cứ thứ gì. Nếu bạn tin rằng thị trường có cấu trúc thu hút - và bài báo về công cụ thu hút lập luận là có - thì bạn đã cam kết rằng thị trường không mang tính Hamilton theo nghĩa chặt chẽ. Đó là một xung đột thực sự, không phải là vấn đề kỹ thuật và đó là lý do tại sao các tiện ích mở rộng tiêu tán bên dưới không phải là giải pháp cần cân nhắc.

Tại sao Nhà tích hợp lại quan trọng

Mô phỏng một hệ thống Hamilton với bộ tích phân đơn giản (Euler, RK4) và quỹ đạo được tính toán từ từ trôi ra khỏi bề mặt năng lượng không đổi. Lỗi cắt ngắn cục bộ nhỏ; lỗi hình học là có tính hệ thống. Trong những khoảng thời gian dài, mô phỏng trở nên sai về mặt chất lượng: những quỹ đạo lẽ ra đóng lại sẽ bắt đầu chuyển động xoắn ốc.

Mạng lưới thần kinh tiêu chuẩn có khiếm khuyết tương tự vì một lý do sâu xa hơn. Trạng thái ánh xạ MLP tới các dẫn xuất không có cơ chế để bảo toàn bất cứ thứ gì. Nó học động lực cục bộ một cách đầy đủ và tích lũy các lỗi phức tạp.

Tuyên bố bảo tồn, ngắn gọn

Blog này đã lập luận rằng thị trường tuân theo các nguyên tắc giống như bảo tồn - Navier-Stokes cho giao dịch đại số, phần 2 giải quyết vấn đề này một cách lâu dài, từ tính thanh khoản cho đến quản lý rủi ro thủy động lực và cung cấp khung vật lý kinh tế phù hợp. Tối ưu hóa phương sai trung bình cũng là một hệ thống Lagrange trên blog này: xem Lý thuyết danh mục đầu tư Markowitz cho dạng bậc hai bị ràng buộc và Thực hiện tối ưu Almgren-Chriss cho ngân sách rủi ro/$\lambda$ nhận dạng, ở đâu $\lambda$ đóng đúng vai trò của động lượng liên hợp.

Không có điều nào trong số đó được bắt nguồn lại ở đây, bởi vì động thái thú vị là khác. Những bài viết đó sử dụng việc bảo tồn như một phép ẩn dụ nhằm thúc đẩy một mô hình. HNN biến việc bảo toàn thành một ràng buộc kiến ​​trúc mà mô hình không thể vi phạm ngay cả khi dữ liệu yêu cầu điều đó. Sự khác biệt đó - sự tương tự mềm so với cấu trúc cứng - là toàn bộ nội dung của những gì tiếp theo và nó cắt giảm cả hai cách: một ràng buộc mà dữ liệu không đáp ứng không phải là một hạn chế trước đó, nó là một lỗi.

Kiến trúc HNN: Bảo tồn kết cấu và bị phạt

Cơ chế thông tin vật lý chung - lấy đạo hàm tự động cấp của đầu ra mạng đối với đầu vào của nó, tạo thành phần dư vật lý, giảm thiểu nó - đã được thể hiện trong mã PINN Navier-Stokes, của ai physics_loss xây dựng u_t, u_x, u_xx thông qua autograd.grad và bình phương phần dư. HNN sử dụng cơ chế tương tự với một thay đổi và thay đổi đó là toàn bộ vấn đề.

PINN phạt các hành vi vi phạm luật vật lý. Phần dư là số hạng mất mát có trọng số; trình tối ưu hóa đánh đổi nó để phù hợp với dữ liệu. Giảm trọng lượng hoặc cung cấp dữ liệu xung đột và mạng sẽ vui vẻ vi phạm luật. Bảo tồn là một ưu tiên.

HNN tạo nên sự bảo tồn có tính cấu trúc. Nó không học trường vectơ $(\dot{q}, \dot{p}) = f_\theta(q, p)$, không bị ràng buộc và không bảo toàn gì cả. Nó học một vô hướng $H_\theta(q, p)$ và lấy được cả hai thành phần của trường vectơ từ một gradient duy nhất:

$\dot{q} = \frac{\partial H_\theta}{\partial p}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H_\theta}{\partial q}$

Bởi vì cả hai đạo hàm đều có cùng một thế năng vô hướng, nên trường kết quả có độ dốc đối xứng theo cách xây dựng. $dH_\theta/dt = \partial_q H \cdot \dot{q} + \partial_p H \cdot \dot{p} = \partial_q H \cdot \partial_p H - \partial_p H \cdot \partial_q H = 0$, tương tự, đối với cài đặt tham số mọi $\theta$ - bao gồm một mạng được khởi tạo ngẫu nhiên, hoàn toàn chưa được đào tạo. Không có trọng lượng để điều chỉnh. Sự bảo toàn là một đồng nhất đại số của tham số hóa, không phải là một thuật ngữ trong mục tiêu.

Đây là sự đảm bảo mạnh mẽ hơn nhiều so với ưu đãi của PINN và nó đi kèm với chế độ lỗi nghiêm trọng hơn nhiều. Sự mất mát so sánh các dẫn xuất có nguồn gốc với dữ liệu được quan sát:

$\mathcal{L} = \left\| \frac{\partial H_\theta}{\partial p} - \dot{q}_{\text{data}} \right\|^2 + \left\| \frac{\partial H_\theta}{\partial q} + \dot{p}_{\text{data}} \right\|^2$

Nếu quan sát được $(\dot{q}, \dot{p})$ trường không phải là một gradient tổng hợp của bất kỳ thứ gì - nếu nó có độ cong thì tham số hóa không thể biểu thị - đơn giản là tổn thất không thể đạt tới 0. Tầng còn lại không phải là lỗi tối ưu hóa. Nó là phép đo xem dữ liệu còn bao xa để thừa nhận một người Hamiltonian. Con số đó là kết quả đầu ra hữu ích nhất của toàn bộ kiến ​​trúc này và nó là con số mà phần còn lại của bài đăng này được sắp xếp xung quanh.

Bản thân mạng này không có gì nổi bật: một MLP từ $(q, p) \in \mathbb{R}^{2n}$ thông qua hai lớp tanh có chiều rộng 200 để tạo ra một đầu ra vô hướng.

tọa độ

Đối với các ứng dụng tài chính, $q$ là một vị thế tổng quát (giá log, trọng số danh mục đầu tư, rủi ro về yếu tố) và $p$ động lượng tổng quát (tốc độ thay đổi, chỉ báo động lượng, biến dòng chảy). $H_\theta(q, p)$ thì đó là bất kỳ bất biến nào mà mạng có thể tìm thấy - có thể là tổng vốn hóa thị trường, có thể là thước đo rủi ro, có thể là một đại lượng trừu tượng không có dữ liệu kinh tế, có thể không có gì.

Việc lựa chọn ghép đôi không hề đơn giản và đây chính là lỗ hổng trong cách trình bày tiêu chuẩn. Không có gì về "$q$ = giá log, $p$ = EMA của lợi nhuận" chứng minh rằng đây là liên hợp. Liên hợp là một mối quan hệ cấu trúc cụ thể — $p$ phải là động lượng được ghép nối theo quy luật với $q$, như vậy $dq/dt = \partial H/\partial p$ giữ cho một số $H$. Khẳng định nó và kiểm tra nó là những hoạt động khác nhau và tài liệu điều chỉnh HNN để tài trợ hầu hết đều làm như vậy.

Bộ tích phân đơn giản

Học hỏi $H_\theta$ là một nửa vấn đề. Việc tạo ra các quỹ đạo đòi hỏi phải tích hợp các phương trình Hamilton và bộ tích hợp có thể phá hủy những gì mà kiến ​​trúc đảm bảo.

Bộ tích hợp đơn giản bảo tồn $\omega = dq \wedge dp$ chính xác. Âm lượng không gian pha được bảo toàn, $H$ dao động xung quanh giá trị thực của nó với sai số giới hạn thay vì trôi dạt một cách vô hạn và các quỹ đạo luôn chính xác về mặt chất lượng. RK4 cung cấp cho bạn lỗi nhỏ hơn trên mỗi bước và không có thuộc tính nào trong số này.

Sơ đồ đối xứng đơn giản nhất là Stormer-Verlet (leapfrog):

$p_{n+1/2} = p_n - \frac{\Delta t}{2} \frac{\partial H}{\partial q}(q_n, p_{n+1/2})$ $q_{n+1} = q_n + \Delta t \frac{\partial H}{\partial p}(q_{n+1}, p_{n+1/2})$ $p_{n+1} = p_{n+1/2} - \frac{\Delta t}{2} \frac{\partial H}{\partial q}(q_{n+1}, p_{n+1/2})$

Để có thể tách rời $H(q, p) = T(p) + V(q)$ đây là những cập nhật rõ ràng. Những người Hamilton tài chính nói chung là không thể tách rời - động lực phụ thuộc vào giá cả và ngược lại - vì vậy trường hợp chung cần các bước ngầm, phương pháp bậc cao hơn (Yoshida, Forest-Ruth) hoặc lộ trình SympNets bên dưới.

Tông và cộng sự. (2020) đã chỉ ra rằng việc tạo ra các bước nhảy vọt khi các lớp mạng tạo ra các kiến ​​trúc có tính chất đối xứng theo cách xây dựng: mỗi lớp là một bước tích hợp, độ sâu bằng số bước và bản đồ đã học $(q_n, p_n) \mapsto (q_{n+1}, p_{n+1})$ bảo tồn cấu trúc đối xứng một cách chính xác.

Đảm bảo sự ổn định: Thực tế và bên cạnh quan điểm

Các đặc tính ổn định xuất phát từ các định lý, đó chính xác là lý do tại sao chúng không chứng minh được gì về thị trường.

Phân tích lỗi ngược. Một bộ tích phân đối xứng được áp dụng cho $H$ giải quyết chính xác một gần đó Hamiltonian $\tilde{H} = H + O(\Delta t^k)$. Quỹ đạo được tính toán là quỹ đạo chính xác của một hệ thống bị nhiễu loạn nhẹ và lý thuyết KAM giới hạn sai số năng lượng trong thời gian dài theo cấp số nhân.

Độ ổn định Lyapunov. Nếu $H_\theta$ có mức tối thiểu ở trạng thái cân bằng, $H_\theta$ bản thân nó là hàm Lyapunov chứng tỏ trạng thái cân bằng ổn định. Không cần phân tích riêng biệt.

Cả hai kết quả đều có điều kiện $H_\theta$ là đối tượng phù hợp. Họ cho bạn biết mô phỏng của hệ thống đã học là trung thực; họ không nói gì về việc liệu hệ thống đã học có phải là thị trường hay không. Được bảo tồn hoàn hảo $H_\theta$ được trang bị cho phần sàn còn lại 0,9 là mô phỏng ổn định của một tạo tác.

Thực hiện

Mô-đun HNN lõi

import torch
import torch.nn as nn

class HamiltonianNN(nn.Module):
    """Learns a scalar H(q, p); derives dynamics via Hamilton's equations."""
    def __init__(self, input_dim: int, hidden_dim: int = 200):
        super().__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_dim, hidden_dim), nn.Tanh(),
            nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim), nn.Tanh(),
            nn.Linear(hidden_dim, 1),
        )

    def hamiltonian(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor) -> torch.Tensor:
        return self.net(torch.cat([q, p], dim=-1))

    def time_derivative(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor):
        q = q.requires_grad_(True)
        p = p.requires_grad_(True)
        H = self.hamiltonian(q, p)
        dH_dq, dH_dp = torch.autograd.grad(H.sum(), [q, p], create_graph=True)
        return dH_dp, -dH_dq          # dq/dt, dp/dt

Bộ tích hợp Leapfrog Symplectic

class LeapfrogIntegrator:
    """Stormer-Verlet integrator. Preserves the symplectic structure."""
    def __init__(self, hnn: HamiltonianNN, dt: float = 0.01):
        self.hnn, self.dt = hnn, dt

    def step(self, q: torch.Tensor, p: torch.Tensor):
        _, dp_dt = self.hnn.time_derivative(q, p)
        p_half = p + 0.5 * self.dt * dp_dt

        dq_dt, _ = self.hnn.time_derivative(q, p_half)
        q_new = q + self.dt * dq_dt

        _, dp_dt = self.hnn.time_derivative(q_new, p_half)
        return q_new, p_half + 0.5 * self.dt * dp_dt

    def integrate(self, q0, p0, n_steps: int):
        traj_q, traj_p, q, p = [q0], [p0], q0, p0
        for _ in range(n_steps):
            q, p = self.step(q, p)
            traj_q.append(q); traj_p.append(p)
        return torch.stack(traj_q), torch.stack(traj_p)

Tọa độ pha-không gian

Giá nhật ký, lợi nhuận chênh lệch, động lượng EMA và biến động luân phiên là những cấu trúc tiêu chuẩn trên blog này - đường ống mô hình khuếch tán Và đa tạp phức tạp cả hai đều vận chuyển nó. Hai dòng duy nhất quan trọng ở đây là những dòng xác định cặp liên hợp:

q = np.log(prices)[w:-1]                          # generalised position
p = ewma(np.diff(np.log(prices), axis=0), w)[w-1:-1]   # generalised momentum

Mọi thứ xuôi dòng - sai phân hữu hạn $\dot{q}$, $\dot{p}$, căn chỉnh độ dài, vòng lặp huấn luyện khớp các đạo hàm dẫn xuất với các đạo hàm được quan sát với Adam - là cơ học.

Kiểm tra bảo tồn

def measure_conservation(hnn, integrator, q0, p0, n_steps=1000):
    """Energy drift along an integrated trajectory."""
    with torch.no_grad():
        traj_q, traj_p = integrator.integrate(q0, p0, n_steps)
        energies = torch.stack([
            hnn.hamiltonian(traj_q[i], traj_p[i]) for i in range(n_steps + 1)
        ]).squeeze().numpy()

    return {
        "H_initial": energies[0],
        "H_final": energies[-1],
        "drift": energies[-1] - energies[0],
        "oscillation": energies.std(),
        "relative_error": abs(energies[-1] - energies[0]) / abs(energies[0]),
    }

Lưu ý chức năng này không kiểm tra những gì. Nó đo lường xem liệu bộ tích hợp có bảo toàn $H_\theta$ - theo định lý, điều đó sẽ xảy ra hay không $H_\theta$ có nghĩa là bất cứ điều gì. Việc bảo tồn trong mẫu của một Hamiltonian đã học không phải là bằng chứng. Bài kiểm tra quan trọng là khác nhau.

Thử nghiệm giả mạo

Thí nghiệm trung thực có ba phần và được thiết kế sao cho kết quả tiêu cực mang lại nhiều thông tin hơn là gây bối rối.

1. Sàn còn lại. Vừa vặn $H_\theta$ trên dữ liệu thực và báo cáo tổn thất hội tụ chứ không phải bảo toàn. Tham số hóa độ dốc đối xứng không thể biểu thị trường vectơ có độ cong; sàn đo thành phần phi Hamilton của động lực quan sát được. Điều chỉnh một MLP không bị ràng buộc trên cùng một dữ liệu như tham chiếu - nó không có hạn chế về cấu trúc, do đó khoảng cách giữa hai tầng là chi phí của giả định Hamilton, được nêu trong đơn vị tổn thất của bài toán.

2. Bảo tồn ngoài mẫu. Vừa trên một cửa sổ, sau đó đánh giá $H_\theta$ along the observed out-of-sample trajectory — the real price path, not an integrated one. Nếu như $(q, p)$ thực sự là kinh điển, $H_\theta$ gần như không đổi dọc theo dữ liệu mà nó chưa từng thấy. Nếu như $H_\theta$ đi ra khỏi mẫu, số lượng được bảo toàn là một tạo phẩm trong mẫu và sự đảm bảo của kiến ​​trúc không hoạt động.

3. Sự cắt bỏ phối hợp. Đây là phần mà phần lý thuyết yêu cầu và dường như không có phần trình bày nào về HNN tài chính được thực hiện. Không có gì chứng minh rằng giá log và EMA lợi nhuận là liên hợp; nó được khẳng định. Vì vậy, hãy kiểm tra các cặp với nhau — (giá log, lợi nhuận EMA), (giá log, lợi nhuận thô), (trọng số danh mục đầu tư, tỷ lệ thay đổi trọng số) — và xếp hạng chúng theo ngoài mẫu $H$ sự ổn định. Chống lại sự thay thế trả về xáo trộn dưới dạng kiểm soát: phá hủy cấu trúc thời gian, giữ phân phối cận biên, trang bị lại. Nếu người thay thế mang lại kết quả tương đương $H$ ổn định, “số lượng bảo toàn” là đặc tính của tham số hóa chứ không phải của thị trường.

Trước đây của tôi, đã nêu trước thực tế để có thể kiểm tra kết quả: điều này không thành công. Lý do nằm ở phần mở đầu ở trên - Định lý Liouville cấm các yếu tố thu hút, thị trường dường như có cấu trúc thu hút, và cả hai lối thoát dưới đây đều là những sự thừa nhận mà giả định nghiêm ngặt của Hamilton không đúng. Nếu sàn dư cao và nằm ngoài mẫu $H$ không ổn định trên mỗi cặp đôi, đó là một tiêu cực được đo lường rõ ràng dựa trên thông tin vật lý trước đó và blog này đã xuất bản những thông tin đó trước đó (tiêu cực trung thực, Sharpe xì hơi). Một tiêu cực được đo lường về một lý thuyết tao nhã có giá trị hơn một bài hướng dẫn chưa được kiểm chứng.

Nếu bảo tồn thất bại: Tiện ích mở rộng tiêu tan

Thị trường thực bị rò rỉ. Chi phí giao dịch, sự trượt giá và phân rã thông tin sẽ loại bỏ năng lượng khỏi hệ thống và được bảo toàn nghiêm ngặt $H$ không thể đại diện cho điều đó. Tồn tại hai sự nới lỏng về nguyên tắc và cả hai nên được hiểu là sự nhượng bộ rằng giả định quá mạnh, chứ không phải là sự sàng lọc:

1. Hamilton chính quy: mô hình $\dot{H} = -\gamma H$ với tốc độ tiêu tán đã học $\gamma$. Độ lớn của trang bị $\gamma$ bản thân nó là một phép đo - hệ thống nằm ở mức bảo thủ bao xa.
2. Port-Hamiltonian: $\dot{x} = (J - R)\nabla H + Bu$, với $J$ ma trận đối xứng, $R \succeq 0$ ma trận tiêu tán, và $Bu$ sự ép buộc từ bên ngoài (tin tức, dòng chảy). Đây $\|R\|$ liên quan đến $\|J\|$ định lượng trực tiếp sự ra đi.

Cả hai đều khôi phục khả năng biểu diễn các điểm thu hút, với cái giá phải trả là đảm bảo sai số giới hạn đã thúc đẩy kiến ​​trúc. Đó là giao dịch, được nêu rõ ràng: bạn có thể có Liouville hoặc bạn có thể tiêu tán, và thị trường dường như muốn thứ hai.

Các vấn đề mở liên quan: Hamilton tài chính là không thể tách rời (yêu cầu các bước tổng hợp ẩn hoặc bậc cao hơn, hoặc SympNets học trực tiếp các bản đồ đối xứng) và thị trường hoạt động trên nhiều thang thời gian mà một $H$ khó có thể nắm bắt được - những người Hamilton có thứ bậc cho động lực học nhanh và chậm, hoặc xử lý đoạn nhiệt các biến chậm như các tham số của thang đo nhanh $H$.

Phần kết luận

Máy móc hoạt động. Tìm hiểu một vô hướng $H_\theta$, lấy trường vectơ từ độ dốc của nó, tích phân đối xứng và bạn nhận được sự bảo toàn dưới dạng đồng nhất đại số, sai số giới hạn qua hàng nghìn bước, khả năng đảo ngược thời gian chính xác và hàm Lyapunov miễn phí. Mỗi tuyên bố đó đều là một định lý và không có tuyên bố nào trong số đó yêu cầu xác nhận.

Những gì yêu cầu xác nhận là tiền đề. HNN không kiểm tra xem một đại lượng được bảo toàn có tồn tại hay không - họ giả định nó và tối ưu hóa theo giả định, bất kể hội tụ đến một mô hình trơn tru, ổn định, hoạt động tốt. Tầng dư và ngoài mẫu $H$ sự ổn định là hai con số duy nhất giúp phân biệt “thị trường bảo toàn thứ gì đó” với “sự tham số hóa luôn tạo ra thứ gì đó”.

Vì vậy, câu hỏi kết thúc bài đăng này không phải là liệu HNN có ổn định hay không. Vấn đề là liệu sự thanh lịch có tồn tại khi tiếp xúc với BTCUSDT hay không – và cho đến khi những con số đó xuất hiện trên trang, thái độ đúng đắn đối với mọi yêu cầu bảo tồn trong máy học tài chính, bao gồm cả yêu cầu này, là nó chưa được thử nghiệm.

Tài liệu tham khảo

1. Greydanus, S., Dzamba, M., & Sprague, J. (2019). Mạng lưới thần kinh Hamilton. NeurIPS 2019.
2. Tong, Y., Xiong, S., He, X., Pan, G., & Zhu, B. (2020). Mạng lưới Hamilton sâu dựa trên các bộ tích phân đơn giản. bản in trước arXiv.
3. Baaquie, B. E. (2000). Hamiltonian trong thị trường tài chính. bản in trước arXiv.
4. Cotler, J. & Rezchikov, S. (2023). Mô phỏng Hamilton hiệu quả để giải quyết động lực giá quyền chọn. Nghiên cứu đánh giá vật lý.
5. Gonon, P. & Ortega, J.-P. (2009). Thị trường chứng khoán và động lực lượng tử. bản in trước arXiv.
6. Greydanus, S. (2019). Mạng lưới thần kinh Hamilton - Bài đăng trên blog.
7. Santos, C. và cộng sự. (2022). Mạng lưới thần kinh xung lượng Symplectic. PMLR.