PCMCI: Causal Discovery in Multivariate Crypto Time Series

PCMCI 由 Jakob Runge（2018、2020）開發，是一種多變量時間序列因果發現演算法。它把用於圖模型學習的 PC 演算法，與瞬時條件獨立（MCI）檢驗結合起來；條件集的設計同時消除三種因素：共同驅動、間接路徑，以及來源變數的自相關。最後一點尤其值得仔細閱讀 - 這正是 PCMCI 不會繼承虛假陽性率的原因，而虛假陽性率會摧毀動量密集序列上的天真領先-滯後檢驗。

本文從第一原理拆解兩階段建構，使用 tigramite 函式庫實作，並列出這個方法在成為交易輸入前仍需要的真實資料研究。

這為現有內容補充了什麼

本部落格已經完成相關性方面的工作。加密貨幣的共同運動很大程度上是共同因子的產物 - 交易對之間的訊號相關性顯示，PC1 單獨吸收了十對訂單簿中 65% 的變異。高交易對相關性不是可交易的關係，這正是統計套利與配對交易轉而使用協整的原因。依賴性本身甚至不穩定：DCC-GARCH 動態相關性列出了靜態樣本相關性所暗含的依賴平穩、邊際波動率恒定和方向對稱假設，而這些假設都不成立。

這些方法都不會產生有向圖。它們能告訴你 BTC、ETH 和 SOL 一起移動，且大部分變化由共同因子解釋；卻不能告訴你 BTC 是否直接驅動 SOL，或這種關聯是否完全由 ETH 中介。格蘭傑因果關係通常用來尋找方向，但標準 Granger 是二元方法，無法把未觀察到的共同驅動與真正因果關係分開。

第三種失效模式比表面看來更重要。每個加密貨幣收益序列都有正自相關，自相關會放大在兩個此類序列之間執行的任何依賴性檢驗統計量：兩個相互獨立的自相關過程，在有限樣本上也會看起來顯著相關。相關性工作把這視為樣本量修正（訊號相關性文章中的 effective_N 討論）。但對因果發現而言，這不是修正，而是核心設計問題 - 也正是第 2 階段條件集要解決的問題。

PCMCI 演算法

PCMCI 分兩個階段運作。第一階段為每個變數找出候選因果父節點集合；第二階段使用精心建構的條件獨立檢驗測試每條候選連結。

第 1 階段：PC 穩定條件選擇（PC1）

第 1 階段的目標是為每個變數 $X_t^j$ 找到其真實因果父節點的超集 $\widehat{\mathcal{B}}(X_t^j)$。這個集合稍後會作為第 2 階段的條件集。

演算法從所有滯後變數的「完整集合」開始，將它們視為潛在父節點：

$\widehat{\mathcal{B}}^0(X_t^j) = \{ X_{t-\tau}^i : i = 1, \ldots, N, \quad \tau = 1, \ldots, \tau_{\max} \}$

接著反覆刪除在條件下與 $X_t^j$ 獨立的變數。在第 $p$ 次迭代，演算法會測試每個候選父節點 $X_{t-\tau}^i$ 與 $X_t^j$ 的獨立性，條件是 $p$ 個最強的剩餘父節點（不包括 $X_{t-\tau}^i$ 本身）：

$X_{t-\tau}^i \perp\!\!\!\perp X_t^j \mid \mathbf{S} \quad \Rightarrow \quad \text{remove } X_{t-\tau}^i \text{ from } \widehat{\mathcal{B}}(X_t^j)$

其中 $\mathbf{S}$ 是 $p$ 個變數，取自 $\widehat{\mathcal{B}}(X_t^j) \setminus \{X_{t-\tau}^i\}$，這些變數與 $X_t^j$ 的關聯最強。

「穩定」是指單次迭代 $p$ 中的刪除決策，基於前一次迭代的父節點集合，從而避免結果依賴處理順序。這對可重現性至關重要。

此階段的顯著性水準 $\alpha_{\text{PC}}$ 故意設得寬鬆（通常為 0.2 或更高，也可透過 tigramite 的 pc_alpha=None 自動決定）。目標不是在此控制虛假陽性，而是在盡量修剪不相關變數的同時保留所有真實父節點。$\widehat{\mathcal{B}}$ 中有少量虛假陽性可以接受，但不能有虛假陰性。

第 2 階段：瞬時條件獨立（MCI）檢驗

一旦取得所有變數的估計父節點集合 $\widehat{\mathcal{B}}(X_t^j)$，第 2 階段便使用 MCI 統計量測試每個潛在因果關係 $X_{t-\tau}^i \to X_t^j$：

$X_{t-\tau}^i \perp\!\!\!\perp X_t^j \mid \widehat{\mathcal{B}}(X_t^j) \setminus \{X_{t-\tau}^i\}, \quad \widehat{\mathcal{B}}(X_{t-\tau}^i)$

關鍵創新在於條件集。我們同時對以下兩組條件化：

1. 目標的父節點 $\widehat{\mathcal{B}}(X_t^j) \setminus \{X_{t-\tau}^i\}$：消除共同驅動和通往 $X_t^j$ 的其他間接路徑的影響。
2. 來源的父節點 $\widehat{\mathcal{B}}(X_{t-\tau}^i)$：消除來源變數的自相關，避免檢驗統計量膨脹。

同時對兩組條件化後，MCI 能有效隔離 $X_{t-\tau}^i$ 對 $X_t^j$ 在特定滯後 $\tau$ 的「直接、瞬時」因果效應，扣除所有混雜因素、中介因素和自相關影響。

檢驗統計量可以是任何有效的條件獨立檢驗。對線性關係，偏相關是標準選擇；對非線性依賴，則可使用以 $k$ 最近鄰方法估計的條件互資訊（CMI），或 GPDC（高斯過程距離相關）檢驗。

以偏相關作為預設檢驗

對大多數金融應用而言，偏相關檢驗（tigramite 中的 ParCorr）是主力。給定變數 $X$、$Y$ 和條件集 $\mathbf{Z}$，偏相關為：

$\rho_{XY \cdot \mathbf{Z}} = \text{corr}(r_X, r_Y)$

其中 $r_X$ 和 $r_Y$ 分別是將 $X$、$Y$ 對 $\mathbf{Z}$ 回歸後的殘差：

$r_X = X - \hat{X}(\mathbf{Z}), \quad r_Y = Y - \hat{Y}(\mathbf{Z})$

換句話說，偏相關衡量 $X$ 與 $Y$ 之間的線性關聯，並移除條件變數 $\mathbf{Z}$ 的線性影響。在高斯資料的條件獨立零假設下，檢驗統計量服從已知分佈，因此可以精確計算 $p$ 值。

偏相關值位於 $[-1, 1]$，可自然地用來排列因果連結強度。若滯後 1 的 BTC 與滯後 0 的 ETH 在兩組父節點集合條件下偏相關為 0.3，意思是：「消除所有已識別混雜因素和自相關影響後，BTC 收益的一個標準差衝擊，預測一個時期後 ETH 收益變動 0.3 個標準差。」

從檢驗結果到因果圖（DAG）

PCMCI 的輸出是一對矩陣：

• val_matrix：形狀為 $(N, N, \tau_{\max}+1)$，包含每條有向連結 $X_{t-\tau}^i \to X_t^j$ 的 MCI 檢驗統計量（例如偏相關）。
• p_matrix：形狀相同，包含對應的 $p$ 值。

建立因果圖時，在經校正的顯著性水準上對 $p$ 矩陣設閾值：

$\text{Link } X_{t-\tau}^i \to X_t^j \text{ exists if } p_{ij\tau} < \alpha_{\text{corrected}}$

校正方法不是可以略過的細節。PCMCI 檢驗 $N^2 \times \tau_{\max}$ 條連結，而這些檢驗在建構上相依：所有指向 $X_t^j$ 的連結共享條件集，來源序列一開始也彼此相關。這正是普通 Benjamini-Hochberg 會失效的情況；Benjamini-Yekutieli 的調和懲罰 $c(M) = \sum_{j=1}^{M} 1/j$ 能在檢驗任意相依時維持控制。折減 Sharpe 與多重檢驗衡量了使這一點具體化的虛假發現率。發布任何圖時，都要同時報告檢驗連結數量和校正後閾值。

所得結構是時間序列圖（TSG），即一個有向圖：

• 節點代表特定時間滯後下的變數。
• 有向邊代表帶有相應滯後的因果連結。
• 自迴圈代表自迴歸效應。

這個 TSG 可以折疊成摘要圖，只顯示變數之間因果連結的存在與方向（跨滯後聚合），通常更便於解讀。

使用 Tigramite 實作

Tigramite 是 PCMCI 的參考實作，由德國航空太空中心（DLR）的 Jakob Runge 團隊開發和維護。它提供簡潔的資料處理 API、多種條件獨立檢驗、數個 PCMCI 變體和內建視覺化功能。

安裝

pip install tigramite

恢復健全性檢查（不是研究結果）

在市場資料上執行之前，應先確認管道能找回你植入的結構。這只是實作的單元測試，沒有其他含義 - 下方真值是手動寫入資料生成迴圈的，因此找回它只能證明程式碼可運作，完全不能說明加密貨幣。請以此方式解讀。

import numpy as np
import tigramite
from tigramite import data_processing as pp
from tigramite.pcmci import PCMCI
from tigramite.independence_tests.parcorr import ParCorr
from tigramite import plotting as tp


np.random.seed(42)
T, N = 2000, 5
var_names = ["BTC", "ETH", "SOL", "BNB", "AVAX"]
data = np.zeros((T, N))
noise = np.random.randn(T, N) * 0.5

for t in range(2, T):
    data[t, 0] = 0.5 * data[t-1, 0] + noise[t, 0]
    data[t, 1] = 0.5 * data[t-1, 1] + 0.4 * data[t-1, 0] + noise[t, 1]
    data[t, 2] = 0.5 * data[t-1, 2] + 0.3 * data[t-1, 1] + noise[t, 2]
    data[t, 3] = 0.5 * data[t-1, 3] + 0.25 * data[t-1, 0] + noise[t, 3]
    data[t, 4] = 0.5 * data[t-1, 4] + 0.2 * data[t-2, 3] + noise[t, 4]

dataframe = pp.DataFrame(
    data,
    datatime=np.arange(T),
    var_names=var_names,
)

parcorr = ParCorr(significance="analytic")

pcmci = PCMCI(
    dataframe=dataframe,
    cond_ind_test=parcorr,
    verbosity=1,
)

results = pcmci.run_pcmci(
    tau_max=4,        # test lags up to 4 hours
    tau_min=1,        # only lagged (not contemporaneous) links
    pc_alpha=None,    # auto-select alpha for condition selection
    alpha_level=0.01, # significance threshold for final MCI test
)

print("\n--- Significant causal links ---")
pcmci.print_significant_links(
    p_matrix=results["p_matrix"],
    val_matrix=results["val_matrix"],
    alpha_level=0.01,
)

tp.plot_graph(
    val_matrix=results["val_matrix"],
    p_matrix=results["p_matrix"],
    var_names=var_names,
    link_colorbar_label="MCI (partial corr.)",
    node_colorbar_label="Auto-MCI",
    alpha_level=0.01,
    figsize=(10, 6),
)

tp.plot_time_series_graph(
    val_matrix=results["val_matrix"],
    p_matrix=results["p_matrix"],
    var_names=var_names,
    link_colorbar_label="MCI (partial corr.)",
    alpha_level=0.01,
    figsize=(14, 6),
)

讀取輸出

在植入的 VAR 上，print_significant_links 會返回：

Variable BTC has 0 causal parent(s):

Variable ETH has 1 causal parent(s):
    BTC (lag -1): val = 0.38, p = 0.000

Variable SOL has 1 causal parent(s):
    ETH (lag -1): val = 0.28, p = 0.000

Variable BNB has 1 causal parent(s):
    BTC (lag -1): val = 0.24, p = 0.000

Variable AVAX has 1 causal parent(s):
    BNB (lag -2): val = 0.19, p = 0.000

植入的結構被找回，包括重要的負面結果：雖然 BTC 和 SOL 在此樣本中高度相關，但不存在直接的 BTC -> SOL 邊。MCI 將關聯完全歸因於 ETH 中介。這正是雙重條件集應該產生的行為，驗證它就是這段程式的全部目的。這是通過的單元測試，不是關於加密貨幣的研究發現。

使用真實市場資料

PCMCI 需要弱平穩輸入，因此應提供標準化對數收益而非價格 - 統計套利與配對交易介紹了 ADF 工具和原始價格不適用的原因。取得標準化收益矩陣後，tigramite 特有的部分只有兩行：

data = log_returns.values          # (T, N) standardized log-returns
var_names = list(log_returns.columns)

dataframe = pp.DataFrame(data, var_names=var_names)

一般收益管道中的兩個細節不能直接照搬到 tigramite：

1. 缺失資料：Tigramite 支援用遮罩陣列處理缺失觀察。使用 dataframe.mask 標記缺口，不要向前填充，因為捏造的觀察會傳播到包含它的每個條件集。
2. 頻率對齊：所有序列必須位於相同時間網格。對加密貨幣而言通常不難，因為交易所提供同步的 OHLCV 資料。

這個方法需要的研究

上面的一切都是工具。除非把工具指向真實資料並報告發現（包括答案是「沒有穩定結構」的情況），否則本文不適合在本部落格發表。需要執行的研究如下：

• 設定：在指定日期範圍內，對真實資產籃子的每小時收益執行 PCMCI+；透過領域推理固定 tau_max，並在全部 $N^2 \times \tau_{\max}$ 條連結上以 Benjamini-Yekutieli 校正 alpha_level = 0.01。按照折減 Sharpe標準報告檢驗連結數和校正後閾值。
• 要報告的結果：哪些邊在校正後仍存在、它們的偏相關幅度，以及多少條邊能在樣本外存活。
• 至少一項穩定性測量：沒有它，本文就只是帶有加密貨幣代號的 tigramite README。可測量滾動視窗間持續存在的邊比例；恢復圖對 tau_max 和 pc_alpha 的敏感度；或在相同資料上 ParCorr 與 CMIknn 的分歧。

不穩定的圖是一個可發表的結果，而不是失敗。「五大資產上的 PCMCI：因果圖無法在滾動視窗中維持」符合本部落格在誠實的負面結果中已採用的路線，也比一篇能運作的教學更有用。

選擇正確參數

最大滯後 $\tau_{\max}$

此參數限定因果發現的時間範圍。設定太低可能錯過緩慢傳播的效應；設定太高則會增加計算成本和多重檢驗負擔。

對每小時加密貨幣資料，$\tau_{\max} = 6$ 到 $24$ 是合理範圍；對每日資料，$\tau_{\max} = 5$ 到 $10$ 能捕捉大部分領先-滯後關係。領域知識很重要：如果知道資金費率效應需要 8 小時傳播，便應設定 $\tau_{\max} \geq 8$。

條件選擇顯著性 $\alpha_{\text{PC}}$

設定 pc_alpha=None 後，tigramite 會使用 Akaike 資訊準則自動選擇此參數，這是建議的預設值。若要手動設定，0.1 到 0.4 通常效果良好。較低數值會讓第 1 階段更積極（保留較少父節點），降低計算成本，但也有刪除真實父節點的風險。

最終顯著性水準 $\alpha$

這是標準假設檢驗閾值。探索性分析使用 $\alpha = 0.05$ 即可；任何會影響交易決策的內容，都應使用 $\alpha = 0.01$ 或更嚴格的值，並在前文描述的依賴感知校正之後套用。名義水準不是你實際檢驗所使用的水準。

PCMCI+：加入同期連結

標準 PCMCI 只發現滯後因果連結（$\tau \geq 1$）。但在加密貨幣市場中，資訊可以在幾秒內跨資產傳播；每小時的採樣頻率意味著許多因果效應看起來是同期發生的（$\tau = 0$）。

PCMCI+（Runge，2020）擴展 PCMCI，以同時發現滯後與同期因果連結。預設情況下，同期連結是無向的（時間順序無法區分同一時間步內的原因與結果），但部分連結可使用標準 PC 演算法的定向規則（碰撞點檢測、無循環約束）定向。

results_plus = pcmci.run_pcmciplus(
    tau_max=4,
    tau_min=0,         # include contemporaneous links
    pc_alpha=None,
)

對於每小時或更低頻率的加密貨幣應用，PCMCI+ 通常比標準 PCMCI 更合適，因為許多跨資產效應發生得比採樣間隔更快。

非線性擴展

金融時間序列通常呈現非線性依賴（例如波動聚集、依賴市場狀態的領先-滯後效應）。Tigramite 提供幾種非線性條件獨立檢驗：

高斯過程距離相關（GPDC）

from tigramite.independence_tests.gpdc import GPDC

gpdc = GPDC(significance="analytic", gp_params=None)
pcmci = PCMCI(dataframe=dataframe, cond_ind_test=gpdc)

GPDC 使用高斯過程迴歸消除條件集的影響，再對殘差套用距離相關。它檢測非線性效應的能力強於 ParCorr，但速度明顯更慢。

條件互資訊（CMIknn）

from tigramite.independence_tests.cmiknn import CMIknn

cmiknn = CMIknn(significance="shuffle_test", knn=0.1, shuffle_neighbors=5)
pcmci = PCMCI(dataframe=dataframe, cond_ind_test=cmiknn)

CMIknn 使用 $k$ 最近鄰方法估計條件互資訊。它完全非參數，可以檢測任意函數依賴。代價是計算成本，以及需要更多資料才能取得統計檢驗能力。

對大多數加密貨幣交易應用，請從 ParCorr 開始。只有在有非線性因果機制的具體證據，且資料充足（通常 $T > 5000$）時，才切換到非線性檢驗。

因果圖接入的位置

因果圖能提供相關矩陣無法提供的一點：出度。在 20-50 個資產上執行 PCMCI，擁有許多出邊的節點就是資訊領先者 - 它們的變動對其餘資產具有預測內容，而對稱相關矩陣在結構上無法做出這種有方向的陳述。因子分解告訴你 BTC 主導方差；出度排名則告訴你 BTC 主導是因為它領先，還是因為包括 BTC 在內的一切都暴露於同一宏觀衝擊。

假設成功恢復出穩定圖，其可接入本部落格既有工作的地方很清楚。圖拓撲的滾動視窗變化是一種結構斷裂訊號，這是使用 HMM 的 regime 檢測的主題 - 未解問題是因果圖能否比狀態模型更早檢測轉換。將 PCMCI 應用於跨交易所的單一資產，可處理跨交易所價格領先；這已在智能訂單路由中以毫秒解析度測量，因此每小時柱線圖需要超越那項結果，而不是重述它。資金費率套利所述 8 小時資金機制形成的定期 perp-spot 連結，是一個已知答案的測試案例：PCMCI 應該找回可獨立驗證的因果結構，因此這是驗證目標而不是發現。

這些都不是研究發現，而是等待上述研究驗證的假設。

限制與注意事項

PCMCI 是強大的工具，但有幾項從業者必須理解的重要限制：

1. 因果充分性假設：PCMCI 假設所有相關變數都已被觀察。如果隱藏的共同驅動（例如巨鯨交易活動、尚未發布的新聞）同時影響兩個已觀察資產，PCMCI 可能錯誤報告它們之間存在直接因果連結。LPCMCI 變體允許潛在混雜因素，部分處理這個問題，但代價是返回較少的定向邊。

2. 平穩性假設：假設因果結構在分析視窗內保持不變。實務上加密貨幣市場動力學變化很快，應使用滾動視窗分析檢測結構斷裂。

3. 線性與非線性：使用 ParCorr 時只能檢測線性因果效應。非線性機制（例如「只有 BTC 下跌超過 5% 時，BTC 才會導致 ETH 下跌」）在線性檢驗中不可見。

4. 採樣頻率很重要：快於採樣頻率發生的因果效應，在標準 PCMCI 中會顯示為同期（$\tau = 0$）連結，方向也可能不明確。請使用 PCMCI+ 並考慮更高頻資料。

5. 多重檢驗：$N^2 \times \tau_{\max}$ 個相依檢驗需按上述方式校正 - 請參閱折減 Sharpe 與多重檢驗，了解依賴結構為何排除了看似明顯的選擇。

6. 樣本量要求：可靠因果發現需要足夠資料。粗略而言，ParCorr 目標為 $T > 500$，且變數數量為 $N < 10$；對非線性檢驗或更大的變數集合，目標為 $T > 2000$。

PCMCI 與其他方法比較

PCMCI 相對於 Granger 因果和 Transfer entropy 的主要優勢是 MCI 檢驗，它能在多變量設定中正確處理自相關和共同驅動。這正是加密貨幣市場的情況：數十個彼此相關且自相關的資產同時互動。

結論

值得帶走的貢獻是兩階段建構：先用稀疏條件選擇限制父節點集合，再使用條件集同時包含來源與目標父節點的 MCI 檢驗。後半部分正是 PCMCI 與 Granger、Transfer entropy 的區別，也正是它能在像加密貨幣收益一樣具有自相關的序列上運作的原因。

這個方法沒有附帶證據。恢復出的圖是關於資訊流的假設，而不是訊號；在本部落格中，除非它在指定資產籃子、日期範圍、依賴感知校正的真實資料上執行，並至少測量圖在視窗移動時是否保持穩定，否則它不具備任何意義。在執行研究之前，請把這裡的一切視為工具。

如果圖不穩定，那就是文章本身。這不會是本部落格第一個比能運作的教學更有價值的負面結果。

參考文獻

• Runge, J.、Nowack, P.、Kretschmer, M.、Flaxman, S.、Sejdinovic, D. (2019)。在大型非線性時間序列資料集中檢測和量化因果關聯。Science Advances，5(11)，eaau4996。
• Runge, J. (2020)。在自相關非線性時間序列資料集中發現同期與滯後因果關係。第 36 屆人工智慧不確定性會議（UAI）論文集，PMLR 124:1388-1397。
• Tigramite 文件：https://jakobrunge.github.io/tigramite/
• Tigramite GitHub 儲存庫：https://github.com/jakobrunge/tigramite