Арбитраж үчүн Vine Copulas: жогорку өлчөмдүү көз каранды байланыштарды моделдөө

"Фьючерстер менен спот ортосундагы татаал арбитраж чынжырлары" сериясынын 3-бөлүгү

Бул сериянын алгачкы эки бөлүгүндө биз графтарды жана фьючерс-спот жуптарын карадык. Бирок бир нече ондогон активдин ортосундагы байланышты бир учурда моделдегибиз келсе эмне болот? Жөнөкөй корреляциялар мындан ары жетишсиз. Криптовалюта рыногу татаал, ал анын көз каранды байланыштары сызыктуу эмес, өзгөчө жогорку туруксуздук (волатилдик) мезгилдеринде.

Дал ушул жерде Vine Copulas жардамга келет.

Vine Copulas-тын татаал математикалык визуализациясы: көп активдүү көз каранды байланыштарды жана ыктымалдуулук тыгыздыгынын булуттарын чагылдырган өз ара байланышкан сфералар.

1. Корреляциядан ары

Пирсон корреляция коэффициенти жалгыз гана сызыктуу байланыштарды өлчөйт. Крипто дүйнөсүндө Bitcoin 5%га түшкөндө, Altcoin-дер 10%га чейин түшүшү мүмкүн (tail dependency), ал эми Bitcoin туруктуу болгондо, Altcoin-дер көз карандысыз кыймылдайт. Стандарттуу моделдер бул "асимметрияны" камтый албайт.

1.1 Copula деген эмне?

Copula — бул четки бөлүштүрүүлөрдү (marginal distributions) көп өзгөрмөлүү биргелешкен бөлүштүрүүгө (multivariate joint distribution) "байлаган" математикалык функция. Ал жеке активдердин жүрүм-турумун алардын көз каранды байланыш түзүлүшүнөн бөлүп кароого мүмкүндүк берет.

1.2 Жупчулуктан Vine-ге чейин

Үч же андан көп өзгөрмөлүүнүн ортосундагы көз каранды байланыштарды моделдөө абдан кыйын. Vine Copulas жогорку өлчөмдүү бөлүштүрүүнү эки өзгөрмөлүү (жупчулук) copula-лардын ырааттуулугуна ажыратуу аркылуу бул маселени чечет.

2. Vine түзүлүшү

Финансы тармагында колдонулган vine-дин эки негизги түрү бар:

• C-Vines (Canonical): Бир борбордук актив (мисалы, BTC) башкалардын баарына таасир этет.
• D-Vines (Drawable): Активдер белгилүү бир ирети менен байланышат (A-B, B-C, C-D).

Крипто арбитраж үчүн биз көбүнчө учурдагы рынок абалына ыңгайлашкан ийкемдүү түзүлүшкө мүмкүндүк берген R-Vines (Regular) колдонобуз.

2.1 Rust-та эки өзгөрмөлүү Copula-ларды ишке ашыруу

Изилдөөлөрдүн көбү R же Python тилинде жасалганы менен, бизге ылдамдык керек. Негизги математиканы Rust-та ишке ашырса болот:

fn clayton_copula(u: f64, v: f64, theta: f64) -> f64 {
    (u.powf(-theta) + v.powf(-theta) - 1.0).powf(-1.0 / theta)
}

fn frank_copula(u: f64, v: f64, theta: f64) -> f64 {
    -(1.0 / theta) * (1.0 + ( ((-theta * u).exp() - 1.0) * ((-theta * v).exp() - 1.0) ) / ((-theta).exp() - 1.0)).ln()
}

3. Арбитраж сигналын генерациялоо

Бул арбитраждыы табууга кантип жардам берет?

1. Рынокту моделдөө: 50 активге Vine Copula моделин ыңгайлаштыруу үчүн тарыхый маалыматтарды колдонуу.
2. Аномалияларды аныктоо: B, C, D... активдеринин баасын эске алуу менен A активинин учурдагы баасынын шарттуу ыктымалдуулугун эсептөө.
3. Сигнал: Эгер байкалган баа өтө аз ыктымал болсо (мисалы, $P < 0.001$), бул активдин өзүнүн негизги көз каранды байланыштарынан ажырап калганын билдирет. Бул — күчтүү статистикалык арбитраж (Statistical Arbitrage) сигналы.

4. Эсептөө кыйынчылыгы

R-Vine-ды 50 өзгөрмөлүүгө ыңгайлаштыруу жүздөгөн параметрди баалоону жана татаал сандык интегралдоону талап кылат.

• Rust-тун ролу: Биз ар кандай vine түзүлүштөрүн бир учурда баалоо үчүн параллелдүү иштетүүнү (rayon crate менен) колдонобуз.
• Оптималдаштыруу: Copula параметрлеринин максималдуу ыктымалдуулук бааланышы (MLE) үчүн argmin crate-ин колдонобуз.

use rayon::prelude::*;

fn estimate_vine_structure(data: &Matrix) -> VineStructure {
    // Parallely evaluate all possible root nodes for a C-Vine
    (0..data.cols).into_par_iter().map(|i| {
        fit_root_node(data, i)
    }).max_by_key(|res| res.likelihood).unwrap()
}

5. Жыйынтык

Vine Copulas крипто рыногундагы сандык каржынын (quantitative finance) алдыңкы чеги болуп саналат. Алар бизге жөнөкөй "pairs trading"-ден "көп активдүү статистикалык арбитражга" өтүүгө мүмкүндүк берип, рыноктук көз каранды байланыштардын алда канча туруктуу көрүнүшүн сунуштайт.

Кийинки бөлүктө биз матрица жана тензор ыкмаларын карайбыз, тропикалык алгебра эң пайдалуу арбитраж циклдерин издөөбүздү кантип андан ары жакшыртарын көрөбүз.

Татаал "tail"-дерди моделдеп жатасызбы? GitHub-догу Vine Copula Modeling Kit карап көрүңүз.