Блэк-Шоулз формуласы: опциондар математикасы және трейдингтің қасиетті граалі

Бір ғана дифференциалдық теңдеу қаржы нарықтарын қалай мәңгіге өзгертті және неге ол бүгінде де триллиондаған долларды басқарады.

Кіріспе: физикадан байлыққа дейін

1973 жылға дейін опциондармен сауда Дикий Вестті еске түсіретін. Опцион нақты қанша тұруы керек екенін ешкім білмейтін. Трейдерлер интуицияға, эмпирикалық ережелерге және сәтке сенетін.

Фишер Блэк, Майрон Шоулз және Роберт Мертон өздерінің тарихи мақаласын жариялағанда бәрі өзгерді. Олар физикадағы жылу теңдеуін (материалда жылудың қалай таралатынын сипаттайтын) алып, оны қаржы нарықтарына қолданды. Осы жаңалығы үшін Шоулз бен Мертон 1997 жылы экономика бойынша Нобель сыйлығын алды (Блэк, өкінішке орай, бұл сәтке жетпеді).

Олардың формуласы нарыққа туынды құралдарды бағалаудың әмбебап тілін берді. Бірақ ол нақты нені сипаттайды?

Негізгі ұғымдар: опциондардың бағыттары

Математикаға кіріспес бұрын, опциондардың негізгі тәуекел профильдерін еске түсірейік (жасыл және қызыл сызықтары бар сол графиктер).

Опцион — болашақта активті алдын ала келісілген бағамен (страйк) сатып алу немесе сату құқығын (бірақ міндетін емес) беретін келісімшарт.

Бағыттық стратегиялардың (Long Call және Long Put) тәуекел профильдері.

Опциондарда төрт негізгі позиция бар:

1. Long Call: Сіз активті сатып алу құқығын сатып аласыз. Егер базалық актив бағасы (S) өссе, сіздің пайдаңыз теориялық тұрғыдан шексіз. Максималды шығыныңыз — опцион үшін төленген сыйақы (баға).
2. Long Put: Сіз активті сату құқығын сатып аласыз. Нарық құлдағанда пайда табасыз. Портфельді хеджирлеу үшін тамаша.
3. Short Call: Сіз сатып алу құқығын сатасыз. Сыйақыны бірден аласыз, бірақ актив бағасы "айға ұшып кетсе" шексіз тәуекелге барасыз (GameStop-тың short squeeze-ін еске түсіріңіз).
4. Short Put: Сіз сату құқығын сатасыз. Сыйақыны аласыз және актив құлдаса, оны сатып алуға міндеттенесіз. Уоррен Баффет акцияларды жеңілдікпен сатып алу үшін жиі қолданады.

Табыстылық нүктесі (Breakeven) страйк бағасы (X) ± опцион сыйақысы ретінде есептеледі.

Құпия теңдеу: Блэк-Шоулз ДДТ-нің анатомиясы

Уолл-стрит туралы фильмдерде тақтада жиі көрсетілетін формула — дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеу (ДДТ):

Блэк-Шоулз моделінің математикалық құрылымы және Call пен Put үшін баға формулалары.

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$

Оны талдап көрейік (уәде береміз, ол көрінгеніндей қорқынышты емес):

• $V$: Опцион бағасы (біз іздеп отырған мән).
• $t$: Уақыт. $\frac{\partial V}{\partial t}$ опционның уақыт құны қалай төмендейтінін көрсетеді (Theta).
• $S$: Базалық актив бағасы (акция/спот).
• $\sigma$ (Сигма): Базалық активтің волатильдігі. Ол қаншалықты жоғары болса, опцион соғұрлым қымбат.
• $r$: Тәуекелсіз пайыздық мөлшерлеме.

Теңдеу мәні бойынша мынаны білдіреді: опциондар мен базалық активтен тұратын хеджирленген (тәуекелсіз) портфельдің табыстылығы тәуекелсіз банктік депозиттің табыстылығына ($rV$) тең болуы керек. Бұл арбитражсыздық қағидасы деп аталады.

Тәжірибелік қолдану: Python-да құнды есептеу

Осы теңдеудің аналитикалық шешімі бізге Call мен Put бағалары үшін атақты Блэк-Шоулз формулаларын береді:

$C = S_0 N(d_1) - X e^{-rT} N(d_2)$ $P = X e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)$

Мұндағы: $d_1 = \frac{\ln(S_0/X) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$ $d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$

Мұны Python-да жазайық. Күрделі математиканы дайын бағаға айналдыратын код:

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import math

def black_scholes(S, X, T, r, sigma, option_type="call"):
    """
    Calculate option price using the Black-Scholes model.
    
    S: Current underlying asset price
    X: Strike price
    T: Time to expiration (in years)
    r: Risk-free interest rate
    sigma: Volatility of the underlying asset
    option_type: "call" or "put"
    """
    
    if T <= 0:
        if option_type == "call":
            return max(0.0, S - X)
        else:
            return max(0.0, X - S)
            
    d1 = (math.log(S / X) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)
    
    if option_type == "call":
        price = S * norm.cdf(d1) - X * math.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    elif option_type == "put":
        price = X * math.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
    else:
        raise ValueError("option_type must be 'call' or 'put'")
        
    return price

current_price = 100.0   # Bitcoin at $100k (why not?)
strike_price = 100.0    # At-the-money (ATM) strike
time_to_expiry = 30/365 # 30 days to expiration
risk_free_rate = 0.05   # 5% annual rate
volatility = 0.50       # 50% volatility (typical for crypto)

call_price = black_scholes(current_price, strike_price, time_to_expiry, risk_free_rate, volatility, "call")
put_price = black_scholes(current_price, strike_price, time_to_expiry, risk_free_rate, volatility, "put")

print(f"Theoretical Call price: ${call_price:.2f}")
print(f"Theoretical Put price: ${put_price:.2f}")

Опциондардың иелері: "Гректермен" танысыңыз

Блэк-Шоулз моделі бізге тек баға ғана емес, сонымен қатар "Гректер" (The Greeks) деп аталатын тәуекелдерді басқару құралдарын да берді. Бұлар опцион бағасының әртүрлі параметрлерге қатысты туындылары (градиенттері):

1. Дельта ($\Delta$): Базалық актив бағасы $1-ге өзгергенде опцион бағасы қанша өзгереді. (S бойынша бірінші туынды). Дельта — сіздің бағыттық тәуекеліңіз.
2. Гамма ($\Gamma$): Актив бағасы $1-ге өзгергенде Дельта қанша өзгереді. (S бойынша екінші туынды, теңдеудегі дәл сол$\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$). Гамма — сіздің Дельтаңыздың тәуекелі.
3. Тета ($\Theta$): Опцион құны күн сайын қанша төмендейді. (Уақыт $t$ бойынша өзгеріс). Опцион сатып алушының жауы және сатушының досы.
4. Вега ($\mathcal{V}$): Волатильдіктің 1%-ға секіруінен баға қанша өзгереді. (Спойлер: Вега іс жүзінде грек әрпі емес, бірақ бұл дәстүрге айналды).
5. Ро ($\rho$): Пайыздық мөлшерлеменің өзгерісіне сезімталдық. Крипто трейдерлерін сирек толғандырады, себебі крипто тым тез қозғалады.

Алгоритмдік маркет-мейкерлер (мысалы, Deribit немесе опцион DEX-тері сияқты биржаларда) өз позицияларын "Дельта-нейтралды" ($\Delta = 0$) ұстау үшін базалық активпен үздіксіз сауда жасайды. Олар спредтен және Implied пен Historical волатильдіктер арасындағы алшақтықтан табады.

Қатал шындық: модельдің шектеулері

Блэк-Шоулз — керемет формула, бірақ нақты әлемде, әсіресе криптода, оның өлімге әкелетін кемшіліктері бар:

1. Тұрақты волатильдік: Формула волатильдіктің барлық страйктер үшін бірдей екенін болжайды. Шындығында "Волатильдік күлкі" (Volatility Smile) бар — ақшадан тыс опциондар модель болжағаннан қымбатырақ тұрады, себебі трейдерлер "қара аққулардан" қорғану үшін артық төлейді.
2. Логнормаль үлестірім: Модель бағалардың логнормаль үлестірілгенін және экстремалды қозғалыстардың мүмкін еместігін болжайды. Криптода экстремалды қозғалыстар (Fat tails) кәдімгі сейсенбі сияқты.
3. Үздіксіз сауда: Формула сіз комиссиясыз үздіксіз хеджирлей аласыз деп болжайды. Нақты өмірдегі комиссиялар мен слиппаж пайдаңызды тез жеп қояды.

Қорытынды

Блэк-Шоулз формуласы — сандық қаржының Розетта тасы. Оның кемшіліктерін біле тұра, бүкіл қаржы әлемі әлі де опциондарды Блэк-Шоулз волатильдігінің бірліктерінде котирлейді.

Осы формуланы және оның "Гректерін" түсіну — қарапайым трейдерден сандық зерттеушіге дейінгі қадам. Келесі жолы опцион сатып алуды шешкенде, есіңізде болсын: сіз тек баға бағытын емес, волатильдік пен уақытты сауда етіп жатырсыз.

Қосымша оқу

• Википедиядағы Блэк-Шоулз моделі
• Investopedia-дағы опциондар: толық нұсқаулық
• Туынды құралдар және тәуекелдерді басқару

Код репозиторийі

• GitHub репозиторийі: suenot/options-pricing — калькулятордың толық бастапқы коды және мақаладағы мысалдар.

Сәтті хеджирлеу! 📈