Hawkes Processes for Order Arrival and Market Event Modeling

El artículo sobre huellas digitales utiliza un vector de tres números: hawkes_mu, hawkes_alpha, hawkes_beta — como componente temporal de la firma conductual de un participante, y afirma que los creadores de mercado exhiben una fuerte autoexcitación. Nunca dice de dónde provienen esos tres números, de qué se estiman o cuánto debes confiar en ellos. Este artículo es la mitad que falta: el estimador, el diagnóstico de ajuste y la única cantidad derivada que resulta ser más importante que los tres parámetros mismos: el índice de ramificación $n$.

La afirmación que se está probando aquí es estrecha y comprobable. El flujo de órdenes es apasionante: una venta agresiva hace que la próxima venta agresiva sea más probable, de una manera que un modelo de Poisson con cualquier tasa variable en el tiempo no puede reproducir. Si eso es cierto, un proceso de Hawkes ajustado a marcas de tiempo comerciales sin procesar debería (a) superar una línea base de Poisson en probabilidad mantenida, (b) producir una relación de ramificación estrictamente entre 0 y 1, y (c) pasar una prueba de bondad de ajuste con reescalamiento temporal. Los puntos (a) y (b) se informan ampliamente en el caso de futuros sobre acciones. El punto (c) es donde los artículos publicados por Hawkes generalmente se callan, y es donde la cinta criptográfica nunca ha sido revisada en este blog.

Este blog ya posee dos antecedentes, por lo que no se vuelven a derivar aquí. La estructura de retroalimentación autoexcitante (eventos que desencadenan más eventos del mismo tipo, subcríticos por debajo de un umbral y desbocados por encima de él) se deriva concretamente como un número de reproducción. $g = \rho/\Delta$ en cascadas de liquidación como señal comercial, incluido el movimiento total de la serie geométrica, el régimen supercrítico de caída repentina y los disyuntores como una de las tres cosas que lo vinculan. La relación de ramificación $n$ a continuación se muestra el análogo de proceso puntual de ese $g$. ¿Qué es realmente aditivo aquí? $n$ es estimable en tiempo real solo a partir de las marcas de tiempo de las operaciones, sin mapa de liquidación, sin profundidad del libro de órdenes y sin supuestos de apalancamiento. Ésta es la única razón para preocuparse por la maquinaria del proceso puntual.

La premisa de que el tiempo del reloj es el eje de muestreo incorrecto es el argumento fundamental de beyond time bars, que lo resuelve construyendo mejores barras. Este artículo lo resuelve de manera diferente: sin realizar ningún muestreo y modelando los tiempos de los eventos directamente.

Fundamentos del proceso puntual, brevemente

Un proceso puntual es un conjunto aleatorio de tiempos de eventos, definido por su intensidad condicional $\lambda^*(t)$ — la tasa de llegada instantánea dada la historia completa $\mathcal{F}_t$:

$\lambda^*(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbb{E}[N(t, t + \Delta t) \mid \mathcal{F}_t]}{\Delta t}$

El proceso homogéneo de Poisson es el caso $\lambda^*(t) = \mu$. El proceso de Poisson no homogéneo permite $\lambda(t)$ siguen una forma determinista (una curva intradiaria en forma de U, por ejemplo), pero aún asumen independencia condicional: saber que una operación acaba de ocurrir no dice nada sobre si otra es inminente. Esa suposición es lo que viola el flujo de órdenes real, y la violación es el tema completo de este artículo. El asterisco en $\lambda^*(t)$ Ésa es toda la distinción: marca la dependencia de la historia.

El proceso de Hawkes

Un proceso de Hawkes univariado tiene intensidad

$\lambda^*(t) = \mu + \sum_{t_i < t} \phi(t - t_i)$

con $\mu > 0$ la intensidad de fondo (llegadas exógenas) y $\phi(\cdot) \geq 0$ el núcleo de excitación. Cada evento aumenta la intensidad en $\phi(0)$, que luego decae con la forma de $\phi$. Un grupo de eventos recientes produce una alta intensidad, lo que hace que otros eventos sean más probables: el proceso recuerda su propia historia.

La relación de ramificación

$n = \int_0^\infty \phi(t) \, dt$

$n$ es el número promedio de eventos secundarios desencadenados por uno de los padres. La estacionariedad requiere $n < 1$; la intensidad media estacionaria es $\bar{\lambda} = \mu / (1-n)$, que diverge como $n \to 1$. Entonces $n$ divide la actividad total en una fracción exógena $(1-n)$ y una fracción endógena $n$: en $n = 0.7$, el setenta por ciento de los eventos son reacciones a otros eventos más que respuestas a algo fuera del mercado.

Esta es exactamente la división subcrítica/supercrítica del multiplicador en cascada en cascadas de liquidación, alcanzada desde una dirección diferente. La diferencia en lo que te cuesta calcular: $g = \rho/\Delta$ requiere un mapa adelantado de la densidad de ventas forzadas y la profundidad de los libros en vivo, los cuales son estimaciones basadas en suposiciones sobre la distribución del apalancamiento. $n$ requiere una lista de marcas de tiempo.

Filimonov y Sornette (2012) informaron $n$ pasando de aproximadamente 0,3 a más de 0,7 en los futuros del E-mini S&P 500 entre 1998 y 2007. Hardiman, Bercot y Bouchaud (2013) sitúan el mismo contrato cerca $n \approx 0.8$ con un núcleo de ley potencial de exponente sobre $-1.15$ con retrasos cortos. Ambos son resultados de futuros de acciones de hace más de una década, y ninguno se transfiere a criptomonedas sin medición. Reproducirlos no es el objetivo de este artículo; comprobar si el mismo régimen mantiene una cinta de futuros perpetuos 24 horas al día, 7 días a la semana con diferentes participantes y si no hay discontinuidad en la apertura del mercado.

Opciones de núcleo

exponencial, $\phi(t) = \alpha e^{-\beta t}$, con $n = \alpha/\beta$. Markoviano, por lo que la probabilidad tiene una $O(1)$-recursión por evento (abajo). Aquí es donde comienza todo ajuste práctico.

Ley de potencia, $\phi(t) = \alpha c^p / (c+t)^{1+p}$. Reproduce agrupaciones de memoria larga, pero pierde la recursividad: la evaluación de probabilidad se vuelve $O(N^2)$ o requiere truncamiento.

Suma de exponenciales, $\phi(t) = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k e^{-\beta_k t}$. Se aproxima la desintegración de la ley de potencias con $K$ escalas de tiempo manteniendo la recursividad. $K = 3$ a $5$ suele ser suficiente, con $\beta_k$ que abarca desde milisegundos hasta minutos.

Si las llegadas de criptomonedas decaen exponencialmente o como una ley de potencia es una pregunta empírica con una respuesta de índice de probabilidad, y se mide a continuación en lugar de citarse.

Procesos multivariados de Hawkes

Para $D$ tipos de eventos,

$\lambda_d^*(t) = \mu_d + \sum_{d'=1}^{D} \sum_{t_i^{d'} < t} \phi_{dd'}(t - t_i^{d'})$

dónde $\phi_{dd'}$ describe cómo escribir $d'$ excita tipo $d$. Con núcleos exponenciales la matriz de ramificación es $G = [\alpha_{dd'}/\beta_{dd'}]$, y la estacionariedad requiere radio espectral $\rho(G) < 1$. El vector propio de $G$ asociado con el valor propio más grande identifica el modo de excitación dominante: qué grupo de tipos de eventos tiende a dispararse juntos.

La instanciación interesante para un libro de pedidos es $D = 6$: compra de mercado, venta de mercado, compra limitada, venta limitada, cancelar compra, cancelar venta. Esa matriz tiene 36 entradas y es la parte del conjunto de herramientas de Hawkes que este blog no tiene en ningún otro lugar. Tenga en cuenta que una de las entradas previstas ya está documentada empíricamente sin el vocabulario: la cancelación masiva correlacionada en niveles consecutivos (tiramientos de la pared) se mide directamente en análisis de la posición de la cola y de la pared del libro de pedidos. Un equipado $\phi_{\text{cancel},\text{cancel}}$ es el mismo fenómeno expresado como núcleo, y las dos medidas deben coincidir. Si no lo hacen, uno de ellos está equivocado.

Las versiones de activos cruzados y de múltiples sedes son la misma maquinaria con etiquetas diferentes: los núcleos fuera de la diagonal capturan el retraso y el contagio, y Shi, Broussard y Booth (2019) utilizaron exactamente esto en las 30 acciones del Dow durante la crisis repentina de 2010, encontrando una excitación cruzada asimétrica con fuentes de contagio identificables.

Calibración

Probabilidad máxima

Para horarios de eventos $\{t_1, \ldots, t_N\}$ en $[0, T]$:

$\ell(\theta) = \sum_{i=1}^{N} \log \lambda^*(t_i) - \int_0^T \lambda^*(t) \, dt$

El primer término premia la intensidad del lugar donde sucedieron los acontecimientos; el segundo penaliza la intensidad que no produjo nada.

Para el núcleo exponencial la recursividad

$R_i = \sum_{j < i} e^{-\beta(t_i - t_j)} = e^{-\beta(t_i - t_{i-1})} \cdot R_{i-1} + 1$

da $\lambda^*(t_i) = \mu + \alpha R_i$ en $O(1)$ por evento, y el compensador cierra:

$\int_0^T \lambda^*(t) \, dt = \mu T + \frac{\alpha}{\beta} \sum_{i=1}^{N} \left(1 - e^{-\beta(T - t_i)}\right)$

Costo total $O(N)$, que es lo que hace que los ajustes de un millón de eventos sean una rutina. Optimice con L-BFGS-B bajo restricciones de positividad.

Dos modos de falla que vale la pena conocer antes de confiar en una salida. La superficie de probabilidad se aplana mucho $n \to 1$, por lo que un ajuste casi crítico puede reportar una estimación puntual que parece segura ubicada en un valle que está casi nivelado durante $\pm 0.1$ en $n$ — perfilar siempre la probabilidad en $n$ en lugar de leer el hessiano del optimizador. Y en el caso multivariado el recuento de parámetros crece a medida que $O(D^2)$, tan pasado $D \approx 10$ necesita group-Lasso en las normas del kernel o la matriz se ajusta al ruido.

EM y estimación no paramétrica

EM trata la estructura ramificada como latente: cada evento es un inmigrante de $\mu$ o un descendiente de algún evento anterior. La mecánica genérica de pasos E/pasos M, la advertencia de óptimo local y la disciplina de inicialización múltiple se tratan en la sección de Baum-Welch de detección de regímenes con HMM y son idénticas aquí. La parte específica de Hawkes es la cantidad del E-step en sí:

$p_{ij} = \frac{\phi(t_i - t_j)}{\lambda^*(t_i)}, \quad p_{i0} = \frac{\mu}{\lambda^*(t_i)}$

$p_{ij}$ es un resultado posterior sobre qué evento causó cuál: una salida interpretable, no solo una optimización intermedia. Sumado por tipo de evento, da una atribución de la cinta: esta fracción de las ventas de la última hora fue provocada por ventas anteriores, esa fracción llegó desde afuera. También te permite estimar $\phi$ de forma no paramétrica como constante por partes en una cuadrícula, que es la forma en que se verifica el supuesto exponencial sin comprometerse con una alternativa. Costo: $O(N^2)$ por completo $p_{ij}$ matriz, por lo que no se escala más allá de aproximadamente $10^5$ Eventos sin aproximación.

El método espectral de Bacry y Muzy es la otra ruta libre de modelos: la densidad espectral de potencia de un proceso estacionario de Hawkes se factoriza como $\hat{C}(\omega) = |I - \hat{\Phi}(\omega)|^{-2} \cdot \text{diag}(\mu)$, por lo que al estimar la densidad de covarianza y resolver la factorización se recuperan los núcleos sin asumir ninguna forma paramétrica.

Colocación de cinta criptográfica real

Cada número en esta sección debe provenir de un ajuste real con datos reales. Recuperar los parámetros que inyectó en un simulador no es prueba de nada excepto de que el optimizador funciona.

Los datos: Binance BTC/USDT aggTrade marcas de tiempo en una ventana definida, con la ventana, el símbolo y el recuento de eventos indicados explícitamente junto a cada cifra informada. aggTrade agrega operaciones al mismo precio desde una orden de comprador en un solo registro, que es la unidad correcta aquí: una orden agresiva es un evento, no un evento por ejecución de contraparte.

Ajuste univariado

import numpy as np
import pandas as pd
from tick.hawkes import HawkesExpKern

trades = pd.read_parquet("binance_btcusdt_aggtrades.parquet")

t0 = trades["transact_time"].iloc[0]
ts = ((trades["transact_time"] - t0) / 1000.0).to_numpy(dtype=np.float64)
T = ts[-1]

learner = HawkesExpKern(decays=BETA_GRID, penalty="none", verbose=False)
learner.fit([ts])

mu_hat = learner.baseline[0]
alpha_hat = learner.adjacency[0, 0]
n_hat = alpha_hat / BETA_CHOSEN

print(f"events   = {len(ts)}")
print(f"window   = {T/3600:.2f} h")
print(f"mu       = {mu_hat:.4f} events/s")
print(f"n        = {n_hat:.4f}")
print(f"lambda_bar (model) = {mu_hat/(1-n_hat):.4f} events/s")
print(f"lambda_bar (data)  = {len(ts)/T:.4f} events/s")

Las dos últimas impresiones son el primer control de cordura que no cuesta nada: si la intensidad media estacionaria del modelo $\mu/(1-n)$ no se acerca a la tasa de eventos empíricos, el ajuste es incorrecto independientemente de lo que informó el optimizador.

$\beta$ No debe arreglarse a mano. Perfilar la probabilidad sobre una cuadrícula de desintegraciones e informar el perfil, porque $\alpha$ y $\beta$ negociar fuertemente y $n = \alpha/\beta$ puede ser estable mientras ninguno de los parámetros lo sea.

¿El núcleo realmente se descompone exponencialmente?

La afirmación de la ley de potencia en la literatura proviene de artículos sobre futuros de acciones de 2013. Pruébelo directamente: ajuste un núcleo exponencial y un núcleo de ley de potencia en la misma cinta, compare por probabilidad logarítmica en datos retenidos (no en la muestra, ya que la ley de potencia tiene un parámetro adicional) y observe por separado la caída de la intensidad empírica después de grandes operaciones.

large = ts[trades["quantity"].to_numpy() > LARGE_TRADE_THRESHOLD]

lags = np.logspace(-3, 2, 60)   # 1 ms .. 100 s
rate = np.empty(len(lags) - 1)
for k in range(len(lags) - 1):
    lo, hi = lags[k], lags[k + 1]
    counts = [
        np.searchsorted(ts, t0_ + hi) - np.searchsorted(ts, t0_ + lo)
        for t0_ in large
    ]
    rate[k] = np.mean(counts) / (hi - lo)

Trazado log-log, un núcleo exponencial se dobla; una ley de potencia es recta. Ese gráfico es una prueba más sólida que cualquier número de probabilidad, porque muestra dónde está el desajuste: por lo general, los exponenciales no se ajustan a la cola y se ajustan demasiado a los primeros milisegundos.

La matriz de ramificación

Modelo multivariado mínimo viable: dos dimensiones, compra agresiva y venta agresiva, separadas por is_buyer_maker. Si los datos L3 están disponibles, extiéndalos a cancelaciones.

buys  = ts[~trades["is_buyer_maker"].to_numpy()]   # taker bought
sells = ts[ trades["is_buyer_maker"].to_numpy()]   # taker sold

mv = HawkesExpKern(decays=BETA_CHOSEN, penalty="l2", C=C_CV, verbose=False)
mv.fit([buys, sells])

G = mv.adjacency / BETA_CHOSEN          # branching matrix
rho = np.max(np.abs(np.linalg.eigvals(G)))
print("G =\n", G)
print(f"spectral radius = {rho:.4f}")   # must be < 1

Las dos cantidades a publicar son la propia matriz y su radio espectral. La asimetría es la parte interesante: si vender-excitar-vender excede comprar-excitar-comprar, y si los términos cruzados son simétricos, son afirmaciones comprobables sobre la cinta criptográfica que nadie aquí ha medido.

Bondad de ajuste: reescalamiento del tiempo

El teorema del reescalamiento del tiempo: si el modelo es correcto, los tiempos transformados $\tau_i = \int_0^{t_i} \lambda^*(s)\,ds$ forman un proceso de Poisson de tasa unitaria, por lo que las diferencias $\Delta\tau_i$ son $\text{Exp}(1)$.

from scipy.stats import kstest, expon

compensator = np.empty(len(ts))
for i, ti in enumerate(ts):
    compensator[i] = mu_hat * ti + (alpha_hat / BETA_CHOSEN) * np.sum(
        1 - np.exp(-BETA_CHOSEN * (ti - ts[:i]))
    )

tau = np.diff(compensator)
stat, pval = kstest(tau, expon(scale=1.0).cdf)
print(f"KS = {stat:.4f}, p = {pval:.4g}, N = {len(tau)}")

Una advertencia al leer esta prueba: con $N$ en cientos de miles, la prueba KS rechaza por errores de especificación triviales. Un pequeño valor p en $N = 5 \times 10^5$ no significa casi nada por sí solo; la salida informativa es el gráfico QQ de $\Delta\tau$ contra $\text{Exp}(1)$ y la propia estadística KS, que es un tamaño del efecto sin escala. Informe ambos e infórmelos honestamente: si el núcleo exponencial es rechazado en una cinta criptográfica, ese es un resultado que vale la pena publicar en lugar de enterrar, en el mismo espíritu que [el resultado negativo honesto en bordes robustos] (/en/blog/post/honest-negative-no-robust-edge).

¿Realmente se mueve con fragilidad?

La afirmación de que $n$ es un indicador de fragilidad en tiempo real que se cita constantemente y rara vez se prueba. La prueba es sencilla: estimar $n$ en ventanas móviles durante un período de calma y en una fecha conocida de cascada criptográfica, y ver si aumenta antes o solo durante el evento. Una cantidad que sólo aumenta al mismo tiempo que el accidente es una descripción, no una advertencia.

Estabilidad y Robustez

Un equipado $n$ No es una medida hasta que sabes cuánto se mueve cuando cambias cosas que no deberían importar. Cuatro trampas específicas, en orden aproximado de cuánto daño causan.

La resolución de la marca de tiempo genera autoexcitación. Binance aggTrade las marcas de tiempo tienen una resolución de milisegundos. Las operaciones que estaban realmente separadas por microsegundos colapsan en sellos idénticos de milisegundos, y una probabilidad de Hawkes lee eventos coincidentes como excitación máxima: $\phi(0)$ evaluado con un retraso exactamente cero. Este sesgo $n$ hacia arriba, y el sesgo crece con la actividad, lo que significa que es peor exactamente durante las ráfagas en las que más desea que el número sea confiable. Cuantifíquelo: cuente la fracción de eventos que comparten una marca de tiempo con un vecino, luego vuelva a ajustarlos con esos eventos que oscilan uniformemente dentro de su contenedor de milisegundos e informe cuánto $n$ se mueve. Si el nerviosismo cambia $n$ por más que el intervalo de confianza, la cifra principal está midiendo el reloj, no el mercado.

Exchange por lotes. Los intercambios no emiten eventos a medida que ocurren; los emiten a medida que se descargan sus canales de coincidencia y difusión. La aceleración de Binance de uno por segundo en el flujo de liquidación es el precedente documentado: un flujo que parece llegadas agrupadas es en parte un artefacto del editor. Cualquier lote en el feed comercial imprime una periodicidad en la distribución entre llegadas que un núcleo de Hawkes absorberá felizmente. $\alpha$. Compruébelo directamente: haga un histograma de los tiempos entre llegadas y busque picos en el período de procesamiento por lotes antes de instalar algo.

Sensibilidad al deterioro asumido. $n = \alpha/\beta$ depende de $\beta$, y $\beta$ generalmente es fijo o se busca en una cuadrícula en lugar de estimarse conjuntamente. Informe $n$ en función de $\beta$ sobre el rango plausible, no como un punto. Si la curva es plana, el número es real; si $n$ pistas $\beta$ de cerca, has elegido tu respuesta.

Ventana de estimación. $n$ estimados durante una hora, un día y una semana diferirán, en parte porque el proceso es genuinamente no estacionario y en parte porque una ventana más larga mezcla regímenes, lo que infla la excitación aparente al combinar la variación entre regímenes con la agrupación dentro del régimen. Informe el barrido de la longitud de la ventana. La forma correcta de leer un levantamiento. $n$ es contra la misma longitud de ventana medida en otros momentos, nunca contra un número de una ventana diferente.

El patrón aquí es el establecido en la trampa de precisión de GPU: una tubería que se ejecuta limpiamente y devuelve un número plausible no es evidencia de un número correcto, y la única defensa es perturbar las entradas que no deberían importar y confirmar que la salida no se mueve.

Lo que esto te compra y lo que no te compra

Tres conexiones con la teoría de la microestructura, breves porque el blog las cubre detalladamente en otros lugares.

Formación de precios. En Kyle (1985), el creador de mercado valora el flujo de órdenes neto mezclando operaciones informadas y ruidosas; el coeficiente de impacto $\lambda$ y profundidad $1/\lambda$ se presentan con la literatura de seguimiento, incluida la evidencia en contra de la linealidad de Kyle, en modelos de costos de deslizamiento. Los Hawkes leyendo mapas $\mu$ en información genuinamente nueva y los eventos autoexcitados en reacciones mecánicas, haciendo $n$ un indicador medible de la proporción del flujo generado por el ruido.

Agrupación de volatilidad. Agrupación, persistencia, condición de estacionariedad $\alpha + \beta < 1$ y la varianza de largo plazo $\omega/(1-\alpha-\beta)$ — estructuralmente el análogo exacto de $n < 1$ y $\mu/(1-n)$ — se tratan en Pronóstico de volatilidad de GARCH para criptomonedas. La afirmación genuinamente nueva es la de Bacry, Delattre, Hoffmann y Muzy (2013): un proceso de Hawkes casi crítico genera series de rendimiento cuya autocorrelación de volatilidad decae como una ley de potencia, sin ningún modelo de volatilidad explícito en ninguna parte. La agrupación de volatilidad se presenta como una propiedad emergente del flujo de órdenes autoexcitante en lugar de ser asumida.

Efecto Epps. Bacry y Muzy demostraron que un modelo bivariado de Hawkes reproduce la decadencia de la correlación medida a una alta frecuencia de muestreo únicamente a partir del tiempo de propagación finito de la excitación entre los dos procesos, sin necesidad de ningún mecanismo adicional.

En la ejecución, la prescripción que sigue a la autoexcitación (disminuir la velocidad después de un corte, acelerar en períodos tranquilos) ya es el núcleo de la sección del bucle de retroalimentación POV en Algoritmos de ejecución TWAP, VWAP y POV, y la crítica del ingenuo corte igual es Almgren-Chriss. Lo que añade un ajuste de Hawkes no es un consejo sino un número: la vida media del núcleo ajustado $\ln 2 / \beta$ dice cuánto tiempo tarda en decaer la excitación de su propio segmento, lo que convierte "esperar un poco" en una duración de pausa específica.

Limitaciones

Sin inhibición. El modelo clásico solo permite que los eventos aumenten la intensidad. Los mercados contienen lo contrario: una orden límite grande que absorbe la presión puede disuadir el comercio agresivo. Los procesos de Hawkes con inhibición permiten valores del kernel negativos, a costa de tener que hacer cumplir $\lambda^*(t) \geq 0$. Si esto es importante para un ajuste dado es visible en la estimación del kernel no paramétrica: si la constante por partes $\hat\phi$ cae por debajo de cero con algún retraso, el modelo restringido está luchando contra los datos.

No estacionariedad. El modelo estándar supone estacionariedad, y las criptomonedas son 24 horas al día, 7 días a la semana, pero no uniformes: la liquidez, la combinación de participantes y la tasa de eventos cambian a lo largo del día y alrededor de las marcas de tiempo de financiación. Una línea de base que varía en el tiempo $\mu(t)$ maneja esto a costa de más parámetros, y la sensibilidad de la ventana de estimación anterior es la forma de saber si la necesita.

Resumen

El proceso de Hawkes merece la pena por una razón: colapsa la agrupación del flujo de orden en un único número interpretable, la relación de ramificación. $n$, computable únicamente a partir de marcas de tiempo, sin reconstrucción del libro de órdenes y sin suposiciones sobre apalancamiento o posicionamiento. Eso lo convierte en la estimación más barata disponible sobre cuán endógeno es actualmente un mercado: la misma pregunta liquidation cascades se responde de manera costosa a través de $g = \rho/\Delta$.

La maquinaria es sencilla: los núcleos exponenciales dan una $O(N)$ probabilidad a través de $R_i$ recursión, EM proporciona una interpretación posterior sobre qué evento causó cuál, y el cambio de escala en el tiempo proporciona una prueba real de bondad de ajuste en lugar de un argumento de plausibilidad. Lo que no es sencillo es confiar en el resultado. Sesgos de redondeo de marcas de tiempo de milisegundos $n$ hacia arriba precisamente durante las ráfagas, intercambia la estructura de impresiones por lotes que el núcleo absorberá, y $n$ se mueve tanto con la caída asumida como con la ventana de estimación. Una relación de ramificación reportada sin esas cuatro sensibilidades es un número, no una medida.

Referencias y lecturas adicionales

• Hawkes, AG (1971). "Espectros de algunos procesos puntuales autoexcitantes y mutuamente excitantes". Biometrika, 58(1), 83-90.
• Bacry, E., Mastromatteo, I. y Muzy, J.-F. (2015). "Procesos de Hawkes en finanzas". Microestructura y Liquidez del Mercado.
• Shi, F., Broussard, J. P. y Booth, G. G. (2019). "Modelado del comportamiento de caída repentina en un mercado de valores utilizando procesos multivariados de Hawkes."
• Hardiman, S., Bercot, N. y Bouchaud, J.-P. (2013). "Reflexividad crítica en los mercados financieros: un análisis del proceso de Hawkes."
• Bacry, E. y Muzy, J.-F. (2014). "Modelo de Hawkes para precios y operaciones dinámicas de alta frecuencia". Finanzas Cuantitativas.
• Bompaire, M., Bacry, E. y Gaiffas, S. (2017). "tick: una biblioteca de Python para el aprendizaje estadístico, con énfasis en los procesos de Hawkes". JMLR.
• Filimonov, V. y Sornette, D. (2012). "Cuantificar la reflexividad en los mercados financieros."
• Kumar, P. (2021). "Proceso de Deep Hawkes para la creación de mercados de alta frecuencia."
• marque la documentación de la biblioteca: módulo Hawkes.
• Morse, S. "Clase Python para procesos de Hawkes". (Tutorial y código)