Hawkes Processes for Order Arrival and Market Event Modeling

Санариптик из калтыруу жөнүндөгү макала катышуучунун жүрүм-турумдук кол тамгасынын убакыт компонентин үч сандан турган — hawkes_mu, hawkes_alpha, hawkes_beta — вектор менен сүрөттөйт жана маркет-мейкерлерде күчтүү өзүн-өзү козутуу бар деп ырастайт. Бирок бул үч сан кайдан алынарын, эмнеден бааланарын же аларга канчалык ишенүүгө болорун түшүндүрбөйт. Бул макала жетишпеген бөлүктү толуктайт: баалоочу, моделге шайкештик диагностикасы жана үч параметрдин өзүнөн маанилүүрөөк болуп чыккан туунду чоңдук — тармакталуу катышы $n$.

Бул жерде текшериле турган доомат тар жана так. Буйрук агымы өзүн-өзү козгойт: агрессивдүү сатуу кийинки агрессивдүү сатуунун ыктымалдыгын жогорулатат, муну убакыт боюнча өзгөргөн каалаган интенсивдүүлүктөгү Пуассон модели кайталай албайт. Эгер бул туура болсо, чийки соода убакыт белгилерине ылайыкташтырылган Hawkes процесси (a) кармалып калган маалыматтагы ыктымалдуулук боюнча Пуассондун базалык моделинен ашып түшүшү, (b) 0 менен 1дин ортосунда так жаткан тармакталуу катышын бериши жана (c) убакытты кайра масштабдоо аркылуу шайкештик сапатынын тестинен өтүшү керек. (a) жана (b) пункттары фонддук фьючерстер үчүн кеңири баяндалган. Ал эми (c) — жарыяланган Hawkes эмгектери адатта унчукпай калган жер; бул блогдо крипто тасмасы азырынча мындай текшерүүдөн өткөн эмес.

Бул блогдо буга чейин каралган эки негиз бар, ошондуктан алар бул жерде кайра чыгарылбайт. Өзүн-өзү козгогон кайтарым байланыш түзүмү — бир түрдөгү окуялар дагы ошондой окуяларды ишке киргизиши, босогодон төмөндө субкритикалык болуп, андан жогору көзөмөлсүз өсүшү — соода сигналы катары жоюу каскаддары макаласында $g = \rho/\Delta$ көбөйүү саны аркылуу конкреттүү чыгарылган; анда геометриялык катардагы жалпы кыймыл, суперкритикалык flash-crash режими жана аны чектеген үч фактордун бири болгон автоматтык өчүргүчтөр да камтылган. Төмөндөгү тармакталуу катышы $n$ — ошол $g$ чоңдугунун чекиттик процесс аналогы. Бул жердеги чыныгы кошумча нерсе: $n$-ди соода убакыт белгилеринен гана реалдуу убакытта баалоого болот — жоюу картасы, ордер китебинин тереңдиги жана левередж боюнча божомолдор талап кылынбайт. Чекиттик процесс техникасына кайрылуунун бардык себеби ушунда.

Сааттык убакыт туура эмес тандоо огу деген негиз убакыт тилкелеринен тышкары макаласынын негизги жүйөсү; ал бул маселени жакшыраак тилкелерди түзүү менен чечет. Бул макала башкача чечет: такыр тандоо жүргүзбөй, окуялардын убактысын түздөн-түз моделдейт.

Чекиттик процесстин негиздери кыскача

Чекиттик процесс — шарттуу интенсивдүүлүгү $\lambda^*(t)$ менен аныкталган окуя убакыттарынын кокустук жыйындысы; ал толук тарых $\mathcal{F}_t$ берилгендеги көз ирмемдик келүү ылдамдыгы:

$\lambda^*(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbb{E}[N(t, t + \Delta t) \mid \mathcal{F}_t]}{\Delta t}$

Бир тектүү Пуассон процессинде $\lambda^*(t) = \mu$. Бир тектүү эмес Пуассон процесси $\lambda(t)$ детерминисттик формага (мисалы, күн ичиндеги U сымал ийри сызыкка) ылайык өзгөрө алат, бирок шарттуу көз карандысыздыкты сактайт: соода жаңы эле болгонун билүү дагы бир соода жакын арада болобу деген суроого эч нерсе айтпайт. Чыныгы буйрук агымы бузган божомол ушул, ал эми бул бузулуу макаланын бүтүндөй темасы. $\lambda^*(t)$ ичиндеги жылдызча — негизги айырма: ал тарыхка көз карандылыкты көрсөтөт.

Hawkes процесси

Бир өзгөрмөлүү Hawkes процессинин интенсивдүүлүгү

$\lambda^*(t) = \mu + \sum_{t_i < t} \phi(t - t_i)$

мында $\mu > 0$ — фондук интенсивдүүлүк (экзогендик келүүлөр), ал эми $\phi(\cdot) \geq 0$ — козгоо ядросу. Ар бир окуя интенсивдүүлүктү $\phi(0)$ өлчөмүнө жогорулатат, андан кийин ал $\phi$ формасына жараша басаңдайт. Жакындагы окуялардын тобу жогорку интенсивдүүлүктү жаратып, кийинки окуялардын ыктымалдыгын көбөйтөт — процесс өз тарыхын эстеп турат.

Тармакталуу катышы

$n = \int_0^\infty \phi(t) \, dt$

$n$ — бир ата-эне окуя козгогон бала окуялардын орточо саны. Стационардуулук үчүн $n < 1$ болушу керек; стационардык орточо интенсивдүүлүк $\bar{\lambda} = \mu / (1-n)$ болуп, $n \to 1$ жакындаганда чексиз өсөт. Демек, $n$ жалпы активдүүлүктү экзогендик $(1-n)$ жана эндогендик $n$ үлүштөргө бөлөт: $n = 0.7$ болгондо окуялардын жетимиш пайызы рыноктон тышкаркы нерселерге жооп эмес, башка окуяларга болгон реакция.

Бул жоюу каскаддарындагы каскад мультипликаторунун субкритикалык/суперкритикалык бөлүнүшүнө толук туура келет, болгону башка жол менен алынган. Эсептөө наркынын айырмасы мындай: $g = \rho/\Delta$ мажбурлап сатуу тыгыздыгынын жана жандуу китептин тереңдигинин алдыга багытталган картасын талап кылат, экөө тең левередж бөлүштүрүлүшү жөнүндөгү божомолдорго таянган баалар. Ал эми $n$ үчүн убакыт белгилеринин тизмеси жетиштүү.

Filimonov жана Sornette (2012) E-mini S&P 500 фьючерстеринде 1998–2007-жылдары $n$ болжол менен 0.3төн 0.7ден жогору көтөрүлгөнүн билдиришкен. Hardiman, Bercot жана Bouchaud (2013) ошол эле контракт үчүн кыска лагдарда көрсөткүчү болжол менен $n \approx 0.8$ болгон күч мыйзамынын ядросу менен $-1.15$ деп баалашкан. Экөө тең он жылдан ашык мурдагы фонддук фьючерстердин жыйынтыктары жана өлчөөсүз криптого өткөрүлбөйт. Аларды кайра чыгаруу бул макаланын максаты эмес; максат — башка катышуучулары бар, рыноктун ачылышында үзгүлтүк болбогон, 24/7 иштеген perpetual-фьючерс тасмасында ошол эле режим сакталабы же жокпу текшерүү.

Ядрону тандоо

Экспоненциалдык ядро, $\phi(t) = \alpha e^{-\beta t}$, мында $n = \alpha/\beta$. Марковдук болгондуктан, ыктымалдыкта ар бир окуя үчүн $O(1)$ рекурсиясы бар (төмөндө). Ар бир практикалык ылайыкташтыруу ушундан башталат.

Күч мыйзамы, $\phi(t) = \alpha c^p / (c+t)^{1+p}$. Узак эс тутумдагы кластерленүүнү кайталайт, бирок рекурсия жоголот — ыктымалдыкты эсептөө $O(N^2)$ болот же кыскартууну талап кылат.

Экспоненталардын суммасы, $\phi(t) = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k e^{-\beta_k t}$. Рекурсияны сактоо менен $K$ убакыт шкаласындагы күч мыйзамынын басаңдашын жакындатат. Адатта $K = 3$төн $5$ке чейин жетиштүү, ал эми $\beta_k$ миллисекунддан мүнөткө чейинки аралыкты камтыйт.

Криптодогу соода келүүлөрү экспоненциалдуу же күч мыйзамы боюнча басаңдайбы — бул ыктымалдуулук катышы менен жооп берилүүчү эмпирикалык суроо; төмөндө ал шилтеме кылынбай, өлчөө аркылуу текшерилет.

Көп өзгөрмөлүү Hawkes процесстери

$D$ окуя түрү үчүн

$\lambda_d^*(t) = \mu_d + \sum_{d'=1}^{D} \sum_{t_i^{d'} < t} \phi_{dd'}(t - t_i^{d'})$

мында $\phi_{dd'}$ $d'$ түрү $d$ түрүн кантип козгой турганын сүрөттөйт. Экспоненциалдык ядролордо тармакталуу матрицасы $G = [\alpha_{dd'}/\beta_{dd'}]$, ал эми стационардуулук спектралдык радиустун $\rho(G) < 1$ болушун талап кылат. Эң чоң өздүк мааниге тиешелүү $G$ өздүк вектору үстөмдүк кылган козгоо режимин — кайсы окуя түрлөрүнүн тобу чогуу ишке кирүүгө жакын экенин — аныктайт.

Ордер китеби үчүн кызыктуу колдонуу — $D = 6$: рыноктук сатып алуу, рыноктук сатуу, лимиттик сатып алуу, лимиттик сатуу, сатып алууну жокко чыгаруу, сатууну жокко чыгаруу. Бул матрицада 36 элемент бар жана ал ушул блогдо башка жерде жок Hawkes инструменттеринин бөлүгү. Анын болжолдонгон элементтеринин бири бул терминдерсиз эле эмпирикалык түрдө документтештирилген: удаалаш деңгээлдердеги корреляцияланган массалык жокко чыгаруу — дубалдарды алып салуу — кезек позициясы жана ордер китебинин дубалдарын талдоо макаласында түздөн-түз өлчөнөт. Бааланган $\phi_{\text{cancel},\text{cancel}}$ ошол эле кубулуштун ядро түрүндөгү көрүнүшү, ошондуктан эки өлчөө дал келиши керек. Дал келбесе, алардын бири туура эмес.

Активдер аралык жана көп аянтчалуу версиялар — белгилери башка болгону менен, ошол эле механизм: диагоналдан тышкаркы ядролор lead-lag менен жугуштуулукту кармайт. Shi, Broussard жана Booth (2019) муну 2010-жылдагы flash crash учурунда Dowдун 30 акциясына колдонуп, булагы аныктала турган асимметриялуу кайчылаш козгоону табышкан.

Калибрлөө

Максималдык ыктымалдуулук

$\{t_1, \ldots, t_N\}$ аралыгындагы $[0, T]$ окуя убакыттары үчүн:

$\ell(\theta) = \sum_{i=1}^{N} \log \lambda^*(t_i) - \int_0^T \lambda^*(t) \, dt$

Биринчи мүчө окуялар болгон жердеги интенсивдүүлүктү сыйлайт; экинчиси эч нерсе жаратпаган интенсивдүүлүктү жазалайт.

Экспоненциалдык ядро үчүн рекурсия

$R_i = \sum_{j < i} e^{-\beta(t_i - t_j)} = e^{-\beta(t_i - t_{i-1})} \cdot R_{i-1} + 1$

ар бир окуяга $\lambda^*(t_i) = \mu + \alpha R_i$ чыгым менен $O(1)$ маанисин берет, ал эми компенсатор төмөнкүчө жабылат:

$\int_0^T \lambda^*(t) \, dt = \mu T + \frac{\alpha}{\beta} \sum_{i=1}^{N} \left(1 - e^{-\beta(T - t_i)}\right)$

Жалпы наркы $O(N)$, мунун аркасында миллион окуялык ылайыкташтыруулар кадимки ишке айланат. Оң маанилер чектелген шартта L-BFGS-B менен оптималдаштырыңыз.

Жыйынтыкка ишенүүдөн мурун билүүгө тийиш болгон эки бузулуу режими бар. $n \to 1$ жакындаганда ыктымалдык бети катуу тегизделет, ошондуктан критикалыкка жакын ылайыкташтыруу $\pm 0.1$ боюнча $n$ аралыкта дээрлик тегиз өрөөндө ишенимдүү көрүнгөн чекиттик бааны бере алат — оптимизатордун Гессианын окуунун ордуна ыктымалдыкты дайыма $n$ боюнча профилдеңиз. Ал эми көп өзгөрмөлүү учурда параметрлердин саны $O(D^2)$ боюнча өсөт, ошондуктан $D \approx 10$ ашканда ядро нормаларына group-Lasso керек, болбосо матрица ызы-чууну ылайыкташтырат.

EM жана параметрдик эмес баалоо

EM тармакталуу түзүмүн жашыруун деп эсептейт: ар бир окуя же $\mu$ дан келген иммигрант, же мурдагы окуялардын биринин туундусу. Жалпы E-кадам/M-кадам механикасы, локалдык оптимум боюнча эскертүү жана бир нече инициализация тартиби HMM менен режимдерди аныктоо макаласынын Baum–Welch бөлүмүндө каралган жана бул жерде да ошондой. Hawkesке мүнөздүү бөлүк — E-кадамдын өзүнүн чоңдугу:

$p_{ij} = \frac{\phi(t_i - t_j)}{\lambda^*(t_i)}, \quad p_{i0} = \frac{\mu}{\lambda^*(t_i)}$

$p_{ij}$ — кайсы окуя кайсыны жаратканын көрсөткөн апостериордук бөлүштүрүү; бул жөн гана оптималдаштыруунун аралык мааниси эмес, түшүндүрмө берүүгө боло турган жыйынтык. Окуя түрлөрү боюнча суммалаганда ал тасманын атрибуциясын берет: акыркы сааттагы сатуулардын мына бул үлүшүн мурдагы сатуулар козгогон, тигил үлүшү сырттан келген. Ошондой эле $\phi$-ни тордо бөлүкчө туруктуу түрдө параметрдик эмес баалоого мүмкүндүк берет; ушундайча альтернативага милдеттенбей туруп экспоненциалдык божомолду текшерүүгө болот. Баасы — толук $O(N^2)$ матрицасы үчүн $p_{ij}$, ошондуктан жакындатуусуз болжол менен $10^5$ окуядан ары масштабдалбайт.

Bacry менен Muzyнин спектралдык ыкмасы — моделден көз каранды эмес дагы бир жол: стационардык Hawkes процессинин кубат спектрдик тыгыздыгы $\hat{C}(\omega) = |I - \hat{\Phi}(\omega)|^{-2} \cdot \text{diag}(\mu)$ болуп ажырайт, демек ковариация тыгыздыгын баалап, ажыратууну чечүү эч кандай параметрдик форма болжолдонбостон ядролорду кайра калыбына келтирет.

Чыныгы крипто тасмасын ылайыкташтыруу

Бул бөлүмдөгү ар бир сан чыныгы маалыматка жасалган чыныгы ылайыкташтыруудан алынышы керек. Симуляторго киргизилген параметрлерди кайра табуу оптимизатор иштээрин гана далилдейт.

Маалыматтар: аныкталган терезедеги Binance BTC/USDT aggTrade убакыт белгилери; ар бир билдирилген көрсөткүчтүн жанында терезе, символ жана окуялардын саны ачык көрсөтүлүшү керек. aggTrade бир taker буйругунан бир баадагы толтурууларды бир жазууга бириктирет, бул жерде туура бирдик ушул — бир агрессивдүү буйрук бир окуя, контрагенттин ар бир толтуруусу өзүнчө окуя эмес.

Бир өзгөрмөлүү ылайыкташтыруу

import numpy as np
import pandas as pd
from tick.hawkes import HawkesExpKern

trades = pd.read_parquet("binance_btcusdt_aggtrades.parquet")

t0 = trades["transact_time"].iloc[0]
ts = ((trades["transact_time"] - t0) / 1000.0).to_numpy(dtype=np.float64)
T = ts[-1]

learner = HawkesExpKern(decays=BETA_GRID, penalty="none", verbose=False)
learner.fit([ts])

mu_hat = learner.baseline[0]
alpha_hat = learner.adjacency[0, 0]
n_hat = alpha_hat / BETA_CHOSEN

print(f"events   = {len(ts)}")
print(f"window   = {T/3600:.2f} h")
print(f"mu       = {mu_hat:.4f} events/s")
print(f"n        = {n_hat:.4f}")
print(f"lambda_bar (model) = {mu_hat/(1-n_hat):.4f} events/s")
print(f"lambda_bar (data)  = {len(ts)/T:.4f} events/s")

Акыркы эки чыгаруу эч чыгымсыз биринчи sanity check болуп саналат: эгер моделдин стационардык орточо интенсивдүүлүгү $\mu/(1-n)$ эмпирикалык окуялар ылдамдыгына жакын болбосо, оптимизатор эмне билдиргенине карабастан ылайыкташтыруу туура эмес.

$\beta$ кол менен бекитилбеши керек. Басаңдоолордун тору боюнча ыктымалдуулуктун профилин түзүп, аны билдирип туруңуз, анткени $\alpha$ менен $\beta$ күчтүү түрдө бири-бирин алмаштырат жана $n = \alpha/\beta$ туруктуу болуп, эки параметрдин бири да туруктуу болбой калышы мүмкүн.

Ядро чындап экспоненциалдуу басаңдайбы?

Адабияттагы күч мыйзамы жөнүндөгү доомат 2013-жылдагы фонддук фьючерстер боюнча макалалардан чыккан. Аны түздөн-түз текшериңиз: бир эле тасмага экспоненциалдык жана күч мыйзамынын ядросун ылайыкташтырып, кармалып калган маалыматтагы лог-ыктымалдуулук менен салыштырыңыз (in-sample эмес, анткени күч мыйзамында кошумча параметр бар), ошондой эле чоң соодалардан кийинки эмпирикалык интенсивдүүлүктүн басаңдашын өзүнчө караңыз.

large = ts[trades["quantity"].to_numpy() > LARGE_TRADE_THRESHOLD]

lags = np.logspace(-3, 2, 60)   # 1 ms .. 100 s
rate = np.empty(len(lags) - 1)
for k in range(len(lags) - 1):
    lo, hi = lags[k], lags[k + 1]
    counts = [
        np.searchsorted(ts, t0_ + hi) - np.searchsorted(ts, t0_ + lo)
        for t0_ in large
    ]
    rate[k] = np.mean(counts) / (hi - lo)

Лог-лог графигинде экспоненциалдык ядро ийилет, ал эми күч мыйзамы түз сызык болот. Бул график эки лог-ыктымалдык санынан тең күчтүү далил, анткени туура эмес ылайыкташуунун кайсы жерде экенин көрсөтөт — адатта экспоненталар куйрукту жетишсиз ылайыкташтырып, алгачкы бир нече миллисекундду ашыкча ылайыкташтырат.

Тармакталуу матрицасы

Минималдуу ишке жарамдуу көп өзгөрмөлүү модель: is_buyer_maker менен бөлүнгөн эки өлчөм — агрессивдүү сатып алуу жана агрессивдүү сатуу. Эгер L3 маалыматтары бар болсо, жокко чыгарууларды кошуңуз.

buys  = ts[~trades["is_buyer_maker"].to_numpy()]   # taker bought
sells = ts[ trades["is_buyer_maker"].to_numpy()]   # taker sold

mv = HawkesExpKern(decays=BETA_CHOSEN, penalty="l2", C=C_CV, verbose=False)
mv.fit([buys, sells])

G = mv.adjacency / BETA_CHOSEN          # branching matrix
rho = np.max(np.abs(np.linalg.eigvals(G)))
print("G =\n", G)
print(f"spectral radius = {rho:.4f}")   # must be < 1

Жарыяланууга тийиш болгон эки чоңдук — матрицанын өзү жана анын спектралдык радиусу. Кызыктуу бөлүк — асимметрия: sell-excites-sell buy-excites-buyден ашабы жана кайчылаш мүчөлөр симметриялуубу? Бул крипто тасмасы тууралуу текшериле турган билдирүүлөр, бирок бул жерде аларды азырынча эч ким өлчөй элек.

Шайкештик сапаты: убакытты кайра масштабдоо

Убакытты кайра масштабдоо теоремасы: модель туура болсо, өзгөртүлгөн убакыттар $\tau_i = \int_0^{t_i} \lambda^*(s)\,ds$ бирдик ылдамдыктагы Пуассон процессин түзөт, ошондуктан айырмалар $\Delta\tau_i$ $\text{Exp}(1)$ болот.

from scipy.stats import kstest, expon

compensator = np.empty(len(ts))
for i, ti in enumerate(ts):
    compensator[i] = mu_hat * ti + (alpha_hat / BETA_CHOSEN) * np.sum(
        1 - np.exp(-BETA_CHOSEN * (ti - ts[:i]))
    )

tau = np.diff(compensator)
stat, pval = kstest(tau, expon(scale=1.0).cdf)
print(f"KS = {stat:.4f}, p = {pval:.4g}, N = {len(tau)}")

Бул тестти окууда бир эскертүү бар: $N$ жүз миңдеген болгондо, KS тести майда спецификация каталарында да нөлдүк гипотезаны четке кагат. $N = 5 \times 10^5$ учурунда өтө кичинекей p-маани өз алдынча дээрлик эч нерсе билдирбейт; маалыматтуу натыйжа — $\Delta\tau$ менен $\text{Exp}(1)$ ортосундагы QQ графиги жана KS статистикасынын өзү, ал масштабдан эркин эффект өлчөмү. Экөөнү тең кабарлаңыз жана чынчыл болуңуз — эгер экспоненциалдык ядро крипто тасмасында четке кагылса, бул жашырууга эмес, жарыялоого татыктуу натыйжа; туруктуу кырлар боюнча чынчыл терс жыйынтык макаласындагыдай.

n чындап эле морттук менен өзгөрөбү?

$n$ реалдуу убакыттагы морттук индикатору деген доомат көп айтылат, бирок сейрек текшерилет. Тест жөнөкөй: тынч мезгилде жана белгилүү крипто каскады болгон күнү жылма терезелер боюнча $n$-ди баалап, анын окуяга чейин же окуя учурунда гана өсөрүн текшериңиз. Кыйроо менен бир убакта гана көтөрүлгөн чоңдук эскертүү эмес, сүрөттөмө болуп саналат.

Туруктуулук жана бекемдик

Ылайыкташтырылган $n$ маанилүү болбошу керек болгон нерселерди өзгөрткөндө канчалык өзгөрөрүн билмейинче өлчөө болуп саналбайт. Зыяндуулугу болжолдуу иретте берилген төрт өзгөчө тузак бар.

Убакыт белгисинин чечилиши өзүн-өзү козгоону жасалма жаратат. Binance aggTrade убакыт белгилери миллисекунддук чечилиште. Чынында микросекунддар аралыкта болгон соодалар бирдей миллисекунддук белгилерге биригет, ал эми Hawkes ыктымалдыгы дал келген окуяларды максималдуу козголуу катары окуйт — $\phi(0)$ так нөлдүк лагда эсептелет. Бул $n$-ди жогору карай бурмалайт, ал эми бурмалоо активдүүлүк менен өсөт; демек санга ишенгиңиз келген жарылууларда эң начар болот. Муну сандык өлчөңүз: кошунасы менен бир убакыт белгисин бөлүшкөн окуялардын үлүшүн санаңыз, андан кийин ошол окуяларга миллисекунддук аралыктын ичинде бирдей jitter берип кайра ылайыкташтырыңыз да, $n$ канчага өзгөргөнүн кабарлаңыз. Эгер jitter $n$-ди ишеним аралыгынан көбүрөөк өзгөртсө, башкы сан рынокту эмес, саатты өлчөп жатат.

Биржалык топтомдоо. Биржалар окуяларды болгон заматында чыгарбайт; аларды дал келтирүү жана таратуу конвейери бошоткондо чыгарат. Binanceтин жоюу агымындагы секундасына бир жолку чектөө — документтештирилген мисал: кластерленген келүүлөргө окшош агымдын бир бөлүгү жарыялоочунун артефакты. Соода агымындагы ар кандай топтомдоо келүүлөр аралык бөлүштүрүүгө мезгилдүүлүк киргизет, аны Hawkes ядросу $\alpha$ параметрине оңой сиңирет. Муну түз текшериңиз: келүүлөрдүн аралык убакыттарын гистограммага түшүрүп, эч нерсени ылайыкташтыруудан мурун топтомдоо мезгилиндеги чокуларды издеңиз.

Божомолдонгон басаңдоого сезгичтик. $n = \alpha/\beta$ $\beta$-га көз каранды, ал эми $\beta$ адатта биргелешип бааланбайт, бекитилет же тор боюнча изделет. $n$-ди бир чекит катары эмес, мүмкүн болгон диапазондогу $\beta$ функциясы катары кабарлаңыз. Ийри тегиз болсо, сан чыныгы; эгер $n$ $\beta$-ны тыгыз ээрчисе, жообуңузду өзүңүз тандагансыз.

Баалоо терезеси. Бир саат, бир күн жана бир жума боюнча бааланган $n$ айырмаланат: бир жагынан процесс чындап стационардык эмес, экинчи жагынан узун терезе режимдерди аралаштырып, режимдер аралык өзгөрүүнү режим ичиндеги кластерленүү менен чаташтыргандыктан көрүнгөн козгоону көбөйтөт. Терезе узундугу боюнча sweep жыйынтыгын кабарлаңыз. Өсүп жаткан $n$-ди туура түшүндүрүү — аны башка убактарда өлчөнгөн ошол эле терезе узундугу менен салыштыруу; башка терезеден алынган сан менен эч качан салыштырбаңыз.

Бул жердеги үлгү GPU тактыгынын тузагы макаласында аныкталган үлгүгө окшош: таза иштеп, ишенимдүү көрүнгөн санды кайтарган конвейер туура сандын далили эмес; жалгыз коргонуу — мааниге ээ болбошу керек болгон кириштерди өзгөртүп, натыйжанын өзгөрбөгөнүн ырастоо.

Бул сизге эмне берет жана эмнени бербейт

Микроструктура теориясы менен үч байланышты кыскача карайбыз, анткени блог алардын ар бирин башка жерде кеңири чагылдырат.

Баанын түзүлүшү. Kyle (1985) моделинде маркет-мейкер маалыматтуу жана ызы-чуулуу сооданы аралаштырган таза буйрук агымы боюнча баа коёт; таасир коэффициенти $\lambda$ жана тереңдик $1/\lambda$, анын ичинде Kyle сызыктуулугуна каршы далилдер, slippage чыгымдарынын моделдери макаласында кийинки адабият менен берилген. Hawkes түшүндүрмөсүндө $\mu$ чыныгы жаңы маалыматка, ал эми өзүн-өзү козгогон окуялар механикалык реакцияга туура келет; ошентип $n$ агымдын ызы-чуу жараткан үлүшүнүн өлчөнүүчү проксисине айланат.

Волатилдүүлүктү кластерлөө. Кластерлөө, туруктуулук, $\alpha + \beta < 1$ стационардуулук шарты жана $\omega/(1-\alpha-\beta)$ узак мөөнөттүү дисперсиясы — түзүмдүк жактан $n < 1$ жана $\mu/(1-n)$ чоңдуктарынын так аналогу — крипто үчүн GARCH волатилдүүлүгүн болжолдоо макаласында каралган. Чыныгы жаңы дооматты Bacry, Delattre, Hoffmann жана Muzy (2013) сунуштаган: критикалыкка жакын Hawkes процесси эч жерде айкын волатилдүүлүк модели болбосо да, волатилдүүлүк автокорреляциясы күч мыйзамы боюнча басаңдаган киреше катарларын жаратат. Волатилдүүлүктүн кластерлениши болжолдонбойт, ал өзүн-өзү козгогон буйрук агымынын пайда болгон касиети катары чыгат.

Epps эффекти. Bacry жана Muzy биварианттуу Hawkes модели жогорку тандоо жыштыгында өлчөнгөн корреляциянын басаңдашын эки процесстин ортосундагы козголуунун чектелүү таралуу убактысы аркылуу гана кайра чыгарарын көрсөткөн — кошумча механизм талап кылынбайт.

Аткаруу жагынан өзүн-өзү козгоодон чыккан көрсөтмө — бир кесиндиден кийин жайлоо, тынч мезгилдерде ылдамдоо — TWAP, VWAP жана POV аткаруу алгоритмдери макаласындагы POV кайтарым байланыш циклинин өзөгү, ал эми аңкоо тең кесүү сын-пикири Almgren–Chriss материалында берилген. Hawkes ылайыкташуусу кеңеш эмес, сан кошот: ылайыкташкан ядронун жарым ажыроо мөөнөтү $\ln 2 / \beta$ өз кесиндисиңизден чыккан козголуу канча убакытта басаңдай турганын көрсөтөт, ошентип «бир аз күтө тур» дегенди белгилүү тыныгуу узактыгына айлантат.

Чектөөлөр

Тормоздоо жок. Классикалык модель окуялар интенсивдүүлүктү көбөйтө алат деп гана эсептейт. Рынокто тескериси да бар: басымды сиңирген чоң лимиттик буйрук агрессивдүү соодага тоскоол болушу мүмкүн. Тормоздоосу бар Hawkes процесстери терс ядро маанилерине жол берет, бирок бул $\lambda^*(t) \geq 0$ шартын сактоону талап кылат. Мунун белгилүү бир ылайыкташтырууга мааниси бар-жогу параметрдик эмес ядронун баалоосунан көрүнөт — эгер бөлүкчө туруктуу $\hat\phi$ кайсы бир лагда нөлдөн төмөн түшсө, чектелген модель маалыматтар менен күрөшүп жатат.

Стационардык эмес. Стандарттык модель стационардуулукту болжолдойт, ал эми крипто 24/7 иштегени менен бир калыпта эмес: өтүмдүүлүк, катышуучулардын курамы жана окуялардын ылдамдыгы күн ичинде жана funding убакыт белгилеринин айланасында өзгөрөт. Убакытка жараша өзгөргөн baseline $\mu(t)$ муну көбүрөөк параметрдин баасына чечет, ал эми жогорудагы баалоо терезесинин сезгичтиги анын керекпи-жокпу аныктоонун жолу.

Кыскача жыйынтык

Hawkes процесси бул техниканы бир себептен улам актоого арзыйт: буйрук агымынын кластерленишин бир түшүндүрүлө турган санга — $n$ тармакталуу катышына — жыйнайт; аны убакыт белгилеринен гана, ордер китебин кайра түзбөстөн жана левередж же позиция боюнча божомолдорсуз эсептөөгө болот. Бул рыноктун азыр канчалык эндогендик экенин баалоонун жеткиликтүү эң арзан жолу — жоюу каскаддары ошол эле суроого $g = \rho/\Delta$ аркылуу кымбат жооп берет.

Механизм жөнөкөй: экспоненциалдык ядролор $O(N)$ рекурсиясы аркылуу $R_i$ ыктымалдуулук берет, EM кайсы окуя кайсыны жаратканын түшүндүргөн апостериорду берет, ал эми убакытты кайра масштабдоо жөн гана ишенимдүүлүк жүйөсү эмес, чыныгы шайкештик сапатынын тестин берет. Кыйын жери — натыйжага ишенүү. Миллисекунддук убакыт белгилерин тегеректөө жарылуулар учурунда $n$-ди жогору карай бурмалайт, биржа топтомдоосу ядро сиңире турган түзүмдү басат, ал эми $n$ кабыл алынган басаңдоого да, баалоо терезесине да жараша өзгөрөт. Ушул төрт сезгичтиксиз жарыяланган тармакталуу катышы — өлчөө эмес, жөн гана сан.

Булактар жана кошумча окуу

• Hawkes, A. G. (1971). "Өзүн-өзү козгогон жана өз ара козгогон чекиттик процесстердин спектрлери." Biometrika, 58(1), 83-90.
• Bacry, E., Mastromatteo, I. жана Muzy, J.-F. (2015). "Каржыдагы Hawkes процесстери." Market Microstructure and Liquidity.
• Shi, F., Broussard, J. P. жана Booth, G. G. (2019). "Көп өзгөрмөлүү Hawkes процесстери аркылуу фондулук рыноктогу Flash Crash жүрүм-турумун моделдөө."
• Hardiman, S., Bercot, N. жана Bouchaud, J.-P. (2013). "Каржы рынокторундагы критикалык рефлексивдүүлүк: Hawkes процессинин анализи."
• Bacry, E. жана Muzy, J.-F. (2014). "Баанын жана сооданын жогорку жыштыктагы динамикасы үчүн Hawkes модели." Quantitative Finance.
• Bompaire, M., Bacry, E. жана Gaiffas, S. (2017). "tick: Hawkes процесстерине басым жасаган статистикалык үйрөнүү үчүн Python китепканасы." JMLR.
• Filimonov, V. жана Sornette, D. (2012). "Каржы рынокторундагы рефлексивдүүлүктү сандык баалоо."
• Kumar, P. (2021). "Жогорку жыштыктагы маркет-мейкинг үчүн Deep Hawkes процесси."
• tick китепканасынын документтери: Hawkes модулу.
• Morse, S. "Hawkes процесстери үчүн Python классы." (Окуу куралы жана код)