Hawkes Processes for Order Arrival and Market Event Modeling

Сандық саусақ ізі туралы мақала қатысушының мінез-құлық қолтаңбасындағы уақыт компоненті ретінде үш саннан тұратын — hawkes_mu, hawkes_alpha, hawkes_beta — векторды пайдаланады және маркет-мейкерлерде күшті өзін-өзі қоздыру бар деп тұжырымдайды. Бірақ бұл үш санның қайдан шығатынын, неден бағаланатынын немесе оларға қаншалықты сенуге болатынын түсіндірмейді. Бұл мақала жетіспейтін бөлікті толтырады: бағалаушыны, модель сәйкестігі диагностикасын және үш параметрдің өзінен маңыздырақ болып шығатын туынды шаманы — тармақталу коэффициентін $n$.

Мұнда тексерілетін тұжырым тар әрі нақты. Тапсырыс ағыны өзін-өзі қоздырады: агрессивті сату келесі агрессивті сатудың ықтималдығын арттырады, мұны уақыт бойынша өзгеретін кез келген қарқындылығы бар Пуассон моделі қайталай алмайды. Егер бұл рас болса, шикі сауда уақыт белгілеріне бейімделген Hawkes процесі (a) ұстап қалынған деректердегі ықтималдық бойынша Пуассон базалық моделінен асып түсуі, (b) 0 мен 1 арасында қатаң жататын тармақталу коэффициентін беруі және (c) уақытты қайта масштабтау арқылы сәйкестік сапасы тестінен өтуі керек. (a) және (b) тармақтары биржалық фьючерстер үшін кеңінен хабарланған. Ал (c) — жарияланған Hawkes мақалаларының әдетте үнсіз қалатын тұсы; бұл блогта крипто таспасы осы тұрғыдан әлі тексерілген жоқ.

Бұл блогта бұрыннан қарастырылған екі алғышарт бар, сондықтан олар мұнда қайта шығарылмайды. Өзін-өзі қоздыратын кері байланыс құрылымы — бір түрдегі оқиғалардың көбірек оқиғаларды іске қосуы, шектен төмен кезде субкритикалық, ал одан жоғары кезде бақылаусыз өсуі — сауда сигналы ретіндегі жою каскадтары мақаласында $g = \rho/\Delta$ көбею саны арқылы нақты шығарылған; онда геометриялық қатардағы толық қозғалыс, суперкритикалық flash-crash режимі және оны шектейтін үш фактордың бірі ретіндегі автоматты ажыратқыштар да қамтылған. Төмендегі тармақталу коэффициенті $n$ — сол $g$ шамасының нүктелік процесс аналогы. Мұндағы шын мәніндегі қосымша нәрсе: $n$-ді тек сауда уақыт белгілерінен нақты уақытта бағалауға болады — жою картасы, ордер кітабының тереңдігі және левередж туралы болжамдар қажет емес. Нүктелік процесс техникасына жүгінудің бүкіл себебі осы.

Сағаттық уақыттың қате іріктеу осі екені туралы алғышарт уақыт жолақтарынан тыс мақаласының негізгі уәжі болып табылады; ол бұл мәселені жақсырақ жолақтар құру арқылы шешеді. Бұл мақала оны басқаша шешеді: мүлде іріктемей, оқиғалардың уақыттарын тікелей модельдейді.

Нүктелік процестің негіздері қысқаша

Нүктелік процесс — шартты қарқындылығы $\lambda^*(t)$ арқылы анықталатын кездейсоқ оқиғалар уақыттарының жиыны; бұл толық тарих $\mathcal{F}_t$ берілгендегі лездік келу жылдамдығы:

$\lambda^*(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbb{E}[N(t, t + \Delta t) \mid \mathcal{F}_t]}{\Delta t}$

Біртекті Пуассон процесінде $\lambda^*(t) = \mu$. Біртекті емес Пуассон процесі $\lambda(t)$ шамасының детерминирленген пішінмен (мысалы, күн ішіндегі U-тәрізді қисықпен) өзгеруіне мүмкіндік береді, бірақ шартты тәуелсіздікті сақтайды: сауданың жаңа ғана болғанын білу келесі сауданың жақын арада болатыны туралы ештеңе айтпайды. Нақты тапсырыс ағыны бұзатын болжам осы, ал осы бұзылу мақаланың бүкіл тақырыбы. $\lambda^*(t)$ ішіндегі жұлдызша — негізгі айырмашылық: ол тарихқа тәуелділікті білдіреді.

Hawkes процесі

Бір өлшемді Hawkes процесінің қарқындылығы

$\lambda^*(t) = \mu + \sum_{t_i < t} \phi(t - t_i)$

мұнда $\mu > 0$ — фондық қарқындылық (экзогендік келулер), ал $\phi(\cdot) \geq 0$ — қоздыру ядросы. Әр оқиға қарқындылықты $\phi(0)$ шамасына арттырады, содан кейін ол $\phi$ пішінімен бәсеңдейді. Жақында болған оқиғалар шоғыры жоғары қарқындылық туғызып, кейінгі оқиғалардың ықтималдығын арттырады — процесс өз тарихын есте сақтайды.

Тармақталу коэффициенті

$n = \int_0^\infty \phi(t) \, dt$

$n$ — бір ата-ана оқиғасы іске қосатын бала оқиғалардың орташа саны. Стационарлық болу үшін $n < 1$ болуы керек; стационарлық орташа қарқындылық $\bar{\lambda} = \mu / (1-n)$ болады және $n \to 1$ кезінде шексіз өседі. Демек, $n$ жалпы белсенділікті экзогендік $(1-n)$ және эндогендік $n$ үлестерге бөледі: $n = 0.7$ кезінде оқиғалардың жетпіс пайызы нарықтан тыс нәрсеге жауап емес, басқа оқиғаларға реакция ретінде пайда болады.

Бұл — жою каскадтарындағы каскад мультипликаторының субкритикалық/суперкритикалық бөлінуі, тек басқа жолмен алынған. Есептеу құнының айырмасы мынада: $g = \rho/\Delta$ мәжбүрлі сатылым тығыздығы мен нақты уақыттағы кітап тереңдігінің алға бағытталған картасын талап етеді, ал екеуі де левередж үлестірімі туралы болжамдарға негізделген бағалар. $n$ үшін уақыт белгілерінің тізімі жеткілікті.

Filimonov және Sornette (2012) E-mini S&P 500 фьючерстерінде 1998–2007 жылдары $n$ шамамен 0.3-тен 0.7-ден жоғары мәнге өскенін хабарлады. Hardiman, Bercot және Bouchaud (2013) сол келісімшарт үшін қысқа лагтарда дәрежесі шамамен $n \approx 0.8$ болатын қуат заңы ядросымен $-1.15$ мәнін алды. Екеуі де он жылдан астам бұрынғы биржалық фьючерс нәтижелері, сондықтан өлшеусіз криптоға көшірілмейді. Бұл мақаланың мақсаты оларды қайталау емес; мақсаты — қатысушылары басқа және нарықтың ашылу үзілісі жоқ, тәулік бойы жұмыс істейтін perpetual-фьючерс таспасында сол режимнің сақталатынын тексеру.

Ядроны таңдау

Экспоненциалды ядро, $\phi(t) = \alpha e^{-\beta t}$, мұнда $n = \alpha/\beta$. Ол Марковтық, сондықтан ықтималдықта әр оқиғаға $O(1)$ рекурсиясы бар (төменде). Әрбір практикалық сәйкестік осыдан басталады.

Қуат заңы, $\phi(t) = \alpha c^p / (c+t)^{1+p}$. Ұзақ жадты кластерленуді қайталайды, бірақ рекурсиядан айырылады — ықтималдықты есептеу $O(N^2)$ болады немесе қысқартуды қажет етеді.

Экспоненталар қосындысы, $\phi(t) = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k e^{-\beta_k t}$. Рекурсияны сақтай отырып, $K$ уақыт шкаласы арқылы қуат заңының бәсеңдеуін жуықтайды. Әдетте $K = 3$–$5$ жеткілікті, ал $\beta_k$ миллисекундтан минутқа дейінгі аралықты қамтиды.

Криптодағы сауда келулерінің экспоненциалды не қуат заңы бойынша бәсеңдейтіні — ықтималдықтар қатынағы арқылы жауап берілетін эмпирикалық сұрақ; ол төменде дәйексөзбен емес, өлшеу арқылы тексеріледі.

Көпөлшемді Hawkes процестері

$D$ оқиға түрі үшін

$\lambda_d^*(t) = \mu_d + \sum_{d'=1}^{D} \sum_{t_i^{d'} < t} \phi_{dd'}(t - t_i^{d'})$

мұнда $\phi_{dd'}$ $d'$ түрінің $d$ түрін қалай қоздыратынын сипаттайды. Экспоненциалды ядроларда тармақталу матрицасы $G = [\alpha_{dd'}/\beta_{dd'}]$, ал стационарлық $\rho(G) < 1$ спектрлік радиусын талап етеді. Ең үлкен меншікті мәнге сәйкес келетін $G$ меншікті векторы басым қозу режимін — бірге іске қосылуға бейім оқиға түрлерінің тобын — анықтайды.

Ордер кітабы үшін қызықты нұсқа — $D = 6$: нарықтық сатып алу, нарықтық сату, лимиттік сатып алу, лимиттік сату, сатып алуды болдырмау, сатуды болдырмау. Бұл матрицада 36 элемент бар және ол осы блогта басқа жерде кездеспейтін Hawkes құралдар жиынтығының бөлігі. Оның болжанатын элементтерінің бірі терминсіз-ақ эмпирикалық түрде құжатталған: қатар тұрған деңгейлердегі корреляцияланған жаппай жою — қабырғаларды алып тастау — кезек позициясы мен ордер кітабы қабырғаларын талдау мақаласында тікелей өлшенеді. Бағаланған $\phi_{\text{cancel},\text{cancel}}$ — сол құбылыстың ядро арқылы өрнектелуі, сондықтан екі өлшем сәйкес келуі керек. Сәйкес келмесе, олардың біреуі қате.

Активтер арасындағы және бірнеше алаңдағы нұсқалар — белгілері өзгеше болғанымен, сол механизм: диагональдан тыс ядролар lead-lag пен жұқпалылықты көрсетеді. Shi, Broussard және Booth (2019) бұл тәсілді 2010 жылғы flash crash кезінде Dow-дың 30 акциясына қолданып, жұқпалылық көздері анықталатын асимметриялық көлденең қозуды тапты.

Калибрлеу

Ең үлкен ықтималдық

Егер $\{t_1, \ldots, t_N\}$ аралығындағы оқиға уақыттары $[0, T]$ болса:

$\ell(\theta) = \sum_{i=1}^{N} \log \lambda^*(t_i) - \int_0^T \lambda^*(t) \, dt$

Бірінші мүше оқиғалар болған жердегі қарқындылықты көтермелейді, ал екінші мүше ештеңе болмаған қарқындылықты жазалайды.

Экспоненциалды ядро үшін рекурсия

$R_i = \sum_{j < i} e^{-\beta(t_i - t_j)} = e^{-\beta(t_i - t_{i-1})} \cdot R_{i-1} + 1$

$\lambda^*(t_i) = \mu + \alpha R_i$ шығынмен әр оқиға үшін $O(1)$ береді, ал компенсатор мына түрде жабылады:

$\int_0^T \lambda^*(t) \, dt = \mu T + \frac{\alpha}{\beta} \sum_{i=1}^{N} \left(1 - e^{-\beta(T - t_i)}\right)$

Жалпы құны $O(N)$, сондықтан миллиондаған оқиға бар модельдерді бейімдеу күнделікті іске айналады. Оң мәнділік шектеулерімен L-BFGS-B арқылы оңтайландырыңыз.

Нәтижеге сенбес бұрын білу керек екі сәтсіздік режимі бар. $n \to 1$ кезінде ықтималдық беті қатты жазықтанады, сондықтан критикалыққа жақын сәйкестік $\pm 0.1$ бойынша шамамен $n$ аралықта тегіс жатқан аңғарда сенімді көрінетін нүктелік бағалауды беруі мүмкін — оптимизатордың Гессианын оқымай, әрқашан ықтималдықты $n$ бойынша профильдеңіз. Ал көпөлшемді жағдайда параметрлер саны $O(D^2)$ ретінде өседі, сондықтан $D \approx 10$-нан асқанда ядро нормаларына group-Lasso қолдану керек, әйтпесе матрица шуды бейімдейді.

EM және параметрлік емес бағалау

EM тармақталу құрылымын жасырын деп санайды: әр оқиға не $\mu$-дан келген иммигрант, не бұрынғы оқиғалардың бірінің ұрпағы. Жалпы E-қадам/M-қадам механикасы, жергілікті оптимум туралы ескерту және бірнеше инициализация тәртібі HMM арқылы режимдерді анықтау мақаласының Baum–Welch бөлімінде қарастырылған және мұнда да дәл сондай. Hawkes-ке тән бөлік — E-қадамның өз шамасы:

$p_{ij} = \frac{\phi(t_i - t_j)}{\lambda^*(t_i)}, \quad p_{i0} = \frac{\mu}{\lambda^*(t_i)}$

$p_{ij}$ — қай оқиға қай оқиғаны тудырғанын көрсететін апостериорлық ықтималдық: бұл жай ғана оңтайландырудың аралық мәні емес, түсіндірілетін нәтиже. Оқиға түрлері бойынша қосқанда, ол таспаның атрибуциясын береді: соңғы сағаттағы сатылымдардың мына үлесін ертеректегі сатылымдар қоздырған, ал мына үлесі сырттан келген. Сонымен қатар $\phi$-ті торда бөліктеп тұрақты түрде параметрлік емес бағалауға мүмкіндік береді; осылайша балама модельді алдын ала таңдамастан экспоненциалды болжамды тексеруге болады. Құны — толық $O(N^2)$ матрицасы үшін $p_{ij}$, сондықтан жуықтаусыз шамамен $10^5$ оқиғадан әрі масштабталмайды.

Bacry мен Muzy ұсынған спектрлік әдіс — модельге тәуелсіз тағы бір жол: стационарлық Hawkes процесінің қуат спектрлік тығыздығы $\hat{C}(\omega) = |I - \hat{\Phi}(\omega)|^{-2} \cdot \text{diag}(\mu)$ түрінде жіктеледі, сондықтан ковариация тығыздығын бағалап, жіктеуді шешу ешқандай параметрлік пішін болжамынсыз ядроларды қалпына келтіреді.

Нақты крипто таспасына бейімдеу

Бұл бөлімдегі әр сан нақты деректерге жасалған нақты сәйкестіктен алынуы керек. Симуляторға енгізілген параметрлерді қалпына келтіру тек оптимизатордың жұмыс істейтінін дәлелдейді, одан басқа ештеңені дәлелдемейді.

Деректер: анықталған терезедегі Binance BTC/USDT aggTrade уақыт белгілері; әр есептелген көрсеткіштің қасында терезе, символ және оқиғалар саны ашық көрсетілуі керек. aggTrade бір taker ордерінен бір бағада орындалған толтыруларды бір жазбаға біріктіреді, сондықтан мұндағы дұрыс бірлік — бір агрессивті ордер бір оқиға, контрагенттің әр толтыруы жеке оқиға емес.

Бірөлшемді сәйкестік

import numpy as np
import pandas as pd
from tick.hawkes import HawkesExpKern

trades = pd.read_parquet("binance_btcusdt_aggtrades.parquet")

t0 = trades["transact_time"].iloc[0]
ts = ((trades["transact_time"] - t0) / 1000.0).to_numpy(dtype=np.float64)
T = ts[-1]

learner = HawkesExpKern(decays=BETA_GRID, penalty="none", verbose=False)
learner.fit([ts])

mu_hat = learner.baseline[0]
alpha_hat = learner.adjacency[0, 0]
n_hat = alpha_hat / BETA_CHOSEN

print(f"events   = {len(ts)}")
print(f"window   = {T/3600:.2f} h")
print(f"mu       = {mu_hat:.4f} events/s")
print(f"n        = {n_hat:.4f}")
print(f"lambda_bar (model) = {mu_hat/(1-n_hat):.4f} events/s")
print(f"lambda_bar (data)  = {len(ts)/T:.4f} events/s")

Соңғы екі басып шығарылған мән еш шығынсыз алғашқы sanity check болады: егер модельдің стационарлық орташа қарқындылығы $\mu/(1-n)$ эмпирикалық оқиғалар жылдамдығына жақын болмаса, оптимизатор не хабарлағанына қарамастан сәйкестік қате.

$\beta$ мәнін қолмен бекітуге болмайды. Бәсеңдеу параметрлерінің торы бойынша ықтималдық профилін есептеп, оны көрсетіңіз, өйткені $\alpha$ мен $\beta$ өзара қатты алмасады және $n = \alpha/\beta$ тұрақты болуы мүмкін, ал екі параметрдің өзі тұрақты болмауы ықтимал.

Ядро шынымен экспоненциалды түрде бәсеңдей ме?

Әдебиеттегі қуат заңы туралы тұжырым 2013 жылғы биржалық фьючерс мақалаларынан шыққан. Оны тікелей тексеріңіз: бір таспаға экспоненциалды және қуат заңы ядроларын бейімдеп, ұстап қалынған деректердегі лог-ықтималдық бойынша салыстырыңыз (in-sample емес, өйткені қуат заңында қосымша параметр бар), сондай-ақ ірі саудадардан кейінгі эмпирикалық қарқындылықтың бәсеңдеуін бөлек қараңыз.

large = ts[trades["quantity"].to_numpy() > LARGE_TRADE_THRESHOLD]

lags = np.logspace(-3, 2, 60)   # 1 ms .. 100 s
rate = np.empty(len(lags) - 1)
for k in range(len(lags) - 1):
    lo, hi = lags[k], lags[k + 1]
    counts = [
        np.searchsorted(ts, t0_ + hi) - np.searchsorted(ts, t0_ + lo)
        for t0_ in large
    ]
    rate[k] = np.mean(counts) / (hi - lo)

Лог-лог графигінде көрсеткенде экспоненциалды ядро иіледі, ал қуат заңы түзу болады. Бұл график екі ықтималдық санынан да күштірек дәлел, өйткені сәйкессіздіктің қай жерде екенін көрсетеді — әдетте экспоненталар құйрықты жеткіліксіз бейімдейді де, алғашқы бірнеше миллисекундты артық бейімдейді.

Тармақталу матрицасы

Өміршең ең кіші көпөлшемді модель: is_buyer_maker арқылы бөлінген екі өлшем — агрессивті сатып алу және агрессивті сату. Егер L3 деректері қолжетімді болса, болдырмау оқиғаларын қосыңыз.

buys  = ts[~trades["is_buyer_maker"].to_numpy()]   # taker bought
sells = ts[ trades["is_buyer_maker"].to_numpy()]   # taker sold

mv = HawkesExpKern(decays=BETA_CHOSEN, penalty="l2", C=C_CV, verbose=False)
mv.fit([buys, sells])

G = mv.adjacency / BETA_CHOSEN          # branching matrix
rho = np.max(np.abs(np.linalg.eigvals(G)))
print("G =\n", G)
print(f"spectral radius = {rho:.4f}")   # must be < 1

Жарияланатын екі шама — матрицаның өзі және оның спектрлік радиусы. Мұндағы қызық бөлік — асимметрия: sell-excites-sell buy-excites-buy-ден асып түсе ме, көлденең мүшелер симметриялы ма? Бұл крипто таспасы туралы тексеруге болатын тұжырымдар, ал мұнда оларды ешкім әлі өлшеген жоқ.

Сәйкестік сапасы: уақытты қайта масштабтау

Уақытты қайта масштабтау теоремасы: егер модель дұрыс болса, түрлендірілген уақыттар $\tau_i = \int_0^{t_i} \lambda^*(s)\,ds$ бірлік жылдамдықты Пуассон процесін құрайды, сондықтан $\Delta\tau_i$ айырмашылықтары $\text{Exp}(1)$ болады.

from scipy.stats import kstest, expon

compensator = np.empty(len(ts))
for i, ti in enumerate(ts):
    compensator[i] = mu_hat * ti + (alpha_hat / BETA_CHOSEN) * np.sum(
        1 - np.exp(-BETA_CHOSEN * (ti - ts[:i]))
    )

tau = np.diff(compensator)
stat, pval = kstest(tau, expon(scale=1.0).cdf)
print(f"KS = {stat:.4f}, p = {pval:.4g}, N = {len(tau)}")

Бұл тесті түсіндіруде бір ескерту бар: $N$ жүздеген мың болғанда, KS тесті болмашы спецификация қателерінің өзінде нөлдік гипотезаны қабылдамайды. $N = 5 \times 10^5$ кезінде өте кішкентай p-мәні өздігінен дерлік ештеңе білдірмейді; ақпаратты нәтиже — $\Delta\tau$ пен $\text{Exp}(1)$ QQ графигі және KS статистикасының өзі, ол масштабтан тәуелсіз әсер көлемі. Екеуін де шынайы түрде есеп беріңіз — егер крипто таспасында экспоненциалды ядро қабылданбаса, бұл оны жасыруға емес, жариялауға тұрарлық нәтиже; бұл тұрақты жиектер жөніндегі шынайы теріс нәтиже мақаласының ұстанымына сай.

n шынымен осалдықпен бірге өзгере ме?

$n$ нақты уақыттағы осалдық индикаторы деген тұжырым жиі айтылады, бірақ сирек тексеріледі. Тест қарапайым: тыныш кезеңде және белгілі крипто каскады болған күн ішінде жылжымалы терезелер бойынша $n$-ді бағалап, оның оқиғаға дейін немесе тек оқиға кезінде өсетінін тексеріңіз. Құлдыраумен қатар ғана шарықтайтын шама — ескерту емес, сипаттама.

Тұрақтылық және орнықтылық

Бейімделген $n$ маңызды емес нәрселерді өзгерткенде оның қаншалықты қозғалатынын білмейінше өлшем болып саналмайды. Зияны шамасына қарай шамамен реттелген төрт нақты тұзақ бар.

Уақыт белгісінің ажыратымдылығы өзін-өзі қоздыруды жасанды түрде тудырады. Binance aggTrade уақыт белгілерінің ажыратымдылығы — миллисекунд. Шын мәнінде микросекундтар айырмасымен болған саудадар бірдей миллисекундтық белгілерге бірігеді, ал Hawkes ықтималдығы қабаттасқан оқиғаларды максималды қозу ретінде оқиды — $\phi(0)$ дәл нөлдік лагта есептеледі. Бұл $n$-ді жоғары қарай бұрмалайды, әрі белсенділік артқан сайын бұрмалау өседі; яғни санға сену ең маңызды болатын қарбалас сәттерде әсері ең үлкен. Мұны сандық бағалаңыз: көршісімен бір уақыт белгісін бөлісетін оқиғалардың үлесін санаңыз, кейін сол оқиғаларды өз миллисекундтық интервалында біркелкі jitter жасап қайта бейімдеңіз де, $n$ қаншаға өзгеретінін есептеңіз. Егер jitter жасау $n$-ді сенімділік аралығынан артық өзгертсе, басты сан нарықты емес, сағатты өлшейді.

Биржалық топтамалау. Биржалар оқиғаларды болған сәтінде жібермейді; оларды сәйкестендіру және тарату конвейері босатқан кезде жібереді. Binance-тің жою ағынын секундына бір рет шектеуі — құжатталған мысал: кластерленген келулерге ұқсайтын ағынның бір бөлігі жариялаушының артефакті. Сауда ағынындағы кез келген топтамалау келулер арасындағы үлестірімге периодтылық енгізеді, ал Hawkes ядросы оны қуана $\alpha$ параметріне сіңіреді. Мұны тікелей тексеріңіз: келулер арасындағы уақыттарды гистограммаға түсіріп, кез келген бейімдеуден бұрын топтамалау периодындағы шоқтарды іздеңіз.

Болжанған бәсеңдеуге сезімталдық. $n = \alpha/\beta$ шамасы $\beta$-ға тәуелді, ал $\beta$ әдетте бірлесіп бағаланбайды, бекітіледі немесе тор бойынша ізделеді. $n$-ді бір нүкте ретінде емес, ықтимал аралықтағы $\beta$ функциясы ретінде көрсетіңіз. Қисық тегіс болса, сан шынайы; егер $n$ $\beta$-ны тығыз қайталаса, жауапты өзіңіз таңдап қойғансыз.

Бағалау терезесі. Бір сағат, бір күн және бір апта бойынша бағаланған $n$ әртүрлі болады: бір жағынан процесс шынымен стационарлық емес, екінші жағынан ұзын терезе режимдерді араластырып, режимдер арасындағы өзгерісті режим ішіндегі кластерленумен шатастыру арқылы көрінетін қоздыруды арттырады. Терезе ұзындығы бойынша sweep нәтижесін көрсетіңіз. Өсіп жатқан $n$-ді дұрыс түсіндіру — оны басқа уақыттардағы дәл сол терезе ұзындығымен салыстыру; басқа терезеден алынған санмен салыстыруға болмайды.

Мұндағы үлгі GPU дәлдігі тұзағы мақаласында орныққан үлгімен бірдей: таза орындалып, нанымды сан қайтаратын конвейер дұрыс санның дәлелі емес; жалғыз қорғаныс — маңызды болмауы тиіс кірістерді әдейі өзгертіп, нәтиже қозғалмайтынын растау.

Бұл сізге не береді және не бермейді

Микроқұрылым теориясымен үш байланысқа қысқаша тоқталамыз, өйткені блог олардың әрқайсысын басқа жерде егжей-тегжейлі қамтиды.

Бағаның қалыптасуы. Kyle (1985) моделінде маркет-мейкер ақпараттанған және шу саудасын араластырған таза ордер ағынына қарап баға белгілейді; әсер коэффициенті $\lambda$ мен тереңдік $1/\lambda$, соның ішінде Kyle сызықтылығына қарсы дәлелдер, сырғу құны модельдері мақаласында кейінгі әдебиетпен бірге берілген. Hawkes түсіндірмесінде $\mu$ шын мәніндегі жаңа ақпаратқа, ал өзін-өзі қоздырған оқиғалар механикалық реакцияға сәйкестенеді; сол арқылы $n$ ағынның шумен қозғалатын бөлігінің өлшенетін проксиіне айналады.

Құбылмалылық кластерленуі. Кластерлену, персистенттілік, $\alpha + \beta < 1$ стационарлық шарты және $\omega/(1-\alpha-\beta)$ ұзақ мерзімді дисперсиясы — құрылымдық тұрғыдан $n < 1$ және $\mu/(1-n)$ шамаларының дәл аналогы — крипто үшін GARCH құбылмалылығын болжау мақаласында қамтылған. Шын мәніндегі жаңа тұжырымды Bacry, Delattre, Hoffmann және Muzy (2013) ұсынды: критикалыққа жақын Hawkes процесі ешқандай айқын құбылмалылық моделі болмаса да, құбылмалылық автокорреляциясы қуат заңы бойынша бәсеңдейтін кіріс қатарларын тудырады. Құбылмалылық кластерленуі болжанбайды, ол өзін-өзі қоздыратын ордер ағынының пайда болатын қасиеті ретінде туындайды.

Epps әсері. Bacry мен Muzy бивариантты Hawkes моделі жоғары іріктеу жиілігінде өлшенген корреляцияның бәсеңдеуін екі процестің арасындағы қозудың ақырлы таралу уақытынан ғана қайта шығаратынын көрсетті — қосымша механизм қажет емес.

Орындалу тұрғысынан өзін-өзі қоздырудан шығатын нұсқау — бір кесіндіден кейін баяулау, тыныш кезеңдерде жылдамдау — TWAP, VWAP және POV орындау алгоритмдері мақаласындағы POV кері байланыс циклі бөлімінің өзегі болып табылады, ал аңғал тең кесу тәсілінің сыны Almgren–Chriss материалында берілген. Hawkes сәйкестігі кеңес емес, сан қосады: бейімделген ядроның жартылай ыдырау уақыты $\ln 2 / \beta$ өз кесіндіңіз тудырған қозудың қанша уақытта бәсеңдейтінін көрсетеді, сөйтіп «аздап күте тұр» дегенді нақты үзіліс ұзақтығына айналдырады.

Шектеулер

Тежеу жоқ. Классикалық модель оқиғалар қарқындылықты тек арттыра алады деп есептейді. Нарықта кері жағдай да бар: қысымды сіңіретін үлкен лимиттік ордер агрессивті саудаға тосқауыл бола алады. Тежеуі бар Hawkes процестері теріс ядро мәндеріне рұқсат етеді, бірақ бұл $\lambda^*(t) \geq 0$ шартын орындауды талап етеді. Мұның нақты сәйкестік үшін маңызды ма, оны параметрлік емес ядро бағасынан көруге болады — егер бөліктеп тұрақты $\hat\phi$ қандай да бір лагта нөлден төмен түссе, шектеулі модель деректермен күресіп жатыр.

Стационарлық емес. Стандартты модель стационарлықты болжайды, ал крипто тәулік бойы жұмыс істегенімен біркелкі емес: өтімділік, қатысушылар құрамы және оқиғалар жылдамдығы күн ішінде әрі funding уақыт белгілерінің маңында өзгереді. Уақытқа тәуелді baseline $\mu(t)$ мұны көбірек параметр құнына шешеді, ал жоғарыдағы бағалау терезесінің сезімталдығы оның қажет-қажет еместігін анықтайды.

Қорытынды

Hawkes процесі бір себеппен осы техниканы ақтайды: ол ордер ағынының кластерленуін бір түсіндірілетін санға — $n$ тармақталу коэффициентіне — жинақтайды; оны ордер кітабын қайта құрмай және левередж не позициялау туралы болжамдарсыз, тек уақыт белгілерінен есептеуге болады. Бұл нарықтың қазіргі кезде қаншалықты эндогенді екенін бағалаудың қолжетімді ең арзан тәсілі — жою каскадтары дәл сол сұраққа $g = \rho/\Delta$ арқылы қымбат жауап береді.

Техникасы қарапайым: экспоненциалды ядролар $O(N)$ рекурсиясы арқылы $R_i$ ықтималдық береді, EM қай оқиғаның қайсысын тудырғаны туралы түсіндірілетін апостериорлық бағалауды береді, ал уақытты қайта масштабтау жай ғана нанымды уәж емес, нақты сәйкестік сапасы тестін береді. Қиыны — нәтижеге сену. Миллисекундтық уақыт белгілерін дөңгелектеу қарбалас сәттерде $n$-ді жоғары қарай бұрмалайды, биржалық топтамалау ядро сіңіретін құрылым енгізеді, ал $n$ қабылданған бәсеңдеуге де, бағалау терезесіне де қарай өзгереді. Осы төрт сезімталдықсыз берілген тармақталу коэффициенті — өлшем емес, жай сан.

Дереккөздер және қосымша оқу

• Hawkes, A. G. (1971). "Өзін-өзі қоздыратын және өзара қоздыратын нүктелік процестердің спектрлері." Biometrika, 58(1), 83-90.
• Bacry, E., Mastromatteo, I. және Muzy, J.-F. (2015). "Қаржыдағы Hawkes процестері." Market Microstructure and Liquidity.
• Shi, F., Broussard, J. P. және Booth, G. G. (2019). "Көпөлшемді Hawkes процестері арқылы қор нарығындағы Flash Crash мінез-құлқын модельдеу."
• Hardiman, S., Bercot, N. және Bouchaud, J.-P. (2013). "Қаржы нарықтарындағы критикалық рефлексивтілік: Hawkes процесінің талдауы."
• Bacry, E. және Muzy, J.-F. (2014). "Баға мен сауда-саттықтың жоғары жиілікті динамикасына арналған Hawkes моделі." Quantitative Finance.
• Bompaire, M., Bacry, E. және Gaiffas, S. (2017). "tick: Hawkes процестеріне басымдық беретін статистикалық оқытуға арналған Python кітапханасы." JMLR.
• Filimonov, V. және Sornette, D. (2012). "Қаржы нарықтарындағы рефлексивтілікті сандық бағалау."
• Kumar, P. (2021). "Жоғары жиілікті маркет-мейкингке арналған Deep Hawkes процесі."
• tick кітапханасының құжаттамасы: Hawkes модулі.
• Morse, S. "Hawkes процестеріне арналған Python класы." (Оқу құралы және код)