Pérdida Impermanente y LVR: las matemáticas reales de la rentabilidad del LP

La provisión de liquidez parece un producto de rendimiento y se comporta como un libro de opciones cortas. El titular de APR en un panel de control de pool es un número bruto: cuenta las tarifas que entran e ignora silenciosamente los dos costos que salen: la divergencia entre lo que se convierte su posición y lo que depositó (pérdida impermanente), y el sangrado más constante y sigiloso a los arbitrajistas que aprovechan sus cotizaciones obsoletas en cada movimiento de precios (pérdida versus reequilibrio). Si se hace bien la contabilidad, todo el negocio se reduce a una desigualdad: ¿la corriente de tarifas cubre el costo impulsado por la volatilidad de mantener la posición? Si se hace mal, usted es un vendedor sistemático de varianza que olvidó fijar el precio de la varianza.

Este artículo es la continuación prometida de Uniswap v3 para quants, que terminó nombrando la pérdida versus reequilibrio y señalando aquí. Construimos el cálculo de la rentabilidad desde los principios básicos: la forma cerrada para la pérdida impermanente en un pool de producto constante, por qué la liquidez concentrada es una IL apalancada, el resultado LVR de σ²/8 y la descomposición exacta de PnL que permite, cómo la medición de markout por bloque mide la selección adversa empíricamente, y la condición de equilibrio —una comparación de tarifas versus volatilidad— que le dice cuándo una posición de LP es realmente +EV frente a simplemente mantener los tokens.

El invariante de producto constante y el nacimiento de la pérdida impermanente

Un pool de Uniswap v2 mantiene reservas $x$ del token de riesgo y $y$ del numerario y aplica $x \cdot y = k$ en cada operación. El precio marginal del activo de riesgo es $P = y/x$. Debido a que $k$ se conserva, las reservas a cualquier precio $P$ están fijadas:

Comience en el precio $p_0$ con reservas $(x_0, y_0)$ y deje que el precio se desplace a $p$. La posición del LP vale, marcada al nuevo precio,

Si simplemente hubiera mantenido los tokens depositados en lugar de agruparlos, su valor sería

Defina la relación de precios $r = p/p_0$. Divida, y los $\sqrt{k}$ y $\sqrt{p_0}$ se cancelan limpiamente, dejando la pérdida impermanente como una función de la relación de precios solamente:

Ese es el objeto completo. Es negativo para cada $r \neq 1$ y cero solo cuando el precio vuelve a donde entró, "impermanente" precisamente porque desaparece si el precio regresa. Dos propiedades merecen ser internalizadas.

Es simétrico en el log-precio. Sustituya $r \to 1/r$: la expresión no cambia, porque $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Una duplicación y una reducción a la mitad duelen idénticamente. Concretamente, un movimiento de 2× ($r=2$) y un movimiento de −50% ($r = 0.5$) dan ambos

La simetría es más limpia cuando se escribe la relación de precios en logaritmos. Con $u = \ln r$, una breve manipulación colapsa la IL en una secante hiperbólica:

lo que hace explícita la forma cuadrática en el retorno logarítmico: cerca del precio de entrada, la IL crece con el cuadrado del movimiento del precio logarítmico, la firma de un pago de gamma corto y la razón por la que permanece insignificante para pequeños movimientos y muerde con fuerza en las tendencias.

Los números parecen pequeños hasta que recuerdas lo que miden: la IL es la brecha frente a mantener, y solo se realiza en relación con ese punto de referencia. Un token que se multiplica por 4 deja al LP con una gran ganancia en términos de dólares, solo un 20% menos que si lo hubiera mantenido. La IL no es una pérdida que se siente; es un costo de oportunidad que debe pagarse para soportar. La corriente de tarifas es ese pago. Si es suficiente es el resto de este artículo.

La liquidez concentrada es una pérdida impermanente apalancada

Uniswap v3 permite a un LP confinar capital a un rango de precios $[p_a, p_b]$. Dentro del rango, la posición se comporta exactamente como un pool v2 —misma curva de vinculación— pero utilizando solo las reservas necesarias para cubrir esa banda (la construcción de reserva virtual derivada en el artículo de mecánica de v3). La consecuencia para la IL es aguda, y se desprende de una línea de álgebra.

Escriba $s = \sqrt p$. Una posición v3 con liquidez $L$ en $[p_a, p_b]$, ingresada al precio $p_0$ y aún dentro del rango en $p$, mantiene $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ y $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Calcule su valor menos el valor HODL de sus propios tokens iniciales, y todo lo que involucre $p_a$ y $p_b$ se cancela:

Esta es la misma pérdida de divergencia absoluta que un pool v2 con el idéntico $L$ —los límites del rango no aparecen. Entonces, ¿de dónde viene el dolor extra? Del capital. La concentración en $[p_a, p_b]$ permite que los mismos dólares respalden un $L$ mucho mayor. Para un rango geométricamente centrado en el precio de entrada, el factor de amplificación es exactamente

el multiplicador de "eficiencia de capital" de v3. Una posición de rango completo tiene $\Lambda = 1$; un rango de $0.5p_0$ a $2p_0$ da $\Lambda \approx 3.4$; una banda de $[2700, 3300]$ alrededor de $p_0 = 3000$ (±10%) da $\Lambda \approx 20.4$. Debido a que la pérdida absoluta escala con $L$ y el capital igual compra $\Lambda$ veces más $L$, la IL fraccional escala de la misma manera:

Tome esa posición de ±10%, entrada de $3,000, y suba el precio. Los números de v2 de la tabla anterior se multiplican por ~20:

Un movimiento del 10% que le cuesta a un LP de rango completo once puntos básicos le cuesta al LP concentrado un 2.3% frente a mantener. Y empeora en el límite, porque el rango tiene un segundo borde que la fórmula anterior oculta: una vez que el precio cruza $p_b$, la posición es 100% numerario, deja de ganar tarifas y su divergencia se congela en la composición del límite. El LP concentrado ha vendido completamente el activo de riesgo en el camino hacia arriba y ahora observa cualquier repunte adicional sin nada de él, la cola de straddle corto, bloqueada, con la corriente de prima apagada. La concentración es apalancamiento tanto en los ingresos por tarifas como en la pérdida, además de una dependencia de la trayectoria —tiempo pasado en el rango— que la escala ingenua $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ no captura.

LVR: la pérdida que no se puede culpar al mercado

La pérdida impermanente mide al LP frente a un HODLer pasivo, y ese punto de referencia introduce silenciosamente el riesgo de mercado: la mayor parte de lo que "IL vs HODL" le cobra es solo la exposición direccional que habría tenido de todos modos al poseer los tokens. La descomposición más precisa —la que aísla el costo que es específico de ser un AMM— es la pérdida versus reequilibrio (LVR), de Milionis, Moallemi, Roughgarden y Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

La idea es comparar el LP no con la tenencia, sino con una cartera de reequilibrio que mantiene, en cada instante, las mismas cantidades exactas de tokens que el pool —misma delta, misma exposición al mercado— pero opera al precio de mercado externo sin fricciones en lugar de contra la propia curva de vinculación del pool. Ambas carteras conllevan un riesgo de precio idéntico, por lo que restar una de la otra cancela por completo el ruido del mercado y deja solo el costo estructural de ser el AMM: el dinero que el pool pierde porque los arbitrajistas, no el LP, capturan cada movimiento de precios. Ese residual es LVR.

Modele el precio externo como un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma$. El resultado central del artículo —que los autores llaman una "fórmula de Black–Scholes para AMMs"— es que la LVR se acumula como una deriva determinista y no negativa:

donde $x(P)$ es la tenencia de activos de riesgo del pool en función del precio y $x'(P) < 0$ (el AMM vende el activo de riesgo a medida que su precio sube). Para el pool de producto constante, $x(P) = L/\sqrt P$, por lo que $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, y dado que el valor del pool es $V = 2L\sqrt P$, la tasa como una fracción del valor del pool se reduce a una constante:

Ese es el famoso σ²/8. Es independiente de las tarifas y del inventario: un pool de producto constante pierde $\sigma^2/8$ de su valor por unidad de tiempo debido al arbitraje, punto. Con una volatilidad diaria del 5%, eso es $0.05^2/8 \approx 3.1$ puntos básicos todos los días —aproximadamente el 11% del valor del pool al año— antes de que se cuente un solo dólar de tarifas. Para una posición concentrada, la misma lógica da $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ mientras está en el rango: el apalancamiento que amplificó la IL amplifica la LVR por el mismo factor.

La razón por la que LVR es la unidad de cuenta correcta, y la IL no lo es, se reduce a una propiedad: la diferencia LP-menos-reequilibrio tiene volatilidad cero. Es una deriva puramente predecible, $-\!\int \ell\,dt$. Esto significa que el riesgo de precio es totalmente cubrible: replique la cartera de reequilibrio con una cobertura delta dinámica y lo que queda es determinista. La verdadera economía del LP es, por lo tanto,

Si se cubre el primer término, el LP se queda con tarifas − LVR − gas —una posición de varianza corta cuyo rendimiento es la corriente de tarifas y cuyo costo es un sangrado continuo, predecible e impulsado por la volatilidad. Esto es exactamente el equilibrio gamma-theta de un libro de opciones cortas: LVR es el costo gamma $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, las tarifas son el theta que se cobra, y la analogía con la fijación de precios de opciones de Black–Scholes es estructural, no decorativa. También es la misma tensión de selección adversa versus spread que Avellaneda–Stoikov formalizan para los creadores de mercado de libros de órdenes, con el nivel de tarifas del pool desempeñando el papel del spread cotizado.

Un refinamiento mantiene el marco honesto. El limpio σ²/8 asume un arbitraje continuo y sin costo. En realidad, el propio nivel de tarifas crea una banda sin arbitraje —los arbitrajistas solo operan una vez que un movimiento de precios excede la tarifa— por lo que la LVR realizada es menor que la cifra sin fricciones, y las tarifas cumplen una doble función: le pagan y amplían la banda que lo protege. La versión discreta en el tiempo y consciente de las tarifas se elabora en el seguimiento Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023); trate el σ²/8 continuo como un límite superior del sangrado.

Markout: midiendo la selección adversa bloque por bloque

LVR es un teorema sobre una difusión. La sombra empírica que proyecta sobre los rellenos reales es el markout, y es la forma de medir la selección adversa en una posición en vivo sin ningún modelo de volatilidad.

El markout evalúa una operación frente a un precio de referencia "justo" en un horizonte $\Delta$ posterior. Para un proveedor de liquidez pasivo, cada swap que opera contra su rango es una operación que no eligió —el tomador la eligió, y la eligió porque le convenía. Defina el markout del LP en una operación como el cambio de inventario firmado multiplicado por el movimiento de precio posterior:

donde $\Delta q$ es la cantidad de activo de riesgo que el LP adquirió en la operación (negativa cuando el LP vendió). El flujo informado y tóxico hace que esto sea sistemáticamente negativo: el pool compra el activo de riesgo a un vendedor que tiene razón, justo antes de que el precio caiga, y vende a un comprador que tiene razón, justo antes de que suba. Promediado en muchas operaciones, el LP está en el lado equivocado del siguiente tick, lo que es precisamente la LVR realizada una operación a la vez.

Medido por bloque, esto se convierte en una métrica limpia de selección adversa: tome el cambio neto de inventario del LP en un bloque y márquelo contra el precio uno o unos pocos bloques después. Agregado a lo largo de la vida de una posición, la suma de los markouts por bloque es la LVR empírica. La razón por la que importa es que el número de markout suele ser feo. Los estudios empíricos de gran tamaño de muestra —comenzando con el análisis de Loesch, Hindman, Richardson y Welch de 2021 de las posiciones de Uniswap v3 (el estudio Topaze Blue / Bancor) y reforzados por los paneles de cuantificación de LVR que siguieron— encontraron que una gran fracción de los LP de v3, en muchos pools importantes alrededor de la mitad o más, obtuvieron un rendimiento inferior a simplemente mantener los tokens una vez que la IL y la selección adversa se compensaron con las tarifas. Cartea, Drissi y Monga formalizan la misma cantidad para la liquidez concentrada como "pérdida predecible", llegando a la misma deriva escalada por volatilidad por una ruta diferente.

La conclusión práctica para un LP que monitorea un libro en vivo: el APR de tarifas es un número bruto; las tarifas + markout es el neto. Una posición puede mostrar un rendimiento de tarifas saludable y un markout profundamente negativo, y la suma es lo que realmente ganó. Los arbitrajistas que realizan ese markout en su contra son los mismos buscadores perfilados en el artículo de MEV y mempool —un backrun contra una cotización AMM obsoleta después de cada movimiento de oráculo es una extracción de LVR, bloque por bloque, y es el extremo benigno y corrector de precios del espectro MEV, incluso si es el extremo tóxico de su PnL.

Cuando el LPing realmente supera al holding

Colapse todo a la decisión que sirve. Cubra el riesgo de mercado y una posición de LP es +EV frente a su punto de referencia exactamente cuando la tasa de ingresos por tarifas supera la tasa de LVR:

donde $f$ es el nivel de tarifas del pool y $\tau$ es la rotación —volumen de negociación dividido por TVL, por unidad de tiempo. Reorganizada, la condición es una comparación de dos volatilidades. La corriente de tarifas implica una volatilidad de equilibrio

y el LP gana siempre que la volatilidad realizada sea inferior a ella. Esta es la versión del AMM de implícita versus realizada: el pool cotiza una volatilidad implícita a través de su rendimiento de tarifas, y proporcionar liquidez es vender varianza a ese nivel. Algunos puntos de referencia trabajados (rotación claramente hipotética, elegida para ser representativa de pools activos):

• Pool de 0.05%, rotación 1.0/día (volumen ≈ TVL diario): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ diario. Por debajo de ~6.3% de volatilidad diaria realizada, el LP está por delante.
• Pool de 0.30%, rotación 0.2/día: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ diario.
• Par de stablecoin / correlacionado, $\sigma \approx 0.2\%$ diario: LVR es $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ por día —esencialmente nada, porque LVR escala con el cuadrado de la volatilidad. Casi cualquier rendimiento de tarifas lo supera.

Esa dependencia al cuadrado es toda la estrategia en un solo hecho. Reducir a la mitad la volatilidad del par reduce a la cuarta parte el sangrado, mientras que el rendimiento de las tarifas no se ve afectado. Es por eso que la ventaja duradera del LP reside en pares de baja σ —pares de stablecoins, pares de tokens de staking líquido/ETH y otros pares estrechamente correlacionados— y por qué el LPing de pares volátiles es una apuesta a que las tarifas son extraordinarias o que se puede cubrir y reequilibrar más rápido de lo que el pool sangra.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

El único dato en el que se basa toda la decisión es $\sigma$ —no la volatilidad realizada del mes pasado, sino una previsión de la volatilidad realizada durante el período de tenencia, lo que es exactamente un problema de previsión de volatilidad. Una previsión de volatilidad GARCH a un día conectada a $\sigma^\ast$ convierte "¿este pool paga lo suficiente?" en una señal en vivo y actualizable: haga LP cuando la previsión esté por debajo del punto de equilibrio, y manténgase al margen cuando un cambio de régimen de volatilidad la empuje por encima.

La concentración no cambia la relación mientras se está en el rango —multiplica el rendimiento de las tarifas y la LVR por el mismo $\Lambda$, por lo que la desigualdad de tarifas versus volatilidad es invariante a escala dentro del rango. Lo que cambia es todo lo que rodea los bordes: un rango estrecho pasa menos tiempo en el rango (sin tarifas, IL congelada cuando está fuera), y exige un reequilibrio activo cuyos costos de gas y markout de reentrada son costos reales. Por lo tanto, la regla honesta para rangos estrechos es limitada: justifíquelos solo cuando su pronóstico de volatilidad realizada sea bajo en relación con el ancho del rango, o cuando esté gestionando y cubriendo activamente la posición en lugar de configurarla y olvidarla. La mecánica de esa gestión activa —disparadores de reequilibrio, cobertura delta del inventario cambiante del pool y conversión del rendimiento de tarifas − LVR en una estrategia cubierta— son el tema del artículo complementario sobre estrategias de LP y cobertura de Uniswap v3.

Qué llevarse

• La pérdida impermanente tiene una forma cerrada, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, simétrica en el log-precio (un movimiento de 2× y uno de −50% cuestan ambos el 5.72%) y cuadrática en el log-retorno cerca de la entrada —la huella de un pago de gamma corto.
• La liquidez concentrada es una IL apalancada. La pérdida de divergencia absoluta no cambia para un $L$ dado, pero el capital igual despliega $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ veces más $L$, por lo que tanto la IL como las tarifas escalan por $\Lambda$ —y la posición se congela en el activo perdedor una vez que el precio sale del rango.
• LVR es la pérdida que sobrevive a la cobertura. Comparado con una cartera de reequilibrio, un pool de producto constante pierde $\sigma^2/8$ de valor por unidad de tiempo independientemente de las tarifas; el PnL cubierto del LP es tarifas − LVR − gas, un carry de varianza corta.
• Markout es LVR medido en operaciones reales. El markout por bloque cuantifica directamente la selección adversa, y el registro empírico muestra que una gran parte de los LP de v3 son netos negativos frente a mantener una vez que se cuenta. El APR de tarifas es bruto; las tarifas + markout es neto.
• La decisión es una desigualdad. Un LP supera su punto de referencia cuando el rendimiento de las tarifas excede $\sigma^2/8$, es decir, cuando la volatilidad realizada cae por debajo del punto de equilibrio implícito en las tarifas $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$. Debido a que LVR escala con $\sigma^2$, la ventaja reside en pares de baja volatilidad y correlacionados, y el dato que lo decide es una previsión de volatilidad.

Referencias

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.