Impermanent Loss және LVR: LP кірістілігінің нақты математикасы

Өтімділікті қамтамасыз ету кірістілік өнімі сияқты көрінеді және қысқа опциондар кітабы сияқты әрекет етеді. Пул тақтасындағы APR тақырыбы жалпы сан болып табылады: ол кіріс ағынын есептейді және шығып жатқан екі шығынды үнсіз елемейді — сіздің позицияңыз бен сіз салған нәрсе арасындағы айырмашылық (тұрақсыз шығын) және әрбір баға қозғалысында ескі баға белгілеріңізді алып тастайтын арбитражшыларға тұрақты, жасырын шығын (теңгерімдеуге қарсы шығын). Есепті дұрыс жүргізсеңіз, бүкіл бизнес бір теңсіздікке дейін қысқарады: комиссия ағыны позицияны ұстап тұрудың құбылмалылыққа негізделген шығынын өтей ме? Қателессеңіз, сіз дисперсияны бағалауды ұмытып кеткен дисперсияның жүйелі сатушысысыз.

Бұл мақала Uniswap v3 for quants мақаласының жалғасы болып табылады, ол теңгерімдеуге қарсы шығынды атап, осы жерге сілтеме жасаумен аяқталды. Біз кірістілік есебін бастапқы қағидаттардан құрамыз: тұрақты өнім пулындағы тұрақсыз шығынның жабық формасы, неліктен шоғырланған өтімділік күшейтілген IL болып табылады, σ²/8 LVR нәтижесі және ол мүмкіндік беретін нақты PnL декомпозициясы, блоктағы маркауттың кері таңдауды эмпирикалық түрде қалай өлшейтіні және теңгерімділік шарты — комиссия мен құбылмалылықты салыстыру — LP позициясы токендерді жай ғана ұстап тұруға қарағанда қашан +EV екенін көрсетеді.

Тұрақты өнім инварианты және тұрақсыз шығынның пайда болуы

Uniswap v2 пулында тәуекелді токеннің $x$ резервтері және нумерарийдің $y$ резервтері бар және әрбір саудада $x \cdot y = k$ орындайды. Тәуекелді активтің шекті бағасы $P = y/x$. $k$ сақталғандықтан, кез келген $P$ бағасындағы резервтер бекітілген:

$p_0$ бағасынан $(x_0, y_0)$ резервтерімен бастаңыз және бағаның $p$ дейін өзгеруіне мүмкіндік беріңіз. LP позициясының құны, жаңа бағамен белгіленген,

Егер сіз токендерді біріктірудің орнына жай ғана ұстап тұрсаңыз, сіздің құныңыз

Баға қатынасын $r = p/p_0$ деп анықтаңыз. Бөліңіз, сонда $\sqrt{k}$ және $\sqrt{p_0}$ таза жойылады, тұрақсыз шығынды тек баға қатынасының функциясы ретінде қалдырады:

Бұл бүкіл объект. Ол әрбір $r \neq 1$ үшін теріс және баға сіз кірген жерге қайта оралғанда ғана нөлге тең — "тұрақсыз", өйткені баға қайта оралса, ол жоғалады. Екі қасиетті ішкілендіру керек.

Ол логарифмдік бағада симметриялы. $r \to 1/r$ алмастырыңыз: өрнек өзгеріссіз қалады, өйткені $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Екі есе өсу және екі есе азаю бірдей зиян келтіреді. Нақтырақ айтқанда, 2× қозғалыс ($r=2$) және −50% қозғалыс ($r = 0.5$) екеуі де береді

Симметрия баға қатынасын логарифмдерде жазғанда ең таза болады. $u = \ln r$ көмегімен қысқа манипуляция IL-ді гиперболалық секансқа айналдырады:

бұл логарифмдік қайтарымдағы квадраттық пішінді нақты көрсетеді: кіру бағасына жақын жерде, IL логарифмдік баға қозғалысының квадратымен өседі — қысқа гамма төлемінің белгісі және ол шағын тербелістер үшін елеусіз болып қалуының және трендтерде қатты әсер етуінің себебі.

Сандар кішкентай болып көрінеді, бірақ олар нені өлшейтінін еске түсіргенше: IL ұстап тұруға қарсы айырмашылық болып табылады және ол тек сол эталонға қатысты жүзеге асырылады. 4× өскен токен LP-ді доллармен көп ұтып алады — егер олар ұстап тұрса, 20% аз. IL - бұл сіз сезетін шығын емес; бұл сізге төленуі керек мүмкіндік шығыны. Комиссия ағыны - бұл төлем. Оның жеткілікті екендігі осы мақаланың қалған бөлігі.

Шоғырланған өтімділік - бұл күшейтілген тұрақсыз шығын

Uniswap v3 LP-ге капиталды $[p_a, p_b]$ баға диапазонына шектеуге мүмкіндік береді. Диапазон ішінде позиция v2 пулы сияқты әрекет етеді — бірдей байланыстыру қисығы — бірақ тек сол диапазонды жабу үшін қажетті резервтерді пайдаланады (Uniswap v3 механикасы мақаласында алынған виртуалды резервтік құрылым). IL үшін салдары өткір, және ол бір алгебралық жолдан шығады.

$s = \sqrt p$ деп жазыңыз. $L$ өтімділігі бар $[p_a, p_b]$ v3 позициясы, $p_0$ бағасымен енгізілген және $p$ диапазонында әлі де бар, $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ және $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$ ұстайды. Оның құнын бастапқы токендерінің HODL құнынан алып тастаңыз, сонда $p_a$ және $p_b$ қатысты барлық нәрсе жойылады:

Бұл бірдей $L$ бар v2 пулы сияқты бірдей абсолютті дивергенция шығыны — диапазон шектері көрінбейді. Сонымен, қосымша ауырсыну қайдан келеді? Капиталдан. $[p_a, p_b]$ шоғырлануы бірдей долларларға әлдеқайда үлкен $L$ қолдауға мүмкіндік береді. Кіру бағасына геометриялық түрде орталықтандырылған диапазон үшін күшейту коэффициенті дәл

v3 "капитал тиімділігі" мультипликаторы. Толық диапазонды позицияда $\Lambda = 1$ бар; $0.5p_0$-тен $2p_0$ дейінгі диапазон $\Lambda \approx 3.4$ береді; $[2700, 3300]$ айналасындағы $p_0 = 3000$ жолағы (±10%) $\Lambda \approx 20.4$ береді. Абсолютті шығын $L$-пен масштабталғандықтан және тең капитал $\Lambda$ есе көп $L$ сатып алатындықтан, бөлшек IL бірдей масштабталады:

±10% позициясын алыңыз, кіру бағасы 3000 доллар, және бағаны жоғарылатыңыз. Жоғарыдағы кестедегі v2 сандары ~20-ға көбейтіледі:

Толық диапазонды LP-ге он бір базистік пунктке түсетін 10% қозғалыс шоғырланған LP-ге ұстап тұруға қарағанда 2.3% шығын әкеледі. Және ол шекарада нашарлайды, өйткені диапазонның жоғарыдағы формула жасыратын екінші шеті бар: баға $p_b$-тен өткеннен кейін, позиция 100% нумерарий болады, комиссия алуды тоқтатады және оның дивергенциясы шекаралық композицияда қатып қалады. Шоғырланған LP тәуекелді активті жоғарылаған кезде толығымен сатты және енді оның ешқайсысы жоқ кезде кез келген одан әрі раллиді бақылайды — қысқа стрэддл құйрығы, бекітілген, премиум ағыны өшірілген. Шоғырлану комиссия кірісі мен шығынның екеуіне де левередж болып табылады, сонымен қатар жолға тәуелділік — диапазон ішінде өткізілген уақыт — бұл қарапайым $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ масштабтауы қамтымайды.

LVR: нарыққа кінәлай алмайтын шығын

Тұрақсыз шығын LP-ді пассивті HODLer-ге қарсы өлшейді, және бұл эталон нарықтық тәуекелді үнсіз енгізеді: "IL vs HODL" сізге жүктейтін нәрсенің көп бөлігі токендерді иелену арқылы сіз қалай да көтеретін бағыттық әсер болып табылады. Анықтаудың өткір декомпозициясы — AMM болуға тән шығынды оқшаулайтын — теңгерімдеуге қарсы шығын (LVR), Milionis, Moallemi, Roughgarden және Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046) еңбегінен.

Идея LP-ді ұстап тұруға емес, әрбір сәтте пулмен бірдей токен мөлшерін ұстайтын теңгерімдеуші портфельге қарсы эталонға алу болып табылады — бірдей дельта, бірдей нарықтық әсер — бірақ пулдың өзінің байланыстыру қисығына қарсы емес, үйкеліссіз сыртқы нарықтық бағамен сауда жасайды. Екі портфель де бірдей баға тәуекелін көтереді, сондықтан бірін екіншісінен алып тастау нарықтық шуды толығымен жояды және тек AMM болудың құрылымдық шығынын қалдырады: арбитражшылар, LP емес, әрбір баға қозғалысын ұстап алатындықтан пул жоғалтатын ақша. Бұл қалдық LVR болып табылады.

Сыртқы бағаны $\sigma$ құбылмалылығы бар геометриялық Браун қозғалысы ретінде модельдеңіз. Мақаланың орталық нәтижесі — авторлар оны "AMM үшін Блэк-Шоулз формуласы" деп атайды — LVR детерминистік, теріс емес дрейф ретінде жинақталады:

мұнда $x(P)$ - пулдың тәуекелді активті ұстауы бағаның функциясы ретінде және $x'(P) < 0$ (AMM бағасы көтерілген сайын тәуекелді активті сатады). Тұрақты өнім пулы үшін $x(P) = L/\sqrt P$, сондықтан $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, және пулдың құны $V = 2L\sqrt P$ болғандықтан, пул құнының бөлшегі ретіндегі мөлшерлеме тұрақтыға дейін қысқарады:

Бұл әйгілі σ²/8. Ол комиссияға тәуелсіз және инвентаризацияға тәуелсіз: тұрақты өнім пулы арбитражға бірлік уақытқа $\sigma^2/8$ құнын жоғалтады, нүкте. Күнделікті 5% құбылмалылықта бұл $0.05^2/8 \approx 3.1$ базистік пункт күн сайын — жылдық пул құнының шамамен 11% — бір доллар комиссия есептелмей тұрып. Шоғырланған позиция үшін бірдей логика диапазон ішінде $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ береді: IL-ді күшейткен левередж LVR-ді бірдей фактормен күшейтеді.

Неліктен LVR есептің дұрыс бірлігі, ал IL емес, бір қасиетке байланысты: LP-минус-теңгерімдеу айырмашылығының құбылмалылығы нөлге тең. Бұл таза болжамды дрейф, $-\!\int \ell\,dt$. Бұл баға тәуекелі толығымен хеджирленетінін білдіреді — теңгерімдеуші портфельді динамикалық дельта хеджімен қайталаңыз, сонда қалғаны детерминистік болады. Сондықтан LP-дің нақты экономикасы

Бірінші терминді хеджирлеңіз, сонда LP комиссиялар − LVR − газ ұстап қалады — тасымалдау комиссия ағыны болып табылатын және шығыны тұрақты, болжамды, құбылмалылыққа негізделген шығын болып табылатын қысқа дисперсиялық позиция. Бұл қысқа опциондар кітабының гамма-тета айырбасы: LVR - гамма шығыны $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, комиссиялар - сіз жинайтын тета, және Блэк-Шоулз опциондарын бағалауға ұқсастық құрылымдық, декоративті емес. Бұл сонымен қатар Avellaneda–Stoikov тапсырыс кітабының нарық жасаушылары үшін формализациялайтын кері таңдау мен спред арасындағы бірдей шиеленіс, пулдың комиссия деңгейі бағаланған спред рөлін атқарады.

Бір нақтылау шеңберді адал ұстайды. Таза σ²/8 үздіксіз, шығынсыз арбитражды болжайды. Шындығында, комиссия деңгейінің өзі арбитражсыз диапазонды жасайды — арбитражшылар баға қозғалысы комиссиядан асқанда ғана сауда жасайды — сондықтан жүзеге асырылған LVR үйкеліссіз көрсеткіштен кіші болады, және комиссиялар екі есе қызмет етеді: олар сізге төлейді және олар сізді қорғайтын диапазонды кеңейтеді. Комиссияны ескеретін, дискретті уақыт нұсқасы Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023) жалғасы мақаласында жасалған; үздіксіз σ²/8-ді шығынның жоғарғы шегі ретінде қарастырыңыз.

Маркаут: блоктағы кері таңдауды өлшеу

LVR - диффузия туралы теорема. Оның нақты толтыруларға түсіретін эмпирикалық көлеңкесі - маркаут, және ол құбылмалылықтың ешқандай моделінсіз тірі позициядағы кері таңдауды қалай өлшейтініңіз.

Маркаут толтыруды кейінірек $\Delta$ горизонтындағы "әділ" бағаға қарсы бағалайды. Пассивті өтімділік провайдері үшін сіздің диапазоныңызға қарсы сауда жасайтын әрбір своп - бұл сіз таңдамаған толтыру — оны қабылдаушы таңдады, және олар оны өздері үшін жақсы болғандықтан таңдады. LP-дің толтырудағы маркаутын келесі баға қозғалысымен қол қойылған инвентаризация өзгерісі ретінде анықтаңыз:

мұнда $\Delta q$ - LP саудада алған тәуекелді активтің мөлшері (LP сатқан кезде теріс). Ақпараттандырылған және улы ағын мұны жүйелі түрде теріс етеді: пул баға құлағанға дейін дұрыс сатушыдан тәуекелді активті сатып алады және баға көтерілгенге дейін дұрыс сатып алушыға сатады. Көптеген толтырулар бойынша орташа алғанда, LP келесі тілшенің қате жағында болады — бұл дәл LVR бір своптан кейін жүзеге асырылады.

Блок бойынша өлшенгенде, бұл таза кері таңдау метрикасына айналады: LP-дің блок бойынша таза инвентаризация өзгерісін алыңыз және оны бір немесе бірнеше блоктан кейінгі бағаға қарсы белгілеңіз. Позицияның өмір сүру кезеңінде жинақталған, блоктағы маркауттардың қосындысы эмпирикалық LVR болып табылады. Оның маңыздылығы маркаут саны әдетте жағымсыз болады. Үлкен үлгідегі эмпирикалық зерттеулер — Loesch, Hindman, Richardson және Welch-тің Uniswap v3 позицияларын 2021 жылғы талдауынан бастап (Topaze Blue / Bancor зерттеуі) және кейіннен LVR-санының бақылау тақталарымен нығайтылған — v3 LP-лердің үлкен бөлігі, көптеген ірі пулдарда жартысы немесе одан да көп, IL және кері таңдау комиссияларға қарсы есептелгеннен кейін токендерді жай ғана ұстап тұрудан төмен нәтиже көрсетті. Cartea, Drissi және Monga шоғырланған өтімділік үшін бірдей мөлшерді "болжамды шығын" ретінде формализациялайды, сол құбылмалылықпен масштабталған дрейфке басқа жолмен жетеді.

Тірі кітапты бақылайтын LP үшін практикалық қорытынды: комиссия APR - бұл жалпы сан; комиссиялар + маркаут - бұл таза. Позиция сау комиссия кірістілігін және терең теріс маркаутты көрсете алады, және қосындысы - сіз нақты тапқан нәрсе. Сізге қарсы сол маркаутты жүзеге асыратын арбитражшылар MEV және mempool мақаласында сипатталған іздеушілермен бірдей — әрбір оракул қозғалысынан кейін ескі AMM бағасына қарсы бэкраун - бұл LVR экстракциясы, блок бойынша, және бұл MEV спектрінің қатерсіз, бағаны түзетуші соңы, тіпті ол сіздің PnL-іңіздің улы соңы болса да.

LPing шынымен ұстап тұруды жеңген кезде

Барлығын ол қызмет ететін шешімге дейін қысқартыңыз. Нарықтық тәуекелді хеджирлеңіз, сонда LP позициясы комиссия кірісінің мөлшерлемесі LVR мөлшерлемесін өтегенде ғана эталонына қарсы +EV болады:

мұнда $f$ - пулдың комиссия деңгейі және $\tau$ - айналым — сауда көлемі TVL-ге бөлінген, бірлік уақытқа. Қайта реттелгенде, шарт екі құбылмалылықты салыстыру болып табылады. Комиссия ағыны теңгерімділік құбылмалылығын білдіреді

және LP жүзеге асырылған құбылмалылық одан төмен болғанда жеңеді. Бұл AMM-нің болжанған-жүзеге асырылған нұсқасы: пул өзінің комиссия кірістілігі арқылы болжанған волатильділікті бағалайды, және өтімділікті қамтамасыз ету сол деңгейде дисперсияны сату болып табылады. Кейбір жұмыс істеген анықтамалық нүктелер (айналым белсенді пулдарға тән деп таңдалған, гипотетикалық):

• 0.05% пул, айналым 1.0/күн (күнделікті көлем ≈ TVL): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ күнделікті. ~6.3% жүзеге асырылған күнделікті волатильділіктен төмен болса, LP алда болады.
• 0.30% пул, айналым 0.2/күн: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ күнделікті.
• Стейблкоин / корреляцияланған жұп, $\sigma \approx 0.2\%$ күнделікті: LVR күнделікті $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ — іс жүзінде ештеңе емес, өйткені LVR құбылмалылықтың квадратымен масштабталады. Кез келген комиссия кірістілігі оны өтейді.

Бұл квадраттық тәуелділік - бүкіл стратегия бір фактіде. Жұптың құбылмалылығын екі есе азайту шығынды төрт есе азайтады, ал комиссия кірістілігі өзгеріссіз қалады. Сондықтан тұрақты LP артықшылығы төмен-σ жұптарында — стейблкоин жұптарында, сұйық-стейкинг-токен/ETH жұптарында және басқа да тығыз корреляцияланған аяқтарда — және неліктен құбылмалы-жұпты LPing комиссиялар ерекше немесе сіз пул шығындалғаннан жылдамырақ хеджирлеп, теңгерімдей аласыз деген бәс болып табылады.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Бүкіл шешім негізделген бір кіріс $\sigma$ — өткен айдағы жүзеге асырылған волатильділік емес, ұстау кезеңіндегі жүзеге асырылған волатильділіктің болжамы, бұл дәл волатильділікті болжау мәселесі. $\sigma^\ast$-ке қосылған GARCH бір күндік волатильділік болжамы "бұл пул жеткілікті төлей ме" деген сұрақты тірі, жаңартылатын сигналға айналдырады: болжам теңгерімділіктен төмен болғанда LP жасаңыз, волатильділік режимінің өзгеруі оны жоғарылатқанда шетте тұрыңыз.

Шоғырлану диапазон ішінде болған кезде қатынасты өзгертпейді — ол комиссия кірістілігін және LVR-ді бірдей $\Lambda$-ке көбейтеді, сондықтан комиссия-құбылмалылық теңсіздігі диапазон ішінде масштабқа тәуелсіз. Ол өзгертетін нәрсе - шеттердегі барлық нәрсе: тар диапазон диапазон ішінде аз уақыт өткізеді (комиссиялар жоқ, шыққан кезде IL қатып қалады), және газ бен қайта кіру маркауты нақты шығындар болып табылатын белсенді теңгерімдеуді талап етеді. Сондықтан тар диапазон үшін адал ереже тар: оларды тек жүзеге асырылған волатильділік болжамыңыз диапазон еніне қатысты төмен болғанда немесе сіз позицияны орнатып, ұмытып кетудің орнына белсенді басқарып, хеджирлегенде ғана негіздеңіз. Бұл белсенді басқарудың механикасы — теңгерімдеу триггерлері, пулдың өзгеретін инвентаризациясын дельта-хеджирлеу және комиссиялар − LVR тасымалдауын хеджирленген стратегияға айналдыру — Uniswap v3 LP стратегиялары мен хеджирлеу туралы қосымша мақаланың тақырыбы.

Нені есте сақтау керек

• Тұрақсыз шығынның жабық формасы бар, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, логарифмдік бағада симметриялы (2× және −50% қозғалыс екеуі де 5.72% шығын әкеледі) және кіруге жақын логарифмдік қайтарымда квадраттық — қысқа гамма төлемінің саусақ ізі.
• Шоғырланған өтімділік - бұл күшейтілген IL. Берілген $L$ үшін абсолютті дивергенция шығыны өзгеріссіз қалады, бірақ тең капитал $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ есе көп $L$ орналастырады, сондықтан IL де, комиссиялар да $\Lambda$-ке масштабталады — және баға диапазоннан шыққаннан кейін позиция шығын активіне қатып қалады.
• LVR - бұл хеджирлеуден кейін қалатын шығын. Теңгерімдеуші портфельге қарсы эталонға алынғанда, тұрақты өнім пулы комиссияларға қарамастан бірлік уақытқа $\sigma^2/8$ құнын жоғалтады; LP-дің хеджирленген PnL - комиссиялар − LVR − газ, қысқа дисперсиялық тасымалдау.
• Маркаут - бұл нақты толтыруларда өлшенген LVR. Блок бойынша маркаут кері таңдауды тікелей сандық түрде анықтайды, және эмпирикалық деректер v3 LP-лердің үлкен бөлігі оны есептегеннен кейін ұстап тұруға қарағанда таза теріс екенін көрсетеді. Комиссия APR - жалпы; комиссиялар + маркаут - таза.
• Шешім - бір теңсіздік. LP өз эталонын комиссия кірісі $\sigma^2/8$-тен асқанда, яғни жүзеге асырылған волатильділік комиссиямен болжанған теңгерімділік $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$-тен төмен болғанда жеңеді. LVR $\sigma^2$-пен масштабталғандықтан, артықшылық төмен волатильді, корреляцияланған жұптарда — және оны анықтайтын кіріс - волатильділік болжамы.

Әдебиеттер тізімі

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.