Impermanent Loss dan LVR: matematik sebenar keuntungan LP

Menyediakan kecairan kelihatan seperti produk hasil dan berkelakuan seperti buku pilihan pendek. Tajuk APR pada papan pemuka kumpulan adalah nombor kasar: ia mengira yuran yang masuk dan secara senyap mengabaikan dua kos yang keluar — perbezaan antara kedudukan anda menjadi dan apa yang anda depositkan (kerugian tidak kekal), dan pendarahan yang lebih stabil dan licik kepada arbitraj yang memilih sebut harga lapuk anda pada setiap pergerakan harga (kerugian berbanding pengimbangan semula). Dapatkan perakaunan yang betul dan keseluruhan perniagaan berkurangan kepada satu ketidaksamaan: adakah aliran yuran membersihkan kos kedudukan yang didorong oleh volatiliti? Jika salah, anda adalah penjual varians sistematik yang terlupa untuk menentukan harga varians.

Artikel ini adalah susulan yang dijanjikan kepada Uniswap v3 untuk kuantitatif, yang berakhir dengan menamakan kerugian berbanding pengimbangan semula dan menunjuk ke sini. Kami membina kalkulus keuntungan dari prinsip pertama: bentuk tertutup untuk kerugian tidak kekal pada kumpulan produk malar, mengapa kecairan pekat adalah IL berleveraj, hasil LVR σ²/8 dan penguraian PnL tepat yang membolehkannya, bagaimana markout per blok mengukur pemilihan buruk secara empirik, dan keadaan pulang modal — perbandingan yuran berbanding volatiliti — yang memberitahu anda bila kedudukan LP sebenarnya +EV berbanding hanya memegang token.

Invarian produk malar dan kelahiran kerugian tidak kekal

Kumpulan Uniswap v2 memegang rizab $x$ token berisiko dan $y$ numéraire dan menguatkuasakan $x \cdot y = k$ pada setiap perdagangan. Harga marginal aset berisiko ialah $P = y/x$. Kerana $k$ dipelihara, rizab pada sebarang harga $P$ adalah tetap:

Mulakan pada harga $p_0$ dengan rizab $(x_0, y_0)$ dan biarkan harga bergerak ke $p$. Kedudukan LP bernilai, ditandakan pada harga baru,

Jika anda hanya memegang token yang didepositkan dan bukannya mengumpulkannya, anda akan bernilai

Takrifkan nisbah harga $r = p/p_0$. Bahagikan, dan $\sqrt{k}$ dan $\sqrt{p_0}$ dibatalkan dengan bersih, meninggalkan kerugian tidak kekal sebagai fungsi nisbah harga sahaja:

Itu adalah keseluruhan objek. Ia negatif untuk setiap $r \neq 1$ dan sifar hanya apabila harga kembali ke tempat anda masuk — "tidak kekal" tepat kerana ia hilang jika harga kembali. Dua sifat patut dihayati.

Ia adalah simetri dalam harga log. Gantikan $r \to 1/r$: ungkapan tidak berubah, kerana $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Penggandaan dan pembahagian dua menyakitkan secara identik. Secara konkrit, pergerakan 2× ($r=2$) dan pergerakan −50% ($r = 0.5$) kedua-duanya memberikan

Simetri adalah paling bersih apabila anda menulis nisbah harga dalam log. Dengan $u = \ln r$, manipulasi pendek meruntuhkan IL menjadi sekan hiperbolik:

yang menjadikan bentuk kuadratik-dalam-pulangan-log eksplisit: berhampiran harga masuk, IL tumbuh dengan kuasa dua pergerakan harga log — tanda pembayaran gamma pendek, dan sebab ia kekal tidak penting untuk pergerakan kecil dan menggigit keras pada trend.

Angka-angka kelihatan kecil sehingga anda ingat apa yang mereka ukur: IL adalah jurang berbanding pegangan, dan ia direalisasikan hanya relatif kepada penanda aras itu. Token yang 4× meninggalkan LP naik banyak dalam nilai dolar — hanya 20% kurang daripada jika mereka memegangnya. IL bukanlah kerugian yang anda rasakan; ia adalah kos peluang yang perlu anda tanggung. Aliran yuran adalah pembayaran itu. Sama ada ia mencukupi adalah selebihnya artikel ini.

Kecairan pekat adalah kerugian tidak kekal berleveraj

Uniswap v3 membolehkan LP mengehadkan modal kepada julat harga $[p_a, p_b]$. Di dalam julat, kedudukan berkelakuan sama seperti kumpulan v2 — lengkung ikatan yang sama — tetapi hanya menggunakan rizab yang diperlukan untuk menampung jalur itu (pembinaan rizab maya yang diperoleh dalam artikel mekanik v3). Akibatnya untuk IL adalah tajam, dan ia keluar dari satu baris algebra.

Tulis $s = \sqrt p$. Kedudukan v3 dengan kecairan $L$ pada $[p_a, p_b]$, dimasukkan pada harga $p_0$ dan masih dalam julat pada $p$, memegang $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ dan $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Kira nilainya tolak nilai HODL token awalnya sendiri, dan segala yang melibatkan $p_a$ dan $p_b$ dibatalkan:

Ini adalah kerugian perbezaan mutlak yang sama seperti kumpulan v2 dengan $L$ yang sama — sempadan julat tidak muncul. Jadi dari mana datangnya kesakitan tambahan? Dari modal. Penumpuan ke dalam $[p_a, p_b]$ membolehkan dolar yang sama menyokong $L$ yang jauh lebih besar. Untuk julat yang berpusat secara geometri pada harga masuk, faktor penguatan adalah tepat

pengganda "kecekapan modal" v3. Kedudukan julat penuh mempunyai $\Lambda = 1$; julat dari $0.5p_0$ hingga $2p_0$ memberikan $\Lambda \approx 3.4$; jalur $[2700, 3300]$ sekitar $p_0 = 3000$ (±10%) memberikan $\Lambda \approx 20.4$. Kerana kerugian mutlak berskala dengan $L$ dan modal yang sama membeli $\Lambda$ kali lebih banyak $L$, IL pecahan berskala dengan cara yang sama:

Ambil kedudukan ±10% itu, masuk $3,000, dan naikkan harga. Angka v2 dari jadual di atas didarab dengan ~20:

Pergerakan 10% yang menelan belanja LP julat penuh sebelas mata asas menelan belanja LP pekat 2.3% berbanding pegangan. Dan ia menjadi lebih teruk di sempadan, kerana julat mempunyai tepi kedua yang disembunyikan oleh formula di atas: apabila harga melintasi $p_b$, kedudukan adalah 100% numéraire, berhenti menjana yuran, dan perbezaannya membeku pada komposisi sempadan. LP pekat telah menjual sepenuhnya aset berisiko dalam perjalanan naik dan kini memerhatikan sebarang kenaikan selanjutnya tanpa sebarang — ekor straddle pendek, terkunci, dengan aliran premium dimatikan. Penumpuan adalah leverage pada kedua-dua pendapatan yuran dan kerugian, ditambah kebergantungan laluan — masa yang dihabiskan dalam julat — yang tidak ditangkap oleh penskalaan $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ yang naif.

LVR: kerugian yang tidak boleh anda salahkan pada pasaran

Kerugian tidak kekal mengukur LP berbanding HODLer pasif, dan penanda aras itu secara senyap menyeludup masuk risiko pasaran: kebanyakan apa yang "IL vs HODL" mengenakan bayaran kepada anda hanyalah pendedahan arah yang anda akan tanggung pula dengan memiliki token. Penguraian yang lebih tajam — yang mengasingkan kos yang spesifik untuk menjadi AMM — adalah kerugian berbanding pengimbangan semula (LVR), dari Milionis, Moallemi, Roughgarden dan Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

Ideanya adalah untuk menanda aras LP bukan terhadap pegangan, tetapi terhadap portfolio pengimbangan semula yang memegang, pada setiap saat, kuantiti token yang sama persis dengan kumpulan — delta yang sama, pendedahan pasaran yang sama — tetapi berdagang pada harga pasaran luaran tanpa geseran dan bukannya terhadap lengkung ikatan kumpulan itu sendiri. Kedua-dua portfolio membawa risiko harga yang sama, jadi menolak satu daripada yang lain membatalkan bunyi pasaran sepenuhnya dan hanya meninggalkan kos struktur menjadi AMM: wang yang hilang oleh kumpulan kerana arbitraj, bukan LP, menangkap setiap pergerakan harga. Sisa itu adalah LVR.

Modelkan harga luaran sebagai gerakan Brownian geometri dengan volatiliti $\sigma$. Hasil utama kertas itu — yang penulis panggil "formula Black–Scholes untuk AMM" — ialah LVR terkumpul sebagai hanyutan deterministik, bukan negatif:

di mana $x(P)$ adalah pegangan aset berisiko kumpulan sebagai fungsi harga dan $x'(P) < 0$ (AMM menjual aset berisiko apabila harganya naik). Untuk kumpulan produk malar, $x(P) = L/\sqrt P$, jadi $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, dan kerana nilai kumpulan adalah $V = 2L\sqrt P$, kadar sebagai pecahan nilai kumpulan runtuh kepada pemalar:

Itu adalah σ²/8 yang terkenal. Ia tidak bergantung kepada yuran dan tidak bergantung kepada inventori: kumpulan produk malar kehilangan $\sigma^2/8$ nilainya setiap unit masa kepada arbitraj, titik noktah. Pada volatiliti harian 5%, itu adalah $0.05^2/8 \approx 3.1$ mata asas setiap hari — kira-kira 11% nilai kumpulan setahun — sebelum satu dolar yuran dikira. Untuk kedudukan pekat, logik yang sama memberikan $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ semasa dalam julat: leverage yang menguatkan IL menguatkan LVR dengan faktor yang sama.

Mengapa LVR adalah unit akaun yang betul, dan IL tidak, bergantung kepada satu sifat: perbezaan LP-tolak-pengimbangan semula mempunyai volatiliti sifar. Ia adalah hanyutan boleh ramal tulen, $-\!\int \ell\,dt$. Ini bermakna risiko harga boleh dilindung nilai sepenuhnya — meniru portfolio pengimbangan semula dengan lindung nilai delta dinamik dan apa yang tinggal adalah deterministik. Ekonomi sebenar LP adalah oleh itu

Lindung nilai istilah pertama dan LP dibiarkan memegang yuran − LVR − gas — kedudukan varians pendek yang bawaannya adalah aliran yuran dan kosnya adalah pendarahan yang berterusan, boleh diramal, didorong oleh volatiliti. Ini adalah tepat pertukaran gamma-theta buku pilihan pendek: LVR adalah kos gamma $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, yuran adalah theta yang anda kumpulkan, dan analogi kepada harga pilihan Black–Scholes adalah struktur, bukan hiasan. Ia juga merupakan ketegangan pemilihan buruk berbanding spread yang sama yang Avellaneda–Stoikov formalisasikan untuk pembuat pasaran buku pesanan, dengan tahap yuran kumpulan memainkan peranan spread yang disebut.

Satu penambahbaikan mengekalkan kerangka yang jujur. σ²/8 yang bersih mengandaikan arbitraj berterusan dan tanpa kos. Pada hakikatnya, tahap yuran itu sendiri mencipta jalur tanpa arbitraj — arbitraj hanya berdagang apabila pergerakan harga melebihi yuran — jadi LVR yang direalisasikan adalah lebih kecil daripada angka tanpa geseran, dan yuran melakukan tugas berganda: ia membayar anda dan ia meluaskan jalur yang melindungi anda. Versi diskret masa yang peka yuran diusahakan dalam susulan Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023); anggap σ²/8 berterusan sebagai had atas pendarahan.

Markout: mengukur pemilihan buruk blok demi blok

LVR adalah teorem tentang penyebaran. Bayangan empirikal yang dilemparkannya pada isian sebenar adalah markout, dan ia adalah bagaimana anda mengukur pemilihan buruk pada kedudukan langsung tanpa sebarang model volatiliti sama sekali.

Markout menilai isian terhadap harga "adil" rujukan beberapa horizon $\Delta$ kemudian. Untuk penyedia kecairan pasif, setiap pertukaran yang berdagang terhadap julat anda adalah isian yang tidak anda pilih — pengambil memilihnya, dan mereka memilihnya kerana ia baik untuk mereka. Takrifkan markout LP pada isian sebagai perubahan inventori bertanda kali pergerakan harga berikutnya:

di mana $\Delta q$ adalah kuantiti aset berisiko yang LP peroleh dalam perdagangan (negatif apabila LP menjual). Aliran bermaklumat dan toksik menjadikan ini secara sistematik negatif: kumpulan membeli aset berisiko daripada penjual yang betul, sejurus sebelum harga jatuh, dan menjual kepada pembeli yang betul, sejurus sebelum ia naik. Dirata-ratakan sepanjang banyak isian, LP berada di pihak yang salah pada tanda seterusnya — yang tepatnya LVR direalisasikan satu pertukaran pada satu masa.

Diukur per blok, ini menjadi metrik pemilihan buruk yang bersih: ambil perubahan inventori bersih LP sepanjang blok dan tandakannya terhadap harga satu atau beberapa blok kemudian. Dikumpulkan sepanjang hayat kedudukan, jumlah markout per blok adalah LVR empirikal. Sebab mengapa ia penting ialah nombor markout biasanya hodoh. Kajian empirikal sampel besar — bermula dengan analisis Loesch, Hindman, Richardson dan Welch pada tahun 2021 mengenai kedudukan Uniswap v3 (kajian Topaze Blue / Bancor) dan diperkukuh oleh papan pemuka kuantifikasi LVR yang menyusul — mendapati bahawa sebahagian besar LP v3, pada banyak kumpulan utama sekitar separuh atau lebih, berprestasi rendah berbanding hanya memegang token setelah IL dan pemilihan buruk ditolak daripada yuran. Cartea, Drissi dan Monga memformalkan kuantiti yang sama untuk kecairan pekat sebagai "kerugian boleh ramal," tiba pada hanyutan berskala volatiliti yang sama melalui laluan yang berbeza.

Pengajaran praktikal untuk LP yang memantau buku langsung: APR yuran adalah nombor kasar; yuran + markout adalah bersih. Kedudukan boleh menunjukkan hasil yuran yang sihat dan markout yang sangat negatif, dan jumlahnya adalah apa yang sebenarnya anda peroleh. Arbitraj yang merealisasikan markout itu terhadap anda adalah pencari yang sama yang diprofilkan dalam artikel MEV dan mempool — backrun terhadap sebut harga AMM yang lapuk selepas setiap pergerakan oracle adalah pengekstrakan LVR, blok demi blok, dan ia adalah hujung spektrum MEV yang jinak, membetulkan harga walaupun ia adalah hujung toksik PnL anda.

Apabila LPing sebenarnya mengalahkan pegangan

Runtuhkan segala-galanya kepada keputusan yang dilayaninya. Lindung nilai risiko pasaran dan kedudukan LP adalah +EV terhadap penanda arasnya tepat apabila kadar pendapatan yuran membersihkan kadar LVR:

di mana $f$ adalah tahap yuran kumpulan dan $\tau$ adalah pusing ganti — volum perdagangan dibahagikan dengan TVL, setiap unit masa. Disusun semula, syaratnya adalah perbandingan dua volatiliti. Aliran yuran membayangkan volatiliti pulang modal

dan LP menang apabila volatiliti yang direalisasikan datang di bawahnya. Ini adalah versi AMM bagi tersirat berbanding direalisasikan: kumpulan menyebut vol tersirat melalui hasil yurannya, dan menyediakan kecairan adalah menjual varians pada tahap itu. Beberapa titik rujukan yang berfungsi (pusing ganti jelas hipotetikal, dipilih untuk mewakili kumpulan aktif):

• Kumpulan 0.05%, pusing ganti 1.0/hari (volum ≈ TVL harian): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ harian. Di bawah ~6.3% vol harian yang direalisasikan, LP berada di hadapan.
• Kumpulan 0.30%, pusing ganti 0.2/hari: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ harian.
• Stablecoin / pasangan berkorelasi, $\sigma \approx 0.2\%$ harian: LVR adalah $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ setiap hari — pada dasarnya tiada apa-apa, kerana LVR berskala dengan kuasa dua volatiliti. Hampir semua hasil yuran membersihkannya.

Kebergantungan kuasa dua itu adalah keseluruhan strategi dalam satu fakta. Mengurangkan separuh volatiliti pasangan mengurangkan pendarahan sebanyak suku, manakala hasil yuran tidak terjejas. Itulah sebabnya kelebihan LP yang tahan lama terletak pada pasangan σ rendah — pasangan stablecoin, pasangan token/ETH yang distaking cecair, dan kaki berkorelasi rapat yang lain — dan mengapa LPing pasangan tidak menentu adalah pertaruhan bahawa yuran adalah luar biasa atau bahawa anda boleh melindung nilai dan mengimbangi semula lebih cepat daripada pendarahan kumpulan.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Satu input yang menjadi asas keseluruhan keputusan ialah $\sigma$ — bukan vol yang direalisasikan bulan lepas, tetapi ramalan vol yang direalisasikan sepanjang tempoh pegangan, yang tepatnya adalah masalah ramalan volatiliti. Ramalan volatiliti satu hari ke hadapan GARCH yang dimasukkan ke dalam $\sigma^\ast$ mengubah "adakah kumpulan ini membayar cukup" menjadi isyarat langsung yang boleh dikemas kini: LP apabila ramalan berada di bawah pulang modal, berdiri di tepi apabila perubahan rejim volatiliti menolaknya ke atas.

Penumpuan tidak mengubah nisbah semasa anda berada dalam julat — ia menggandakan hasil yuran dan LVR dengan $\Lambda$ yang sama, jadi ketidaksamaan yuran berbanding vol adalah tidak berubah skala dalam julat. Apa yang diubahnya adalah segala-galanya di sekeliling tepi: julat yang ketat menghabiskan lebih sedikit masa dalam julat (tiada yuran, IL beku apabila keluar), dan menuntut pengimbangan semula aktif yang gas dan markout kemasukan semula adalah kos sebenar. Jadi peraturan jujur untuk julat ketat adalah sempit: justifikasikan ia hanya apabila ramalan vol yang direalisasikan anda rendah berbanding lebar julat, atau apabila anda secara aktif mengurus dan melindung nilai kedudukan dan bukannya menetapkannya dan melupakannya. Mekanik pengurusan aktif itu — pencetus pengimbangan semula, lindung nilai delta inventori kumpulan yang berubah, dan mengubah yuran − LVR menjadi strategi lindung nilai — adalah subjek artikel pendamping mengenai strategi LP Uniswap v3 dan lindung nilai.

Apa yang perlu diambil kira

• Kerugian tidak kekal mempunyai bentuk tertutup, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, simetri dalam harga log (pergerakan 2× dan −50% kedua-duanya menelan belanja 5.72%) dan kuadratik dalam pulangan log berhampiran kemasukan — cap jari pembayaran gamma pendek.
• Kecairan pekat adalah IL berleveraj. Kerugian perbezaan mutlak tidak berubah untuk $L$ yang diberikan, tetapi modal yang sama menggunakan $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ kali lebih banyak $L$, jadi kedua-dua IL dan yuran berskala dengan $\Lambda$ — dan kedudukan membeku menjadi aset yang kalah apabila harga keluar dari julat.
• LVR adalah kerugian yang kekal selepas lindung nilai. Ditanda aras terhadap portfolio pengimbangan semula, kumpulan produk malar kehilangan $\sigma^2/8$ nilai setiap unit masa tanpa mengira yuran; PnL lindung nilai LP adalah yuran − LVR − gas, bawaan varians pendek.
• Markout adalah LVR yang diukur pada isian sebenar. Markout per blok mengukur pemilihan buruk secara langsung, dan rekod empirikal menunjukkan sebahagian besar LP v3 bersih-negatif berbanding pegangan setelah ia dikira. APR yuran adalah kasar; yuran + markout adalah bersih.
• Keputusan adalah satu ketidaksamaan. LP mengalahkan penanda arasnya apabila hasil yuran melebihi $\sigma^2/8$, iaitu apabila vol yang direalisasikan jatuh di bawah pulang modal tersirat yuran $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$. Kerana LVR berskala dengan $\sigma^2$, kelebihan terletak pada pasangan berkorelasi volatiliti rendah — dan input yang menentukannya adalah ramalan volatiliti.

Rujukan

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (kertas putih).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.