Perte impermanente et LVR : les vrais calculs de la rentabilité des LP

Fournir des liquidités ressemble à un produit de rendement et se comporte comme un carnet d'options courtes. Le titre APR sur un tableau de bord de pool est un chiffre brut : il compte les frais entrants et ignore discrètement les deux coûts sortants — la divergence entre ce que votre position devient et ce que vous avez déposé (perte impermanente), et le saignement plus régulier et insidieux vers les arbitreurs qui exploitent vos cotations obsolètes à chaque mouvement de prix (perte-contre-rééquilibrage). Si vous faites bien la comptabilité, l'ensemble de l'activité se réduit à une seule inégalité : le flux de frais couvre-t-il le coût de détention de la position, qui est lié à la volatilité ? Si vous vous trompez, vous êtes un vendeur systématique de variance qui a oublié de fixer le prix de la variance.

Cet article est la suite promise de Uniswap v3 pour les quants, qui se terminait en nommant la perte-contre-rééquilibrage et en renvoyant ici. Nous construisons le calcul de rentabilité à partir des principes fondamentaux : la forme fermée de la perte impermanente sur un pool à produit constant, pourquoi la liquidité concentrée est une IL à effet de levier, le résultat LVR σ²/8 et la décomposition exacte du PnL qu'il permet, comment le markout par bloc mesure empiriquement la sélection adverse, et la condition de seuil de rentabilité — une comparaison frais-volatilité — qui vous indique quand une position LP est réellement +EV par rapport à la simple détention des jetons.

L'invariant du produit constant et la naissance de la perte impermanente

Un pool Uniswap v2 détient des réserves $x$ du jeton risqué et $y$ du numéraire et applique $x \cdot y = k$ à chaque transaction. Le prix marginal de l'actif risqué est $P = y/x$. Parce que $k$ est conservé, les réserves à tout prix $P$ sont fixées :

Commencez au prix $p_0$ avec des réserves $(x_0, y_0)$ et laissez le prix dériver vers $p$. La position du LP vaut, marquée au nouveau prix,

Si vous aviez simplement détenu les jetons déposés au lieu de les mettre en pool, vous auriez eu une valeur de

Définissons le ratio de prix $r = p/p_0$. Divisez, et les $\sqrt{k}$ et $\sqrt{p_0}$ s'annulent proprement, laissant la perte impermanente comme une fonction du ratio de prix seulement :

C'est l'objet entier. Il est négatif pour chaque $r \neq 1$ et nul seulement lorsque le prix revient à son point d'entrée — "impermanent" précisément parce qu'il disparaît si le prix revient. Deux propriétés méritent d'être intériorisées.

Elle est symétrique en log-prix. Substituez $r \to 1/r$ : l'expression est inchangée, car $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Un doublement et une réduction de moitié nuisent de manière identique. Concrètement, un mouvement de 2× ($r=2$) et un mouvement de −50% ($r = 0.5$) donnent tous deux

La symétrie est la plus nette lorsque vous écrivez le ratio de prix en logarithmes. Avec $u = \ln r$, une courte manipulation réduit l'IL en une sécante hyperbolique :

ce qui rend explicite la forme quadratique en rendement logarithmique : près du prix d'entrée, l'IL augmente avec le carré du mouvement de prix logarithmique — la signature d'un gain à gamma court, et la raison pour laquelle elle reste négligeable pour de petites fluctuations et mord fort sur les tendances.

Les chiffres semblent petits jusqu'à ce que vous vous souveniez de ce qu'ils mesurent : l'IL est l'écart par rapport à la détention, et elle n'est réalisée que par rapport à ce point de référence. Un jeton qui quadruple laisse le LP avec un gain considérable en dollars — juste 20 % de moins que s'il l'avait détenu. L'IL n'est pas une perte que vous ressentez ; c'est un coût d'opportunité pour lequel vous devez être payé. Le flux de frais est ce paiement. Savoir si cela suffit est le reste de cet article.

La liquidité concentrée est une perte impermanente à effet de levier

Uniswap v3 permet à un LP de confiner le capital à une fourchette de prix $[p_a, p_b]$. À l'intérieur de la fourchette, la position se comporte exactement comme un pool v2 — même courbe de liaison — mais en utilisant uniquement les réserves nécessaires pour couvrir cette bande (la construction de réserve virtuelle dérivée dans l'article sur les mécanismes de v3). La conséquence pour l'IL est nette, et elle découle d'une ligne d'algèbre.

Écrivez $s = \sqrt p$. Une position v3 avec une liquidité $L$ sur $[p_a, p_b]$, entrée au prix $p_0$ et toujours dans la fourchette à $p$, détient $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ et $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Calculez sa valeur moins la valeur HODL de ses propres jetons initiaux, et tout ce qui concerne $p_a$ et $p_b$ s'annule :

C'est la même perte de divergence absolue qu'un pool v2 avec le même $L$ — les bornes de la fourchette n'apparaissent pas. Alors d'où vient la douleur supplémentaire ? Du capital. La concentration en $[p_a, p_b]$ permet aux mêmes dollars de soutenir un $L$ beaucoup plus grand. Pour une fourchette géométriquement centrée sur le prix d'entrée, le facteur d'amplification est exactement

le multiplicateur d'« efficacité du capital » de v3. Une position à pleine fourchette a $\Lambda = 1$ ; une fourchette de $0.5p_0$ à $2p_0$ donne $\Lambda \approx 3.4$ ; une bande de $[2700, 3300]$ autour de $p_0 = 3000$ (±10 %) donne $\Lambda \approx 20.4$. Parce que la perte absolue est proportionnelle à $L$ et qu'un capital égal achète $\Lambda$ fois plus de $L$, l'IL fractionnaire évolue de la même manière :

Prenez cette position de ±10 %, entrée à 3 000 $, et faites monter le prix. Les chiffres v2 du tableau ci-dessus sont multipliés par ~20 :

Un mouvement de 10 % qui coûte onze points de base à un LP à pleine fourchette coûte 2,3 % au LP concentré par rapport à la détention. Et cela empire à la limite, car la fourchette a un deuxième bord que la formule ci-dessus cache : une fois que le prix dépasse $p_b$, la position est à 100 % en numéraire, cesse de générer des frais, et sa divergence se fige à la composition limite. Le LP concentré a entièrement vendu l'actif risqué à la hausse et observe maintenant toute nouvelle hausse sans rien de cet actif — la queue du straddle court, bloquée, avec le flux de primes désactivé. La concentration est un effet de levier sur les revenus de frais et la perte, plus une dépendance au chemin — le temps passé dans la fourchette — que la mise à l'échelle naïve $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ ne capture pas.

LVR : la perte que vous ne pouvez pas imputer au marché

La perte impermanente mesure le LP par rapport à un HODLer passif, et ce benchmark introduit discrètement un risque de marché : la majeure partie de ce que l'« IL vs HODL » vous facture est simplement l'exposition directionnelle que vous auriez de toute façon supportée en possédant les jetons. La décomposition plus précise — celle qui isole le coût spécifique à être un AMM — est la perte-contre-rééquilibrage (LVR), de Milionis, Moallemi, Roughgarden et Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

L'idée est de comparer le LP non pas à la détention, mais à un portefeuille de rééquilibrage qui détient, à chaque instant, les mêmes quantités de jetons que le pool — même delta, même exposition au marché — mais qui négocie au prix du marché externe sans friction au lieu de la courbe de liaison propre au pool. Les deux portefeuilles supportent un risque de prix identique, de sorte que la soustraction de l'un de l'autre annule entièrement le bruit du marché et ne laisse que le coût structurel d'être l'AMM : l'argent que le pool perd parce que les arbitreurs, et non le LP, capturent chaque mouvement de prix. Ce résidu est le LVR.

Modélisez le prix externe comme un mouvement brownien géométrique avec une volatilité $\sigma$. Le résultat central de l'article — que les auteurs appellent une « formule de Black–Scholes pour les AMM » — est que le LVR s'accumule comme une dérive déterministe et non négative :

où $x(P)$ est la détention d'actifs risqués du pool en fonction du prix et $x'(P) < 0$ (l'AMM vend l'actif risqué à mesure que son prix augmente). Pour le pool à produit constant, $x(P) = L/\sqrt P$, donc $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, et puisque la valeur du pool est $V = 2L\sqrt P$, le taux en fraction de la valeur du pool se réduit à une constante :

C'est le fameux σ²/8. Il est agnostique aux frais et agnostique à l'inventaire : un pool à produit constant perd $\sigma^2/8$ de sa valeur par unité de temps à l'arbitrage, point final. À 5 % de volatilité quotidienne, cela représente $0.05^2/8 \approx 3.1$ points de base chaque jour — environ 11 % de la valeur du pool par an — avant même qu'un seul dollar de frais ne soit compté. Pour une position concentrée, la même logique donne $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ tant qu'elle est dans la fourchette : l'effet de levier qui a amplifié l'IL amplifie le LVR par le même facteur.

Pourquoi le LVR est la bonne unité de compte, et l'IL ne l'est pas, se résume à une propriété : la différence LP-moins-rééquilibrage a une volatilité nulle. C'est une dérive purement prévisible, $-\!\int \ell\,dt$. Cela signifie que le risque de prix est entièrement couvrable — répliquez le portefeuille de rééquilibrage avec une couverture delta dynamique et ce qui reste est déterministe. L'économie réelle du LP est donc

Couvrez le premier terme et le LP se retrouve avec frais − LVR − gaz — une position à variance courte dont le portage est le flux de frais et dont le coût est une hémorragie continue, prévisible et liée à la volatilité. C'est exactement le compromis gamma-thêta d'un carnet d'options courtes : le LVR est le coût gamma $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, les frais sont le thêta que vous collectez, et l'analogie avec la tarification des options de Black–Scholes est structurelle, pas décorative. C'est aussi la même tension sélection adverse-versus-spread que Avellaneda–Stoikov formalisent pour les teneurs de marché à carnet d'ordres, le niveau de frais du pool jouant le rôle du spread coté.

Une nuance permet de rester honnête. Le σ²/8 pur suppose un arbitrage continu et sans coût. En réalité, le niveau de frais lui-même crée une bande sans arbitrage — les arbitreurs ne négocient qu'une fois qu'un mouvement de prix dépasse les frais — de sorte que le LVR réalisé est inférieur au chiffre sans friction, et les frais ont une double fonction : ils vous paient et ils élargissent la bande qui vous protège. La version consciente des frais et à temps discret est élaborée dans l'article de suivi Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023) ; considérez le σ²/8 continu comme une borne supérieure de la perte.

Markout : mesurer la sélection adverse bloc par bloc

Le LVR est un théorème sur une diffusion. L'ombre empirique qu'il projette sur les transactions réelles est le markout, et c'est ainsi que l'on mesure la sélection adverse sur une position en direct sans aucun modèle de volatilité.

Le markout évalue une transaction par rapport à un prix de référence "juste" un horizon $\Delta$ plus tard. Pour un fournisseur de liquidité passif, chaque swap qui se négocie contre votre fourchette est une transaction que vous n'avez pas choisie — le preneur l'a choisie, et il l'a choisie parce que c'était bon pour lui. Définissez le markout du LP sur une transaction comme la variation signée de l'inventaire multipliée par le mouvement de prix ultérieur :

où $\Delta q$ est la quantité d'actifs risqués que le LP a acquise dans la transaction (négative lorsque le LP a vendu). Un flux informé et toxique rend cela systématiquement négatif : le pool achète l'actif risqué à un vendeur qui a raison, juste avant que le prix ne baisse, et vend à un acheteur qui a raison, juste avant qu'il ne monte. En moyenne sur de nombreuses transactions, le LP est du mauvais côté du prochain tick — ce qui est précisément le LVR réalisé un swap à la fois.

Mesuré par bloc, cela devient une métrique de sélection adverse propre : prenez la variation nette de l'inventaire du LP sur un bloc et comparez-la au prix un ou quelques blocs plus tard. Agrégé sur la durée de vie d'une position, la somme des markouts par bloc est le LVR empirique. La raison pour laquelle cela est important est que le chiffre du markout est généralement laid. Les études empiriques à grande échelle — à commencer par l'analyse de Loesch, Hindman, Richardson et Welch en 2021 des positions Uniswap v3 (l'étude Topaze Blue / Bancor) et renforcées par les tableaux de bord de quantification du LVR qui ont suivi — ont montré qu'une grande fraction des LP v3, sur de nombreux pools majeurs, la moitié ou plus, sous-performaient la simple détention des jetons une fois que l'IL et la sélection adverse étaient déduites des frais. Cartea, Drissi et Monga formalisent la même quantité pour la liquidité concentrée comme une "perte prévisible", arrivant à la même dérive mise à l'échelle par la volatilité par une voie différente.

Le principal enseignement pratique pour un LP qui surveille un carnet d'ordres en direct : l'APR des frais est un chiffre brut ; les frais + le markout est le net. Une position peut afficher un rendement de frais sain et un markout profondément négatif, et la somme est ce que vous avez réellement gagné. Les arbitreurs qui réalisent ce markout contre vous sont les mêmes chercheurs décrits dans l'article sur le MEV et le mempool — un backrun contre une cotation AMM obsolète après chaque mouvement d'oracle est une extraction de LVR, bloc par bloc, et c'est l'extrémité bénigne et correctrice de prix du spectre MEV, même si c'est l'extrémité toxique de votre PnL.

Quand le LPing bat réellement la détention

Réduisez tout à la décision qu'il sert. Couvrez le risque de marché et une position LP est +EV par rapport à son benchmark exactement lorsque le taux de revenu des frais dépasse le taux de LVR :

où $f$ est le niveau de frais du pool et $\tau$ est le chiffre d'affaires — volume de trading divisé par TVL, par unité de temps. Réarrangée, la condition est une comparaison de deux volatilités. Le flux de frais implique une volatilité de seuil de rentabilité

et le LP gagne chaque fois que la volatilité réalisée est inférieure à celle-ci. C'est la version AMM de la volatilité implicite par rapport à la volatilité réalisée : le pool cite une volatilité implicite par son rendement de frais, et fournir des liquidités, c'est vendre de la variance à ce niveau. Quelques points de référence travaillés (le chiffre d'affaires est clairement hypothétique, choisi pour être représentatif des pools actifs) :

• Pool à 0,05 %, chiffre d'affaires 1,0/jour (volume ≈ TVL quotidien) : $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ quotidien. En dessous d'environ 6,3 % de volatilité quotidienne réalisée, le LP est en avance.
• Pool à 0,30 %, chiffre d'affaires 0,2/jour : $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ quotidien.
• Stablecoin / paire corrélée, $\sigma \approx 0.2\%$ quotidien : le LVR est de $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ par jour — essentiellement rien, car le LVR est proportionnel au carré de la volatilité. Presque tout rendement de frais le couvre.

Cette dépendance au carré est toute la stratégie en un seul fait. Réduire de moitié la volatilité de la paire réduit le saignement d'un quart, tandis que le rendement des frais n'est pas affecté. C'est pourquoi l'avantage durable des LP réside dans les paires à faible σ — paires de stablecoins, paires de jetons de jalonnement liquide/ETH et autres jambes étroitement corrélées — et pourquoi le LPing de paires volatiles est un pari que les frais sont extraordinaires ou que vous pouvez couvrir et rééquilibrer plus rapidement que le pool ne saigne.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Le seul élément sur lequel repose toute la décision est $\sigma$ — non pas la volatilité réalisée du mois dernier, mais une prévision de la volatilité réalisée sur la période de détention, ce qui est exactement un problème de prévision de la volatilité. Une prévision de volatilité GARCH à un jour insérée dans $\sigma^\ast$ transforme "ce pool paie-t-il suffisamment" en un signal en direct et actualisable : LP lorsque la prévision est inférieure au seuil de rentabilité, s'abstenir lorsqu'un changement de régime de volatilité la pousse au-dessus.

La concentration ne modifie pas le ratio tant que vous êtes dans la fourchette — elle multiplie le rendement des frais et le LVR par le même $\Lambda$, de sorte que l'inégalité frais-volatilité est invariante d'échelle dans la fourchette. Ce qu'elle modifie, c'est tout ce qui se trouve aux limites : une fourchette étroite passe moins de temps dans la fourchette (pas de frais, IL gelée une fois sortie), et exige un rééquilibrage actif dont le gaz et le markout de réentrée sont des coûts réels. La règle honnête pour les fourchettes étroites est donc restrictive : justifiez-les uniquement lorsque votre prévision de volatilité réalisée est faible par rapport à la largeur de la fourchette, ou lorsque vous gérez et couvrez activement la position plutôt que de la définir et de l'oublier. Les mécanismes de cette gestion active — déclencheurs de rééquilibrage, couverture delta de l'inventaire changeant du pool et transformation du portage frais − LVR en une stratégie couverte — font l'objet de l'article complémentaire sur les stratégies LP et la couverture Uniswap v3.

Ce qu'il faut retenir

• La perte impermanente a une forme fermée, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, symétrique en log-prix (un mouvement de 2× et un mouvement de −50% coûtent tous deux 5,72%) et quadratique en log-rendement près de l'entrée — la signature d'un gain à gamma court.
• La liquidité concentrée est une IL à effet de levier. La perte de divergence absolue est inchangée pour un $L$ donné, mais un capital égal déploie $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ fois plus de $L$, de sorte que l'IL et les frais sont multipliés par $\Lambda$ — et la position se fige dans l'actif perdant une fois que le prix sort de la fourchette.
• Le LVR est la perte qui survit à la couverture. Comparé à un portefeuille de rééquilibrage, un pool à produit constant perd $\sigma^2/8$ de valeur par unité de temps, quels que soient les frais ; le PnL couvert du LP est frais − LVR − gaz, un portage à variance courte.
• Le markout est le LVR mesuré sur des transactions réelles. Le markout par bloc quantifie directement la sélection adverse, et les données empiriques montrent qu'une grande partie des LP v3 sont négatifs nets par rapport à la détention une fois qu'il est pris en compte. L'APR des frais est brut ; les frais + le markout est net.
• La décision est une inégalité. Un LP bat son benchmark lorsque le rendement des frais dépasse $\sigma^2/8$, c'est-à-dire lorsque la volatilité réalisée tombe en dessous du seuil de rentabilité implicite des frais $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$. Parce que le LVR est proportionnel à $\sigma^2$, l'avantage réside dans les paires corrélées à faible volatilité — et l'élément qui le détermine est une prévision de volatilité.

Références

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (livre blanc).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.