Impermanenter Verlust und LVR: Die wahre Mathematik der LP-Profitabilität

Liquiditätsbereitstellung sieht aus wie ein Renditeprodukt und verhält sich wie ein Short-Optionsbuch. Die APR-Überschrift auf einem Pool-Dashboard ist ein Bruttowert: Sie zählt die einfließenden Gebühren und ignoriert stillschweigend die beiden Kosten, die abfließen – die Divergenz zwischen dem, was Ihre Position wird, und dem, was Sie eingezahlt haben (Impermanent Loss), und das stetigere, heimtückischere Ausbluten an Arbitrageure, die bei jeder Preisbewegung Ihre veralteten Kurse abgreifen (Loss-versus-Rebalancing). Wenn die Buchhaltung stimmt, reduziert sich das ganze Geschäft auf eine Ungleichung: Deckt der Gebührenstrom die volatilitätsbedingten Kosten des Haltens der Position? Wenn Sie sich irren, sind Sie ein systematischer Verkäufer von Varianz, der vergessen hat, die Varianz zu bepreisen.

Dieser Artikel ist die versprochene Fortsetzung zu Uniswap v3 für Quants, der mit der Nennung von Loss-versus-Rebalancing endete und hierher verwies. Wir bauen die Rentabilitätskalkulation von Grund auf auf: die geschlossene Formel für den Impermanenten Verlust in einem Constant-Product-Pool, warum konzentrierte Liquidität ein gehebelter IL ist, das σ²/8 LVR-Ergebnis und die exakte PnL-Zerlegung, die es ermöglicht, wie die per-Block-Markierung die Adverse Selektion empirisch misst, und die Break-Even-Bedingung – ein Gebühren-versus-Volatilitäts-Vergleich –, die Ihnen sagt, wann eine LP-Position tatsächlich +EV ist, gegenüber dem bloßen Halten der Token.

Die Constant-Product-Invariante und die Entstehung des Impermanenten Verlusts

Ein Uniswap v2 Pool hält Reserven $x$ des riskanten Tokens und $y$ des Numéraire und erzwingt $x \cdot y = k$ bei jedem Handel. Der Grenzpreis des riskanten Assets ist $P = y/x$. Da $k$ konserviert wird, sind die Reserven bei jedem Preis $P$ festgelegt:

Beginnen Sie bei Preis $p_0$ mit Reserven $(x_0, y_0)$ und lassen Sie den Preis auf $p$ driften. Die Position des LPs ist, zum neuen Preis bewertet, wert:

Hätten Sie die eingezahlten Token einfach gehalten, anstatt sie zu poolen, wären Sie wert:

Definieren Sie das Preisverhältnis $r = p/p_0$. Teilen Sie, und die $\sqrt{k}$ und $\sqrt{p_0}$ kürzen sich sauber, sodass der Impermanente Verlust allein als Funktion des Preisverhältnisses übrig bleibt:

Das ist das ganze Objekt. Es ist negativ für jedes $r \neq 1$ und nur null, wenn der Preis zu dem Punkt zurückkehrt, an dem Sie eingestiegen sind – "impermanent" gerade weil es verschwindet, wenn der Preis zurückkommt. Zwei Eigenschaften sind es wert, verinnerlicht zu werden.

Es ist symmetrisch im Log-Preis. Setzen Sie $r \to 1/r$ ein: Der Ausdruck bleibt unverändert, da $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Eine Verdopplung und eine Halbierung schmerzen identisch. Konkret führen eine 2×-Bewegung ($r=2$) und eine -50%-Bewegung ($r = 0.5$) beide zu

Die Symmetrie ist am klarsten, wenn man das Preisverhältnis in Logarithmen schreibt. Mit $u = \ln r$ kollabiert eine kurze Manipulation den IL in einen hyperbolischen Sekans:

was die quadratische Form im Log-Return explizit macht: nahe dem Einstiegspreis wächst IL mit dem Quadrat der Log-Preisbewegung – die Signatur eines Short-Gamma-Payoffs und der Grund, warum er bei kleinen Schwankungen vernachlässigbar bleibt und bei Trends stark zuschlägt.

Die Zahlen sehen klein aus, bis man sich daran erinnert, was sie messen: IL ist die Lücke gegenüber dem Halten, und sie wird nur relativ zu diesem Benchmark realisiert. Ein Token, der sich vervierfacht, lässt den LP in Dollar-Begriffen stark im Plus – nur 20% weniger, als wenn er ihn gehalten hätte. IL ist kein Verlust, den man spürt; es ist eine Opportunitätskosten, für deren Tragen man bezahlt werden muss. Der Gebührenstrom ist diese Zahlung. Ob sie ausreicht, ist der Rest dieses Artikels.

Konzentrierte Liquidität ist gehebelter Impermanenter Verlust

Uniswap v3 ermöglicht es einem LP, Kapital auf einen Preisbereich $[p_a, p_b]$ zu beschränken. Innerhalb des Bereichs verhält sich die Position genau wie ein v2-Pool – dieselbe Bonding-Kurve –, verwendet aber nur die Reserven, die zur Abdeckung dieses Bandes benötigt werden (die in dem Artikel über v3-Mechanismen abgeleitete virtuelle Reservekonstruktion). Die Konsequenz für IL ist scharf und ergibt sich aus einer Zeile Algebra.

Schreiben Sie $s = \sqrt p$. Eine v3-Position mit Liquidität $L$ auf $[p_a, p_b]$, die zum Preis $p_0$ eingegangen wurde und bei $p$ noch im Bereich liegt, hält $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ und $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Berechnen Sie ihren Wert abzüglich des HODL-Wertes ihrer eigenen ursprünglichen Token, und alles, was $p_a$ und $p_b$ betrifft, kürzt sich:

Dies ist der gleiche absolute Divergenzverlust wie bei einem v2-Pool mit dem identischen $L$ – die Bereichsgrenzen erscheinen nicht. Woher kommt also der zusätzliche Schmerz? Vom Kapital. Die Konzentration in $[p_a, p_b]$ ermöglicht es, mit denselben Dollars ein weitaus größeres $L$ zu unterlegen. Für einen Bereich, der geometrisch auf den Einstiegspreis zentriert ist, beträgt der Verstärkungsfaktor genau

der v3-"Kapitaleffizienz"-Multiplikator. Eine Full-Range-Position hat $\Lambda = 1$; ein Bereich von $0.5p_0$ bis $2p_0$ ergibt $\Lambda \approx 3.4$; ein $[2700, 3300]$-Band um $p_0 = 3000$ (±10%) ergibt $\Lambda \approx 20.4$. Da der absolute Verlust mit $L$ skaliert und gleiches Kapital $\Lambda$ mal mehr $L$ kauft, skaliert der fraktionale IL auf die gleiche Weise:

Nehmen Sie diese ±10%-Position, Einstieg 3.000 $, und lassen Sie den Preis steigen. Die v2-Zahlen aus der obigen Tabelle werden mit ~20 multipliziert:

Eine 10%-Bewegung, die einen Full-Range-LP elf Basispunkte kostet, kostet den konzentrierten LP 2,3% gegenüber dem Halten. Und es wird an der Grenze noch schlimmer, denn der Bereich hat eine zweite Kante, die die obige Formel verbirgt: Sobald der Preis $p_b$ überschreitet, besteht die Position zu 100% aus Numéraire, verdient keine Gebühren mehr, und ihre Divergenz friert bei der Grenzkomposition ein. Der konzentrierte LP hat das riskante Asset auf dem Weg nach oben vollständig verkauft und beobachtet nun jede weitere Rallye ohne es – der Short-Straddle-Schwanz, festgefahren, mit abgeschaltetem Prämienstrom. Konzentration ist Hebelwirkung sowohl auf die Gebühreneinnahmen als auch auf den Verlust, plus eine Pfadabhängigkeit – die im Bereich verbrachte Zeit –, die die naive $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$-Skalierung nicht erfasst.

LVR: Der Verlust, den man nicht dem Markt anlasten kann

Impermanenter Verlust misst den LP gegen einen passiven HODLer, und dieser Benchmark schmuggelt stillschweigend Marktrisiko ein: Das meiste, was "IL vs HODL" Ihnen berechnet, ist nur das Richtungsrisiko, das Sie ohnehin durch den Besitz der Token getragen hätten. Die schärfere Zerlegung – diejenige, die die Kosten isoliert, die spezifisch für einen AMM sind – ist Loss-versus-Rebalancing (LVR), von Milionis, Moallemi, Roughgarden und Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

Die Idee ist, den LP nicht am Halten zu messen, sondern an einem Rebalancing-Portfolio, das zu jedem Zeitpunkt genau die gleichen Token-Mengen wie der Pool hält – gleiches Delta, gleiches Marktrisiko –, aber zum reibungslosen externen Marktpreis handelt, anstatt gegen die eigene Bonding-Kurve des Pools. Beide Portfolios tragen identisches Preisrisiko, sodass das Subtrahieren des einen vom anderen das Marktrauschen vollständig aufhebt und nur die strukturellen Kosten des AMM übrig bleiben: das Geld, das der Pool verliert, weil Arbitrageure, nicht der LP, jede Preisbewegung erfassen. Dieser Rest ist LVR.

Modellieren Sie den externen Preis als geometrische Brownsche Bewegung mit Volatilität $\sigma$. Das zentrale Ergebnis des Papiers – das die Autoren als "Black–Scholes-Formel für AMMs" bezeichnen – ist, dass LVR als deterministischer, nicht-negativer Drift anfällt:

wobei $x(P)$ der Risikoposition des Pools als Funktion des Preises ist und $x'(P) < 0$ (der AMM verkauft das Risikopapier, wenn sein Preis steigt). Für den Constant-Product-Pool ist $x(P) = L/\sqrt P$, also $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, und da der Poolwert $V = 2L\sqrt P$ ist, kollabiert die Rate als Anteil des Poolwerts zu einer Konstanten:

Das ist das berühmte σ²/8. Es ist gebührenunabhängig und bestandsunabhängig: Ein Constant-Product-Pool verliert $\sigma^2/8$ seines Wertes pro Zeiteinheit durch Arbitrage, Punkt. Bei 5% täglicher Volatilität sind das $0.05^2/8 \approx 3.1$ Basispunkte jeden Tag – etwa 11% des Poolwerts pro Jahr – bevor ein einziger Dollar an Gebühren gezählt wird. Für eine konzentrierte Position ergibt die gleiche Logik $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ im Bereich: Der Hebel, der IL verstärkte, verstärkt LVR um den identischen Faktor.

Warum LVR die richtige Maßeinheit ist und IL nicht, liegt an einer Eigenschaft: Die Differenz zwischen LP und Rebalancing hat keine Volatilität. Es ist ein rein vorhersagbarer Drift, $-\!\int \ell\,dt$. Das bedeutet, dass das Preisrisiko vollständig absicherbar ist – replizieren Sie das Rebalancing-Portfolio mit einer dynamischen Delta-Absicherung, und was übrig bleibt, ist deterministisch. Die wahre Ökonomie des LP ist daher

Sichern Sie den ersten Term ab, und der LP hält Gebühren − LVR − Gas – eine Short-Varianz-Position, deren Carry der Gebührenstrom ist und deren Kosten ein laufendes, vorhersagbares, volatilitätsgetriebenes Ausbluten sind. Dies ist genau der Gamma-Theta-Kompromiss eines Short-Optionsbuchs: LVR ist die Gamma-Kosten $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, Gebühren sind das Theta, das Sie einnehmen, und die Analogie zur Black–Scholes-Optionspreisbildung ist strukturell, nicht dekorativ. Es ist auch die gleiche Adverse-Selektion-versus-Spread-Spannung, die Avellaneda–Stoikov für Orderbuch-Market Maker formalisieren, wobei die Gebührenstufe des Pools die Rolle des gestellten Spreads spielt.

Eine Verfeinerung hält die Darstellung ehrlich. Das saubere σ²/8 setzt kontinuierliche, kostenlose Arbitrage voraus. In Wirklichkeit erzeugt die Gebührenstufe selbst ein No-Arbitrage-Band – Arbitrageure handeln nur, wenn eine Preisbewegung die Gebühr überschreitet –, sodass die realisierte LVR kleiner ist als der reibungslose Wert, und Gebühren eine doppelte Funktion erfüllen: Sie bezahlen Sie und erweitern das Band, das Sie schützt. Die gebührenbewusste, diskrete Version wird in der Folgestudie Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023) ausgearbeitet; behandeln Sie das kontinuierliche σ²/8 als Obergrenze für das Ausbluten.

Markout: Messung der Adverse Selektion Block für Block

LVR ist ein Theorem über eine Diffusion. Der empirische Schatten, den es auf reale Fills wirft, ist Markout, und so misst man die Adverse Selektion auf einer Live-Position ohne jegliches Volatilitätsmodell.

Markout bewertet einen Fill gegen einen Referenz-"fairen" Preis zu einem späteren Zeitpunkt $\Delta$. Für einen passiven Liquiditätsanbieter ist jeder Swap, der gegen Ihren Bereich handelt, ein Fill, den Sie nicht gewählt haben – der Taker hat ihn gewählt, und er hat ihn gewählt, weil er für ihn gut war. Definieren Sie den Markout des LP bei einem Fill als die signierte Bestandsänderung multipliziert mit der nachfolgenden Preisbewegung:

wobei $\Delta q$ die Menge des riskanten Assets ist, die der LP im Handel erworben hat (negativ, wenn der LP verkauft hat). Informierter und toxischer Fluss macht dies systematisch negativ: Der Pool kauft das riskante Asset von einem Verkäufer, der Recht hat, kurz bevor der Preis fällt, und verkauft an einen Käufer, der Recht hat, kurz bevor er steigt. Über viele Fills gemittelt, befindet sich der LP auf der falschen Seite des nächsten Ticks – was genau LVR ist, realisiert ein Swap nach dem anderen.

Pro Block gemessen, wird dies zu einer sauberen Metrik für Adverse Selektion: Nehmen Sie die Netto-Bestandsänderung des LP über einen Block und markieren Sie sie gegen den Preis ein oder wenige Blöcke später. Über die Lebensdauer einer Position aggregiert, ist die Summe der Markouts pro Block der empirische LVR. Der Grund, warum dies wichtig ist, ist, dass die Markout-Zahl normalerweise hässlich ist. Die groß angelegten empirischen Studien – beginnend mit der Analyse von Loesch, Hindman, Richardson und Welch aus dem Jahr 2021 zu Uniswap v3-Positionen (der Topaze Blue / Bancor-Studie) und verstärkt durch die darauf folgenden LVR-Quantifizierungs-Dashboards – ergaben, dass ein großer Teil der v3-LPs, in vielen großen Pools etwa die Hälfte oder mehr, einfach das Halten der Token unterboten, sobald IL und Adverse Selektion gegen Gebühren verrechnet wurden. Cartea, Drissi und Monga formalisieren dieselbe Größe für konzentrierte Liquidität als "vorhersehbaren Verlust" und gelangen auf einem anderen Weg zum gleichen volatilitätsbasierten Drift.

Die praktische Erkenntnis für einen LP, der ein Live-Buch überwacht: Die Gebühren-APR ist ein Bruttowert; Gebühren + Markout ist der Nettoertrag. Eine Position kann eine gesunde Gebührenrendite und einen stark negativen Markout aufweisen, und die Summe ist das, was Sie tatsächlich verdient haben. Die Arbitrageure, die diesen Markout gegen Sie realisieren, sind dieselben Sucher, die in dem MEV- und Mempool-Artikel beschrieben werden – ein Backrun gegen ein veraltetes AMM-Angebot nach jeder Orakelbewegung ist LVR-Extraktion, Block für Block, und es ist das gutartige, preisbereinigende Ende des MEV-Spektrums, auch wenn es das toxische Ende Ihres PnL ist.

Wann LPing tatsächlich das Halten übertrifft

Reduzieren Sie alles auf die Entscheidung, der es dient. Sichern Sie das Marktrisiko ab, und eine LP-Position ist +EV gegenüber ihrem Benchmark, genau dann, wenn die Gebühreneinnahmenrate die LVR-Rate übersteigt:

wobei $f$ die Gebührenstufe des Pools und $\tau$ der Umsatz ist – Handelsvolumen geteilt durch TVL, pro Zeiteinheit. Umgestellt ist die Bedingung ein Vergleich zweier Volatilitäten. Der Gebührenstrom impliziert eine Break-Even-Volatilität

und der LP gewinnt, wann immer die realisierte Volatilität darunter liegt. Dies ist die AMM-Version von implizit versus realisiert: Der Pool zitiert eine implizite Volatilität durch seine Gebührenrendite, und die Bereitstellung von Liquidität ist der Verkauf von Varianz auf diesem Niveau. Einige ausgearbeitete Referenzpunkte (Umsatz offensichtlich hypothetisch, gewählt, um repräsentativ für aktive Pools zu sein):

• 0,05%-Pool, Umsatz 1,0/Tag (Volumen ≈ TVL täglich): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ täglich. Unter ~6,3% realisierter täglicher Volatilität ist der LP im Vorteil.
• 0,30%-Pool, Umsatz 0,2/Tag: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ täglich.
• Stablecoin / korreliertes Paar, $\sigma \approx 0.2\%$ täglich: LVR ist $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ pro Tag – im Wesentlichen nichts, da LVR mit dem Quadrat der Volatilität skaliert. Fast jede Gebührenrendite deckt dies ab.

Diese quadratische Abhängigkeit ist die ganze Strategie in einer Tatsache. Eine Halbierung der Volatilität des Paares viertelt das Ausbluten, während die Gebührenrendite unberührt bleibt. Deshalb liegt der dauerhafte LP-Vorteil in Paaren mit geringer Volatilität – Stablecoin-Paare, Liquid-Staking-Token/ETH-Paare und andere eng korrelierte Beine – und warum das LPing von volatilen Paaren eine Wette ist, dass die Gebühren außergewöhnlich sind oder dass Sie schneller absichern und rebalancieren können, als der Pool ausblutet.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Der einzige Input, von dem die gesamte Entscheidung abhängt, ist $\sigma$ – nicht die realisierte Volatilität des letzten Monats, sondern eine Prognose der realisierten Volatilität über den Haltezeitraum, was genau ein Volatilitätsprognoseproblem ist. Eine GARCH-Eintages-Volatilitätsprognose, die in $\sigma^\ast$ eingesetzt wird, verwandelt "zahlt dieser Pool genug" in ein Live-Update-Signal: LP, wenn die Prognose unter dem Break-Even liegt, treten Sie zurück, wenn ein Volatilitätsregimewechsel sie darüber drückt.

Konzentration ändert das Verhältnis nicht, solange Sie sich im Bereich befinden – sie multipliziert Gebührenertrag und LVR mit dem gleichen $\Lambda$, sodass die Gebühren-versus-Volatilitäts-Ungleichung innerhalb des Bereichs skaleninvariant ist. Was sie ändert, ist alles an den Rändern: Ein enger Bereich verbringt weniger Zeit im Bereich (keine Gebühren, eingefrorener IL, wenn außerhalb), und erfordert aktives Rebalancing, dessen Gas und Wiedereinstiegs-Markout reale Kosten sind. Die ehrliche Regel für enge Bereiche ist also eng: Rechtfertigen Sie sie nur, wenn Ihre realisierte Volatilitätsprognose im Verhältnis zur Bereichsbreite niedrig ist, oder wenn Sie die Position aktiv verwalten und absichern, anstatt sie einzurichten und zu vergessen. Die Mechanismen dieses aktiven Managements – Rebalancing-Trigger, Delta-Absicherung des sich ändernden Bestands des Pools und Umwandlung des Gebühren-LVR-Carrys in eine abgesicherte Strategie – sind Gegenstand des Begleitartikels über Uniswap v3 LP-Strategien und Absicherung.

Was man mitnehmen sollte

• Impermanenter Verlust hat eine geschlossene Form, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, symmetrisch im Log-Preis (eine 2×- und eine -50%-Bewegung kosten beide 5,72%) und quadratisch im Log-Return nahe dem Einstieg – der Fingerabdruck eines Short-Gamma-Payoffs.
• Konzentrierte Liquidität ist gehebelter IL. Der absolute Divergenzverlust bleibt für ein gegebenes $L$ unverändert, aber gleiches Kapital setzt $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ mal mehr $L$ ein, sodass sowohl IL als auch Gebühren um $\Lambda$ skalieren – und die Position friert in das verlustbringende Asset ein, sobald der Preis den Bereich verlässt.
• LVR ist der Verlust, der die Absicherung überlebt. Gemessen an einem Rebalancing-Portfolio verliert ein Constant-Product-Pool $\sigma^2/8$ seines Wertes pro Zeiteinheit, unabhängig von Gebühren; der abgesicherte PnL des LP ist Gebühren − LVR − Gas, ein Short-Varianz-Carry.
• Markout ist LVR, gemessen an realen Fills. Der Markout pro Block quantifiziert die Adverse Selektion direkt, und die empirischen Daten zeigen, dass ein großer Teil der v3-LPs netto-negativ gegenüber dem Halten ist, sobald dies berücksichtigt wird. Die Gebühren-APR ist brutto; Gebühren + Markout ist netto.
• Die Entscheidung ist eine Ungleichung. Ein LP schlägt seinen Benchmark, wenn die Gebührenrendite $\sigma^2/8$ übersteigt, d.h. wenn die realisierte Volatilität unter die gebührenimplizierte Break-Even-Volatilität $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$ fällt. Da LVR mit $\sigma^2$ skaliert, liegt der Vorteil in Paaren mit geringer Volatilität und Korrelation – und der Input, der dies entscheidet, ist eine Volatilitätsprognose.

Referenzen

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (Whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.