Impermanent Loss และ LVR: คณิตศาสตร์ที่แท้จริงของความสามารถในการทำกำไรของ LP

การให้สภาพคล่องดูเหมือนผลิตภัณฑ์ที่ให้ผลตอบแทนและมีพฤติกรรมเหมือนการขายออปชั่นระยะสั้น APR ที่แสดงบนแดชบอร์ดของพูลเป็นตัวเลขรวม: มันนับค่าธรรมเนียมที่ไหลเข้ามาและละเลยต้นทุนสองอย่างที่ไหลออกไปอย่างเงียบๆ — ความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ตำแหน่งของคุณกลายเป็นกับสิ่งที่คุณฝาก (impermanent loss) และการสูญเสียที่สม่ำเสมอและซ่อนเร้นกว่านั้นจากการเก็งกำไรที่เลือกราคาที่ล้าสมัยของคุณในการเคลื่อนไหวของราคาทุกครั้ง (loss-versus-rebalancing) หากคำนวณถูกต้อง ธุรกิจทั้งหมดจะลดลงเหลืออสมการเดียว: กระแสค่าธรรมเนียมครอบคลุมต้นทุนที่ขับเคลื่อนด้วยความผันผวนของการถือครองตำแหน่งหรือไม่ หากคำนวณผิด คุณจะเป็นผู้ขายความผันผวนอย่างเป็นระบบที่ลืมกำหนดราคาความผันผวน

บทความนี้เป็นบทความต่อเนื่องตามที่สัญญาไว้จาก Uniswap v3 สำหรับนักวิเคราะห์เชิงปริมาณ ซึ่งจบลงด้วยการกล่าวถึง loss-versus-rebalancing และชี้มาที่นี่ เราสร้างการคำนวณผลกำไรจากหลักการพื้นฐาน: รูปแบบปิดสำหรับ impermanent loss บนพูลผลิตภัณฑ์คงที่, เหตุใดสภาพคล่องแบบรวมศูนย์จึงเป็น IL ที่ มีเลเวอเรจ, ผลลัพธ์ LVR ของ σ²/8 และการแยก PnL ที่แม่นยำที่ช่วยให้ทำได้, วิธีที่ markout ต่อบล็อกวัดการเลือกที่ไม่พึงประสงค์เชิงประจักษ์, และเงื่อนไขจุดคุ้มทุน — การเปรียบเทียบค่าธรรมเนียมกับความผันผวน — ที่บอกคุณว่าตำแหน่ง LP มี +EV จริงๆ เมื่อเทียบกับการถือโทเค็นเฉยๆ

ตัวแปรคงที่ของผลิตภัณฑ์คงที่และการกำเนิดของ impermanent loss

พูล Uniswap v2 ถือสำรอง $x$ ของโทเค็นที่มีความเสี่ยงและ $y$ ของ numéraire และบังคับใช้ $x \cdot y = k$ ในทุกการซื้อขาย ราคาชายขอบของสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงคือ $P = y/x$ เนื่องจาก $k$ ถูกรักษาไว้ สำรองที่ราคาใดๆ $P$ จะถูกตรึงไว้:

เริ่มต้นที่ราคา $p_0$ ด้วยสำรอง $(x_0, y_0)$ และปล่อยให้ราคาเคลื่อนไปที่ $p$ ตำแหน่งของ LP มีมูลค่าตามราคาใหม่

หากคุณเพียงแค่ถือโทเค็นที่ฝากไว้แทนที่จะรวมไว้ คุณจะมีมูลค่า

กำหนดอัตราส่วนราคา $r = p/p_0$ หารแล้ว $\sqrt{k}$ และ $\sqrt{p_0}$ จะตัดกันอย่างหมดจด เหลือ impermanent loss เป็นฟังก์ชันของอัตราส่วนราคาเท่านั้น:

นั่นคือวัตถุทั้งหมด มันเป็นลบสำหรับทุก $r \neq 1$ และเป็นศูนย์เมื่อราคากลับไปที่จุดที่คุณเข้าเท่านั้น — "impermanent" อย่างแม่นยำเพราะมันจะหายไปหากราคากลับมา คุณสมบัติสองประการที่ควรทำความเข้าใจ

มันสมมาตรใน log-price แทนที่ $r \to 1/r$: นิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง เพราะ $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$ การเพิ่มขึ้นสองเท่าและการลดลงครึ่งหนึ่งเจ็บปวดเท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเคลื่อนไหว 2 เท่า ($r=2$) และการเคลื่อนไหว −50% ($r = 0.5$) ทั้งคู่ให้ผล

ความสมมาตรจะชัดเจนที่สุดเมื่อคุณเขียนอัตราส่วนราคาในรูปของลอการิทึม ด้วย $u = \ln r$ การจัดการเล็กน้อยจะทำให้ IL ยุบตัวเป็นไฮเปอร์โบลิกซีแคนต์:

ซึ่งทำให้รูปร่างกำลังสองใน log-return ชัดเจน: ใกล้ราคาเข้า IL จะเพิ่มขึ้นตาม กำลังสอง ของการเคลื่อนไหวของ log price — ลายเซ็นของการจ่ายเงินแบบ short-gamma และเป็นเหตุผลที่มันยังคงเล็กน้อยสำหรับการกระเพื่อมเล็กน้อยและกัดอย่างรุนแรงในแนวโน้ม

ตัวเลขดูเล็กจนกว่าคุณจะจำได้ว่ามันวัดอะไร: IL คือช่องว่าง เทียบกับการถือครอง และมันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเทียบกับเกณฑ์มาตรฐานนั้นเท่านั้น โทเค็นที่เพิ่มขึ้น 4 เท่าทำให้ LP ได้กำไรมากในแง่ของดอลลาร์ — เพียง 20% น้อยกว่าหากพวกเขาถือไว้ IL ไม่ใช่การสูญเสียที่คุณรู้สึก; มันคือค่าเสียโอกาสที่คุณต้องได้รับค่าตอบแทนเพื่อแบกรับ กระแสค่าธรรมเนียมคือการชำระเงินนั้น ไม่ว่ามันจะเพียงพอหรือไม่คือส่วนที่เหลือของบทความนี้

สภาพคล่องแบบรวมศูนย์คือ impermanent loss ที่มีเลเวอเรจ

Uniswap v3 ช่วยให้ LP สามารถจำกัดเงินทุนให้อยู่ในช่วงราคา $[p_a, p_b]$ ภายในช่วง ตำแหน่งจะทำงานเหมือนพูล v2 ทุกประการ — เส้นโค้งการผูกมัดเดียวกัน — แต่ใช้เฉพาะสำรองที่จำเป็นในการครอบคลุมช่วงนั้น (การสร้างสำรองเสมือนที่ได้มาจาก บทความกลไก v3) ผลที่ตามมาสำหรับ IL นั้นชัดเจน และมันมาจากพีชคณิตบรรทัดเดียว

เขียน $s = \sqrt p$ ตำแหน่ง v3 ที่มีสภาพคล่อง $L$ บน $[p_a, p_b]$ เข้าที่ราคา $p_0$ และยังคงอยู่ในช่วงที่ $p$ ถือ $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ และ $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$ คำนวณมูลค่าลบมูลค่า HODL ของโทเค็นเริ่มต้นของมันเอง และทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับ $p_a$ และ $p_b$ จะตัดกัน:

นี่คือ การสูญเสียความแตกต่างสัมบูรณ์เดียวกัน กับพูล v2 ที่มี $L$ เหมือนกัน — ขอบเขตช่วงไม่ปรากฏ แล้วความเจ็บปวดที่เพิ่มขึ้นมาจากไหน? มาจากเงินทุน การรวมศูนย์เป็น $[p_a, p_b]$ ช่วยให้เงินดอลลาร์เท่ากันสามารถรองรับ $L$ ที่ใหญ่กว่ามาก สำหรับช่วงที่อยู่ตรงกลางทางเรขาคณิตของราคาเข้า ปัจจัยการขยายคือ

ตัวคูณ "ประสิทธิภาพเงินทุน" ของ v3 ตำแหน่งเต็มช่วงมี $\Lambda = 1$; ช่วงจาก $0.5p_0$ ถึง $2p_0$ ให้ $\Lambda \approx 3.4$; แถบ $[2700, 3300]$ รอบ $p_0 = 3000$ (±10%) ให้ $\Lambda \approx 20.4$ เนื่องจากความสูญเสียสัมบูรณ์ปรับตาม $L$ และเงินทุนเท่ากันซื้อ $\Lambda$ เท่าของ $L$ มากขึ้น IL แบบเศษส่วนจึงปรับตามวิธีเดียวกัน:

ลองพิจารณาตำแหน่ง ±10% นี้ ราคาเข้า $3,000 และเดินราคาขึ้น ตัวเลข v2 จากตารางด้านบนจะถูกคูณด้วย ~20:

การเคลื่อนไหว 10% ที่ทำให้ LP เต็มช่วงเสีย 11 จุดพื้นฐาน ทำให้ LP แบบรวมศูนย์เสีย 2.3% เทียบกับการถือครอง และมันจะแย่ลงที่ขอบเขต เพราะช่วงมีขอบที่สองที่สูตรข้างต้นซ่อนไว้: เมื่อราคาทะลุ $p_b$ ตำแหน่งจะเป็น 100% numéraire หยุดรับค่าธรรมเนียม และความแตกต่างจะคงที่ที่องค์ประกอบขอบเขต LP แบบรวมศูนย์ได้ขายสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงทั้งหมดเมื่อราคาขึ้นและตอนนี้เฝ้าดูการขึ้นต่อไปโดยไม่มีสินทรัพย์นั้นเลย — หาง short-straddle ที่ถูกล็อกไว้ โดยกระแสพรีเมียมถูกปิด การรวมศูนย์คือเลเวอเรจทั้งรายได้ค่าธรรมเนียม และ การสูญเสีย บวกกับความขึ้นอยู่กับเส้นทาง — เวลาที่ใช้ในช่วง — ที่การปรับขนาด $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ แบบง่ายๆ ไม่สามารถจับได้

LVR: การสูญเสียที่คุณไม่สามารถโทษตลาดได้

Impermanent loss วัด LP เทียบกับ HODLer แบบพาสซีฟ และเกณฑ์มาตรฐานนั้นแอบแฝงความเสี่ยงของตลาด: ส่วนใหญ่ของ "IL เทียบกับ HODL" ที่คุณต้องจ่ายคือการเปิดรับความเสี่ยงทิศทางที่คุณจะได้รับอยู่แล้วจากการเป็นเจ้าของโทเค็น การแยกส่วนที่คมชัดกว่า — ซึ่งแยกต้นทุนที่ เฉพาะเจาะจงกับการเป็น AMM — คือ loss-versus-rebalancing (LVR) จาก Milionis, Moallemi, Roughgarden และ Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046)

แนวคิดคือการเปรียบเทียบ LP ไม่ใช่กับการถือครอง แต่กับ พอร์ตโฟลิโอที่ปรับสมดุล ที่ถือครองปริมาณโทเค็นที่แน่นอนเหมือนกับพูลในทุกช่วงเวลา — เดลต้าเดียวกัน การเปิดรับความเสี่ยงของตลาดเดียวกัน — แต่ซื้อขายที่ราคาตลาดภายนอกที่ไม่มีแรงเสียดทานแทนที่จะซื้อขายกับเส้นโค้งการผูกมัดของพูลเอง พอร์ตโฟลิโอทั้งสองมีความเสี่ยงด้านราคาที่เหมือนกัน ดังนั้นการลบหนึ่งออกจากอีกอันจะยกเลิกเสียงรบกวนของตลาดทั้งหมดและเหลือเพียงต้นทุนโครงสร้างของการเป็น AMM: เงินที่พูลสูญเสียไปเพราะผู้เก็งกำไร ไม่ใช่ LP จับการเคลื่อนไหวของราคาทุกครั้ง ส่วนที่เหลือคือ LVR

จำลองราคาภายนอกเป็น geometric Brownian motion ที่มีความผันผวน $\sigma$ ผลลัพธ์หลักของบทความ — ซึ่งผู้เขียนเรียกว่า "สูตร Black–Scholes สำหรับ AMM" — คือ LVR สะสมเป็น การเคลื่อนที่แบบกำหนด ไม่เป็นลบ:

โดยที่ $x(P)$ คือการถือครองสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงของพูลเป็นฟังก์ชันของราคาและ $x'(P) < 0$ (AMM ขายสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงเมื่อราคาสูงขึ้น) สำหรับพูลผลิตภัณฑ์คงที่ $x(P) = L/\sqrt P$ ดังนั้น $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$ และเนื่องจากมูลค่าพูลคือ $V = 2L\sqrt P$ อัตราส่วนเป็น เศษส่วนของมูลค่าพูล จึงยุบตัวเป็นค่าคงที่:

นั่นคือ σ²/8 ที่มีชื่อเสียง มันไม่ขึ้นกับค่าธรรมเนียมและไม่ขึ้นกับสินค้าคงคลัง: พูลผลิตภัณฑ์คงที่สูญเสีย $\sigma^2/8$ ของมูลค่าต่อหน่วยเวลาจากการเก็งกำไร จบ. ที่ความผันผวนรายวัน 5% นั่นคือ $0.05^2/8 \approx 3.1$ จุดพื้นฐาน ทุกวัน — ประมาณ 11% ของมูลค่าพูลต่อปี — ก่อนที่จะนับค่าธรรมเนียมแม้แต่ดอลลาร์เดียว สำหรับตำแหน่งแบบรวมศูนย์ ตรรกะเดียวกันให้ $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ ในขณะที่อยู่ในช่วง: เลเวอเรจที่ขยาย IL ขยาย LVR ด้วยปัจจัยเดียวกัน

เหตุใด LVR จึงเป็นหน่วยบัญชีที่ถูกต้อง และ IL ไม่ใช่ มาจากคุณสมบัติเดียว: ความแตกต่างระหว่าง LP ลบการปรับสมดุลมีความผันผวนเป็นศูนย์ มันคือการเคลื่อนที่แบบคาดการณ์ได้บริสุทธิ์ $-\!\int \ell\,dt$ นั่นหมายความว่าความเสี่ยงด้านราคาสามารถป้องกันความเสี่ยงได้อย่างสมบูรณ์ — จำลองพอร์ตโฟลิโอที่ปรับสมดุลด้วยการป้องกันความเสี่ยงเดลต้าแบบไดนามิก และสิ่งที่เหลืออยู่คือการกำหนด LP's true economics จึงเป็น

ป้องกันความเสี่ยงเทอมแรกออกไป และ LP จะเหลือ ค่าธรรมเนียม − LVR − ค่าแก๊ส — ตำแหน่ง short-variance ที่มี carry เป็นกระแสค่าธรรมเนียม และมีต้นทุนเป็นการสูญเสียที่ต่อเนื่อง คาดการณ์ได้ และขับเคลื่อนด้วยความผันผวน นี่คือการแลกเปลี่ยนแกมมา-ธีต้าของ short options book: LVR คือต้นทุนแกมมา $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$ ค่าธรรมเนียมคือธีต้าที่คุณเก็บ และความคล้ายคลึงกับ การกำหนดราคาออปชั่น Black–Scholes เป็นโครงสร้าง ไม่ใช่การตกแต่ง นอกจากนี้ยังเป็นความตึงเครียดของการเลือกที่ไม่พึงประสงค์เทียบกับสเปรดเดียวกันที่ Avellaneda–Stoikov กำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับผู้สร้างตลาด order-book โดยระดับค่าธรรมเนียมของพูลทำหน้าที่เป็นสเปรดที่เสนอราคา

การปรับปรุงหนึ่งอย่างทำให้กรอบการทำงานซื่อสัตย์ σ²/8 ที่สะอาดสมมติว่าการเก็งกำไรต่อเนื่องและไม่มีค่าใช้จ่าย ในความเป็นจริง ระดับค่าธรรมเนียมเองสร้างแถบที่ไม่มีการเก็งกำไร — ผู้เก็งกำไรจะซื้อขายเมื่อการเคลื่อนไหวของราคาเกินค่าธรรมเนียมเท่านั้น — ดังนั้น LVR ที่เกิดขึ้นจริงจึง เล็กกว่า ตัวเลขที่ไม่มีแรงเสียดทาน และค่าธรรมเนียมทำหน้าที่สองอย่าง: พวกเขาจ่ายเงินให้คุณและพวกเขาขยายแถบที่ปกป้องคุณ เวอร์ชันที่คำนึงถึงค่าธรรมเนียมและเวลาไม่ต่อเนื่องได้รับการพัฒนาในบทความต่อเนื่อง Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023); ถือว่า σ²/8 แบบต่อเนื่องเป็นขีดจำกัดบนของการสูญเสีย

Markout: การวัดการเลือกที่ไม่พึงประสงค์บล็อกต่อบล็อก

LVR เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแพร่กระจาย เงาเชิงประจักษ์ที่มันทอดลงบนการเติมจริงคือ markout และเป็นวิธีที่คุณวัดการเลือกที่ไม่พึงประสงค์ในตำแหน่งที่ใช้งานอยู่โดยไม่มีแบบจำลองความผันผวนเลย

Markout ประเมินการเติมเทียบกับราคา "ยุติธรรม" อ้างอิงบางช่วงเวลา $\Delta$ ต่อมา สำหรับผู้ให้บริการสภาพคล่องแบบพาสซีฟ การแลกเปลี่ยนทุกครั้งที่ซื้อขายกับช่วงของคุณคือการเติมที่คุณไม่ได้เลือก — ผู้รับเลือกมัน และพวกเขาเลือกมันเพราะมันดีสำหรับพวกเขา กำหนด markout ของ LP ในการเติมเป็นการเปลี่ยนแปลงสินค้าคงคลังที่มีเครื่องหมายคูณด้วยการเคลื่อนไหวของราคาที่ตามมา:

โดยที่ $\Delta q$ คือปริมาณสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงที่ LP ได้รับ ในการซื้อขาย (เป็นลบเมื่อ LP ขาย) กระแสข้อมูลที่มีข้อมูลและเป็นพิษทำให้สิ่งนี้เป็นลบอย่างเป็นระบบ: พูลซื้อสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงจากผู้ขายที่ถูกต้อง ก่อนที่ราคาจะลดลง และขายให้กับผู้ซื้อที่ถูกต้อง ก่อนที่ราคาจะสูงขึ้น เมื่อเฉลี่ยจากการเติมหลายครั้ง LP จะอยู่ผิดด้านของ tick ถัดไป — ซึ่งก็คือ LVR ที่เกิดขึ้นจริงทีละการแลกเปลี่ยน

วัด ต่อบล็อก สิ่งนี้จะกลายเป็นเมตริกการเลือกที่ไม่พึงประสงค์ที่ชัดเจน: ใช้การเปลี่ยนแปลงสินค้าคงคลังสุทธิของ LP ในช่วงบล็อกและทำเครื่องหมายเทียบกับราคาหนึ่งหรือสองสามบล็อกต่อมา เมื่อรวมกันตลอดอายุของตำแหน่ง ผลรวมของ markout ต่อบล็อก คือ LVR เชิงประจักษ์ เหตุผลที่มันสำคัญคือตัวเลข markout มักจะน่าเกลียด การศึกษาเชิงประจักษ์ขนาดใหญ่ — เริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์ตำแหน่ง Uniswap v3 ของ Loesch, Hindman, Richardson และ Welch ในปี 2021 (การศึกษา Topaze Blue / Bancor) และเสริมด้วยแดชบอร์ดการวัดปริมาณ LVR ที่ตามมา — พบว่า LP v3 จำนวนมาก ในพูลหลักหลายแห่งประมาณครึ่งหนึ่งหรือมากกว่านั้น มีผลงานต่ำกว่าการถือโทเค็นเฉยๆ เมื่อ IL และการเลือกที่ไม่พึงประสงค์ถูกหักลบออกจากค่าธรรมเนียม Cartea, Drissi และ Monga กำหนดปริมาณเดียวกันสำหรับสภาพคล่องแบบรวมศูนย์เป็น "การสูญเสียที่คาดการณ์ได้" โดยมาถึงการเคลื่อนที่ที่ปรับขนาดตามความผันผวนเดียวกันด้วยเส้นทางที่แตกต่างกัน

ข้อคิดเชิงปฏิบัติสำหรับ LP ที่ตรวจสอบสมุดคำสั่งซื้อขายสด: APR ค่าธรรมเนียมเป็นตัวเลขรวม; ค่าธรรมเนียม + markout คือสุทธิ ตำแหน่งสามารถแสดงผลตอบแทนค่าธรรมเนียมที่ดีและ markout ที่เป็นลบอย่างมาก และผลรวมคือสิ่งที่คุณได้รับจริง ผู้เก็งกำไรที่ตระหนักถึง markout นั้นกับคุณคือผู้ค้นหาเดียวกันที่ระบุไว้ใน บทความ MEV และ mempool — การ backrun กับราคา AMM ที่ล้าสมัยหลังจากการเคลื่อนไหวของ oracle ทุกครั้งคือการสกัด LVR บล็อกต่อบล็อก และมันคือจุดสิ้นสุดของ MEV ที่เป็นประโยชน์และแก้ไขราคา แม้ว่าจะเป็นจุดสิ้นสุดที่เป็นพิษของ PnL ของคุณก็ตาม

เมื่อการเป็น LP ชนะการถือครองจริง ๆ

ยุบทุกอย่างไปสู่การตัดสินใจที่มันให้บริการ ป้องกันความเสี่ยงของตลาดและตำแหน่ง LP เป็น +EV เทียบกับเกณฑ์มาตรฐานเมื่ออัตราการรับรายได้ค่าธรรมเนียมเกินอัตรา LVR:

โดยที่ $f$ คือระดับค่าธรรมเนียมของพูลและ $\tau$ คือการหมุนเวียน — ปริมาณการซื้อขายหารด้วย TVL ต่อหน่วยเวลา จัดเรียงใหม่ เงื่อนไขคือการเปรียบเทียบความผันผวนสองอย่าง กระแสค่าธรรมเนียมบ่งบอกถึง ความผันผวนจุดคุ้มทุน

และ LP ชนะเมื่อความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง ต่ำกว่า สิ่งนี้ นี่คือเวอร์ชันของ AMM ของ implied-versus-realized: พูลเสนอราคา implied vol ผ่านผลตอบแทนค่าธรรมเนียม และการให้สภาพคล่องคือการขายความผันผวนในระดับนั้น จุดอ้างอิงที่ใช้งานได้จริง (การหมุนเวียนเป็นสมมติฐานอย่างชัดเจน เลือกให้เป็นตัวแทนของพูลที่ใช้งานอยู่):

• พูล 0.05%, การหมุนเวียน 1.0/วัน (ปริมาณ ≈ TVL รายวัน): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ รายวัน ต่ำกว่าความผันผวนรายวันจริง ~6.3% LP จะนำหน้า
• พูล 0.30%, การหมุนเวียน 0.2/วัน: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ รายวัน
• Stablecoin / คู่ที่สัมพันธ์กัน, $\sigma \approx 0.2\%$ รายวัน: LVR คือ $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ ต่อวัน — แทบไม่มีอะไรเลย เพราะ LVR ปรับตาม กำลังสอง ของความผันผวน ผลตอบแทนค่าธรรมเนียมเกือบทั้งหมดจะครอบคลุมมัน

ความขึ้นอยู่กับกำลังสองนั้นคือกลยุทธ์ทั้งหมดในข้อเท็จจริงเดียว การลดความผันผวนของคู่ลงครึ่งหนึ่งจะลดการสูญเสียลงสี่เท่า ในขณะที่ผลตอบแทนค่าธรรมเนียมไม่ได้รับผลกระทบ นี่คือเหตุผลที่ความได้เปรียบของ LP ที่ยั่งยืนอยู่ใน คู่ที่มี σ ต่ำ — คู่ stablecoin, คู่ liquid-staking-token/ETH และคู่ที่สัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดอื่นๆ — และเหตุใดการเป็น LP ในคู่ที่มีความผันผวนจึงเป็นการเดิมพันว่าค่าธรรมเนียมนั้นพิเศษ หรือคุณสามารถป้องกันความเสี่ยงและปรับสมดุลได้เร็วกว่าที่พูลจะสูญเสีย

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

ปัจจัยนำเข้าเดียวที่การตัดสินใจทั้งหมดขึ้นอยู่กับคือ $\sigma$ — ไม่ใช่ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงเมื่อเดือนที่แล้ว แต่เป็นการคาดการณ์ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง ในช่วงเวลาการถือครอง ซึ่งเป็นปัญหาการคาดการณ์ความผันผวนอย่างแม่นยำ การคาดการณ์ความผันผวนล่วงหน้าหนึ่งวันของ GARCH ที่เสียบเข้ากับ $\sigma^\ast$ เปลี่ยน "พูลนี้จ่ายเพียงพอหรือไม่" ให้เป็นสัญญาณที่ใช้งานได้และอัปเดตได้: เป็น LP เมื่อการคาดการณ์อยู่ต่ำกว่าจุดคุ้มทุน ถอยออกเมื่อการเปลี่ยนแปลงระบอบความผันผวนผลักดันให้สูงขึ้น

การรวมศูนย์ไม่เปลี่ยนอัตราส่วนในขณะที่คุณอยู่ในช่วง — มันคูณผลตอบแทนค่าธรรมเนียมและ LVR ด้วย $\Lambda$ เดียวกัน ดังนั้นอสมการค่าธรรมเนียมเทียบกับความผันผวนจึงไม่ขึ้นกับขนาด ในช่วง สิ่งที่มันเปลี่ยนคือทุกอย่างรอบขอบ: ช่วงที่แคบใช้เวลาน้อยลงในช่วง (ไม่มีค่าธรรมเนียม, IL คงที่เมื่อออก) และต้องการการปรับสมดุลเชิงรุกที่ค่าแก๊สและ markout การเข้าใหม่เป็นต้นทุนจริง ดังนั้นกฎที่ซื่อสัตย์สำหรับช่วงที่แคบคือแคบ: ให้เหตุผลเฉพาะเมื่อการคาดการณ์ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงของคุณต่ำเมื่อเทียบกับความกว้างของช่วง หรือเมื่อคุณกำลังจัดการและป้องกันความเสี่ยงตำแหน่งอย่างแข็งขันแทนที่จะตั้งค่าและลืมมัน กลไกของการจัดการเชิงรุกนั้น — ตัวกระตุ้นการปรับสมดุล, การป้องกันความเสี่ยงเดลต้าของสินค้าคงคลังที่เปลี่ยนแปลงของพูล, และการเปลี่ยนค่าธรรมเนียม − LVR carry ให้เป็นกลยุทธ์ที่ป้องกันความเสี่ยง — เป็นหัวข้อของบทความคู่ขนานเกี่ยวกับ กลยุทธ์ LP ของ Uniswap v3 และการป้องกันความเสี่ยง

สิ่งที่ควรนำไปใช้

• Impermanent loss มีรูปแบบปิด, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, สมมาตรใน log-price (การเคลื่อนไหว 2 เท่าและ −50% ทั้งคู่มีค่าใช้จ่าย 5.72%) และกำลังสองใน log-return ใกล้จุดเข้า — ลายนิ้วมือของการจ่ายเงินแบบ short-gamma
• สภาพคล่องแบบรวมศูนย์คือ IL ที่มีเลเวอเรจ การสูญเสียความแตกต่างสัมบูรณ์ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับ $L$ ที่กำหนด แต่เงินทุนเท่ากันจะใช้ $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ เท่าของ $L$ มากขึ้น ดังนั้นทั้ง IL และค่าธรรมเนียมจะปรับตาม $\Lambda$ — และตำแหน่งจะคงที่ในสินทรัพย์ที่ขาดทุนเมื่อราคาออกจากช่วง
• LVR คือการสูญเสียที่รอดจากการป้องกันความเสี่ยง เมื่อเทียบกับพอร์ตโฟลิโอที่ปรับสมดุล พูลผลิตภัณฑ์คงที่สูญเสีย $\sigma^2/8$ ของมูลค่าต่อหน่วยเวลาโดยไม่คำนึงถึงค่าธรรมเนียม; PnL ที่ป้องกันความเสี่ยงของ LP คือค่าธรรมเนียม − LVR − ค่าแก๊ส ซึ่งเป็น short-variance carry
• Markout คือ LVR ที่วัดจากการเติมจริง Markout ต่อบล็อกวัดการเลือกที่ไม่พึงประสงค์โดยตรง และบันทึกเชิงประจักษ์แสดงให้เห็นว่า LP v3 จำนวนมากมีผลตอบแทนสุทธิเป็นลบเมื่อเทียบกับการถือครองเมื่อนับรวมแล้ว APR ค่าธรรมเนียมเป็นตัวเลขรวม; ค่าธรรมเนียม + markout คือสุทธิ
• การตัดสินใจคืออสมการเดียว LP ชนะเกณฑ์มาตรฐานเมื่อผลตอบแทนค่าธรรมเนียมเกิน $\sigma^2/8$ นั่นคือเมื่อความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงลดลงต่ำกว่าจุดคุ้มทุนที่บ่งบอกด้วยค่าธรรมเนียม $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$ เนื่องจาก LVR ปรับตาม $\sigma^2$ ความได้เปรียบจึงอยู่ในคู่ที่มีความผันผวนต่ำและสัมพันธ์กัน — และปัจจัยนำเข้าที่ตัดสินใจคือการคาดการณ์ความผันผวน

ข้อมูลอ้างอิง

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.