Impermanent LossとLVR：LP収益性の真の数学

流動性を提供することは、利回り商品のように見え、ショートオプションの帳簿のように振る舞います。プールのダッシュボードに表示されるAPRの見出しはグロス値であり、流入する手数料を数え、流出する2つのコスト（ポジションが預金と乖離することによる損失（インパーマネントロス）と、すべての価格変動で古い引用を拾う裁定取引業者への着実でずる賢い出血（リバランスに対する損失））を静かに無視します。会計を正しく理解すれば、ビジネス全体は1つの不等式に帰着します。手数料の流れは、ポジションを保有することによるボラティリティ駆動のコストを上回るか？間違えれば、あなたは分散を価格設定するのを忘れた分散の体系的な売り手です。

この記事は、リバランスに対する損失に言及し、ここを指し示すことで終わったクオンツのためのUniswap v3の約束された続編です。私たちは、インパーマネントロスの閉形式、集中流動性がレバレッジされたILである理由、σ²/8 LVRの結果とそれが可能にする正確なPnL分解、ブロックごとのマークアウトが逆選択を経験的に測定する方法、そしてLPポジションが単にトークンを保有するよりも実際に+EVである時期を教えてくれる損益分岐点条件（手数料とボラティリティの比較）という第一原理から収益性計算を構築します。

定積不変式とインパーマネントロスの誕生

Uniswap v2プールは、リスク性トークンの準備金$x$とヌメレールトークンの準備金$y$を保有し、すべての取引で$x \cdot y = k$を強制します。リスク性資産の限界価格は$P = y/x$です。$k$が保存されるため、任意の価格$P$での準備金は固定されます。

価格$p_0$で準備金$(x_0, y_0)$から開始し、価格が$p$に変動するとします。LPのポジションは、新しい価格で評価すると、次のようになります。

もしプールせずに預金されたトークンを単に保有していたら、次の価値があったでしょう。

価格比$r = p/p_0$を定義します。割り算すると、$\sqrt{k}$と$\sqrt{p_0}$はきれいにキャンセルされ、インパーマネントロスは価格比のみの関数として残ります。

それがオブジェクト全体です。すべての$r \neq 1$に対して負であり、価格がエントリー価格に戻った場合にのみゼロになります。これは、価格が戻れば消滅するという意味で「インパーマネント」です。2つの特性を理解する価値があります。

対数価格に対して対称です。 $r \to 1/r$を代入すると、$\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$であるため、式は変化しません。2倍と半減は同じように損害を与えます。具体的には、2倍の動き（$r=2$）と-50%の動き（$r = 0.5$）はどちらも次のようになります。

対称性は、価格比を対数で記述すると最も明確になります。$u = \ln r$の場合、簡単な操作でILは双曲線正割に収束します。

これにより、対数リターンにおける二次的な形状が明確になります。エントリー価格付近では、ILは対数価格変動の二乗に比例して増加します。これはショートガンマペイオフの特徴であり、小さな変動では無視できるほどにとどまり、トレンドでは大きく影響する理由です。

これらの数字は、測定対象を思い出さない限り小さく見えます。ILは保有に対するギャップであり、そのベンチマークに対してのみ実現されます。4倍になったトークンは、LPにドル建てで大きな利益をもたらしますが、保有していた場合よりも20%少ないだけです。ILはあなたが感じる損失ではありません。それはあなたが負担するために支払われるべき機会費用です。手数料の流れがその支払いとなります。それが十分かどうかは、この記事の残りの部分で説明します。

集中流動性はレバレッジされたインパーマネントロスである

Uniswap v3では、LPは資本を価格範囲$[p_a, p_b]$に限定できます。この範囲内では、ポジションはv2プールとまったく同じように動作します（同じボンディングカーブ）が、そのバンドをカバーするために必要な準備金のみを使用します（v3メカニクス記事で導出された仮想準備金構築）。ILに対する結果は明確であり、1行の代数から導き出されます。

$s = \sqrt p$と書きます。$[p_a, p_b]$に流動性$L$を持つv3ポジションは、価格$p_0$でエントリーし、$p$でまだ範囲内にある場合、$x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$と$y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$を保有します。その価値から、初期トークンのHODL価値を差し引いて計算すると、$p_a$と$p_b$を含むすべてがキャンセルされます。

これは、同じ$L$を持つv2プールと同じ絶対乖離損失です。範囲の境界は現れません。では、追加の苦痛はどこから来るのでしょうか？資本からです。$[p_a, p_b]$に集中することで、同じドルで遥かに大きな$L$を裏付けることができます。エントリー価格を中心に幾何学的に配置された範囲の場合、増幅係数は正確に次のようになります。

これはv3の「資本効率」乗数です。フルレンジポジションは$\Lambda = 1$を持ちます。$0.5p_0$から$2p_0$までの範囲は$\Lambda \approx 3.4$を与えます。$p_0 = 3000$（±10%）を中心とする$[2700, 3300]$バンドは$\Lambda \approx 20.4$を与えます。絶対損失は$L$に比例し、同額の資本は$\Lambda$倍の$L$を購入するため、分数ILも同じようにスケールします。

±10%のポジション、エントリー価格3,000ドルを取り、価格を上昇させます。上記の表のv2の数値は、約20倍になります。

フルレンジLPには11ベーシスポイントのコストがかかる10%の変動は、集中LPには保有に対して2.3%のコストがかかります。そして、境界ではさらに悪化します。なぜなら、範囲には上記の式が隠している2番目のエッジがあるからです。**価格が$p_b$を超えると、ポジションは100%ヌメレールになり、手数料を稼ぐのをやめ、その乖離は境界の構成で固定されます。**集中LPは、上昇途中でリスク資産を完全に売却しており、今やそれなしでさらなる上昇を眺めています。これは、プレミアムの流れが停止した、ロックされたショートストラドルのテールです。集中は、手数料収入と損失の両方に対するレバレッジであり、さらに、素朴な$\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$スケーリングでは捉えられないパス依存性（範囲内で費やされた時間）も伴います。

LVR：市場のせいにできない損失

インパーマネントロスは、LPをパッシブなHODLerと比較して測定しますが、そのベンチマークは市場リスクを静かに密輸しています。「IL vs HODL」があなたに請求するもののほとんどは、トークンを所有することでとにかく負っていたであろう方向性のあるエクスポージャーにすぎません。より鋭い分解、つまりAMMであることに特有のコストを分離する分解は、Milionis、Moallemi、Roughgarden、ZhangによるAutomated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046)からの**リバランスに対する損失（LVR）**です。

その考え方は、LPを保有と比較するのではなく、プールとまったく同じトークン量（同じデルタ、同じ市場エクスポージャー）を常に保有するリバランスポートフォリオと比較することです。ただし、プールのボンディングカーブではなく、摩擦のない外部市場価格で取引します。両方のポートフォリオは同じ価格リスクを負うため、一方を他方から差し引くと、市場ノイズが完全にキャンセルされ、AMMであることの構造的コストのみが残ります。つまり、裁定取引業者が、LPではなく、すべての価格変動を捉えるためにプールが失うお金です。その残りがLVRです。

外部価格をボラティリティ$\sigma$を持つ幾何ブラウン運動としてモデル化します。この論文の中心的な結果（著者らはこれを「AMMのブラック・ショールズ式」と呼んでいます）は、LVRが決定論的で非負のドリフトとして蓄積されることです。

ここで、$x(P)$は価格の関数としてのプールのリスク資産保有量であり、$x'(P) < 0$（AMMは価格が上昇するとリスク資産を売却します）。定積プールの場合、$x(P) = L/\sqrt P$なので、$|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$となり、プール価値は$V = 2L\sqrt P$なので、プール価値の割合としてのレートは定数に収束します。

これが有名なσ²/8です。これは手数料に依存せず、在庫に依存しません。定積プールは、手数料が1ドルも計上される前に、裁定取引によって単位時間あたり$\sigma^2/8$の価値を失います。日次ボラティリティが5%の場合、これは毎日$0.05^2/8 \approx 3.1$ベーシスポイント、つまり年間プール価値の約11%に相当します。集中ポジションの場合、同じロジックで範囲内では$\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$となります。ILを増幅したレバレッジは、LVRも同じ係数で増幅します。

LVRが正しい会計単位であり、ILがそうではない理由は、1つの特性に帰着します。**LPとリバランスの差はボラティリティがゼロです。**それは純粋な予測可能なドリフト$-\!\int \ell\,dt$です。これは、価格リスクが完全にヘッジ可能であることを意味します。動的デルタヘッジでリバランスポートフォリオを複製すると、残るのは決定論的です。したがって、LPの真の経済学は次のとおりです。

最初の項をヘッジすると、LPは手数料 − LVR − ガスを保有することになります。これは、キャリーが手数料の流れであり、コストが継続的で予測可能なボラティリティ駆動の出血であるショート分散ポジションです。これは、ショートオプションの帳簿のガンマとシータのトレードオフとまったく同じです。LVRはガンマコスト$\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$であり、手数料はあなたが徴収するシータであり、ブラック・ショールズオプション価格設定との類推は構造的であり、装飾的ではありません。これはまた、アベラネダ・ストイコフがオーダーブックマーケットメーカーのために形式化する逆選択とスプレッドの間の緊張と同じであり、プールの手数料ティアは提示されたスプレッドの役割を果たします。

1つの改良により、フレームワークは正直に保たれます。クリーンなσ²/8は、連続的でコストのかからない裁定取引を前提としています。実際には、手数料ティア自体が裁定取引のないバンドを作成します。裁定取引業者は、価格変動が手数料を超えた場合にのみ取引するため、実現されたLVRは摩擦のない数値よりも小さくなり、手数料は二重の役割を果たします。つまり、あなたに支払い、あなたを保護するバンドを広げます。手数料を考慮した離散時間バージョンは、続編のAutomated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023)で詳しく説明されています。連続的なσ²/8は、出血の上限として扱ってください。

マークアウト：ブロックごとの逆選択の測定

LVRは拡散に関する定理です。それが実際のフィルに与える経験的な影はマークアウトであり、ボラティリティのモデルをまったく使わずに、ライブポジションで逆選択を測定する方法です。

マークアウトは、ある期間$\Delta$後の参照「公正」価格に対してフィルを評価します。パッシブな流動性プロバイダーにとって、あなたの範囲に対して取引されるすべてのスワップは、あなたが選択しなかったフィルです。テイカーが選択し、彼らにとって有利だったから選択しました。LPのフィルに対するマークアウトを、署名付きの在庫変更にその後の価格変動を掛けたものとして定義します。

ここで、$\Delta q$は、LPが取引で取得したリスク資産の量です（LPが売却した場合は負）。情報に基づいた有害なフローは、これを体系的に負にします。プールは、価格が下落する直前に、正しい売り手からリスク資産を買い、価格が上昇する直前に、正しい買い手に売ります。多くのフィルで平均すると、LPは次のティックの悪い側にいます。これは、LVRが一度に1つのスワップで実現されることです。

ブロックごとに測定すると、これはクリーンな逆選択指標になります。LPのブロックごとの純在庫変更を取り、1つまたは数ブロック後の価格に対してマークします。ポジションの寿命にわたって集計すると、ブロックごとのマークアウトの合計が経験的なLVRになります。それが重要な理由は、マークアウトの数値が通常醜いからです。大規模な経験的研究（Loesch、Hindman、Richardson、Welchによる2021年のUniswap v3ポジション分析（Topaze Blue / Bancor研究）から始まり、その後のLVR定量化ダッシュボードによって強化された）では、多くの主要なプールでv3 LPの大部分（半分以上）が、ILと逆選択が手数料と相殺された後、単にトークンを保有するよりもパフォーマンスが悪いことがわかりました。Cartea、Drissi、Mongaは、集中流動性について同じ量を「予測可能な損失」として形式化し、異なる経路で同じボラティリティスケールされたドリフトに到達しています。

ライブブックを監視するLPにとっての実用的な教訓は、手数料APRはグロス値であり、手数料 + マークアウトがネット値であるということです。ポジションは健全な手数料利回りと深く負のマークアウトを示すことがありますが、その合計が実際に稼いだものです。あなたに対してそのマークアウトを実現している裁定取引業者は、MEVとメンプールに関する記事で紹介されているのと同じサーチャーです。すべてのオラクル移動後の古いAMM引用に対するバックランは、ブロックごとのLVR抽出であり、それはMEVスペクトルの良性で価格修正的な側面であると同時に、あなたのPnLの有害な側面でもあります。

LPが実際に保有を上回る場合

すべてを、それが役立つ決定に集約します。市場リスクをヘッジすると、LPポジションは、手数料収入率がLVR率を上回る場合にのみ、そのベンチマークに対して+EVになります。

ここで、$f$はプールの手数料ティアであり、$\tau$は単位時間あたりのターンオーバー（取引量÷TVL）です。並べ替えると、条件は2つのボラティリティの比較になります。手数料の流れは損益分岐ボラティリティを意味します。

そして、実現ボラティリティがそれを下回る場合にLPは勝ちます。これはAMMのインプライド対実現のバージョンです。プールは手数料利回りを通じてインプライドボラティリティを提示し、流動性を提供することはそのレベルで分散を売ることです。いくつかの具体的な参照点（ターンオーバーは明らかに仮説的であり、アクティブなプールを代表するように選択されています）。

• 0.05%プール、ターンオーバー1.0/日（ボリューム ≈ TVL毎日）：$\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$毎日。実現日次ボラティリティが約6.3%を下回ると、LPは利益を出します。
• 0.30%プール、ターンオーバー0.2/日：$\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$毎日。
• ステーブルコイン/相関ペア、$\sigma \approx 0.2\%$毎日：LVRは1日あたり$\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$です。LVRはボラティリティの二乗に比例するため、実質的に何もありません。ほとんどすべての手数料利回りがそれをクリアします。

この二乗依存性は、戦略全体を1つの事実に集約しています。ペアのボラティリティを半分にすると、出血は4分の1になりますが、手数料利回りは影響を受けません。これが、永続的なLPの優位性が低σペア（ステーブルコインペア、リキッドステーキングトークン/ETHペア、その他の密接に相関するレッグ）に存在する理由であり、ボラティリティの高いペアのLPが、手数料が並外れているか、プールが出血するよりも速くヘッジしてリバランスできるという賭けである理由です。

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

決定全体が依存する唯一の入力は$\sigma$です。これは先月の実現ボラティリティではなく、保有期間中の実現ボラティリティの予測であり、まさにボラティリティ予測の問題です。GARCHの1日先ボラティリティ予測を$\sigma^\ast$に組み込むと、「このプールは十分に支払うか」という問いが、ライブで更新可能なシグナルに変わります。予測が損益分岐点を下回る場合はLPを行い、ボラティリティ体制の変更がそれを上回る場合は傍観します。

集中は、範囲内にある間は比率を変更しません。手数料利回りとLVRを同じ$\Lambda$で乗算するため、手数料とボラティリティの不等式は範囲内でスケール不変です。それが変更するのは、エッジ周辺のすべてです。狭い範囲は範囲内で過ごす時間が短く（手数料なし、範囲外ではILが固定）、ガスと再エントリーマークアウトが実際のコストとなるアクティブなリバランスを必要とします。したがって、狭い範囲に対する正直なルールは狭いです。実現ボラティリティ予測が範囲幅に対して低い場合、またはポジションを設定して忘れるのではなく、積極的に管理およびヘッジしている場合にのみ、それらを正当化してください。そのアクティブな管理のメカニズム（リバランストリガー、プールの変化する在庫のデルタヘッジ、手数料 - LVRキャリーをヘッジ戦略に変えること）は、Uniswap v3 LP戦略とヘッジに関する補足記事の主題です。

まとめ

• インパーマネントロスには閉形式があります。$\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$は対数価格に対して対称的であり（2倍と-50%の動きはどちらも5.72%のコスト）、エントリー付近では対数リターンに対して二次的です。これはショートガンマペイオフの特徴です。
• **集中流動性はレバレッジされたILです。**特定の$L$に対する絶対乖離損失は変わりませんが、同額の資本は$\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$倍の$L$を展開するため、ILと手数料の両方が$\Lambda$でスケールします。そして、価格が範囲外に出ると、ポジションは損失資産に固定されます。
• **LVRはヘッジ後も残る損失です。**リバランスポートフォリオと比較すると、定積プールは手数料に関係なく単位時間あたり$\sigma^2/8$の価値を失います。LPのヘッジされたPnLは手数料 - LVR - ガスであり、ショート分散キャリーです。
• **マークアウトは実際のフィルで測定されたLVRです。**ブロックごとのマークアウトは逆選択を直接定量化し、経験的記録は、それが計上されると、v3 LPの大部分が保有に対して純損失であることを示しています。手数料APRはグロスであり、手数料 + マークアウトがネットです。
• **決定は1つの不等式です。**LPは、手数料利回りが$\sigma^2/8$を超える場合、つまり実現ボラティリティが手数料が示唆する損益分岐点$\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$を下回る場合に、そのベンチマークを上回ります。LVRは$\sigma^2$に比例するため、優位性は低ボラティリティで相関性の高いペアに存在し、それを決定する入力はボラティリティ予測です。

参考文献

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.