الخسارة غير الدائمة و LVR: الرياضيات الحقيقية لربحية مزود السيولة

تبدو توفير السيولة كمنتج عائد وتتصرف كدفتر خيارات قصير. الرقم الرئيسي لمعدل العائد السنوي (APR) على لوحة تحكم المجمع هو رقم إجمالي: فهو يحسب الرسوم المتدفقة ويتجاهل بهدوء التكلفتين المتدفقتين للخارج — التباين بين ما يصبح عليه مركزك وما أودعته (الخسارة غير الدائمة)، والنزيف الأكثر ثباتًا وتسللاً للمراجحين الذين يلتقطون عروض أسعارك القديمة عند كل حركة سعر (الخسارة مقابل إعادة التوازن). إذا قمت بالمحاسبة بشكل صحيح، فإن العمل بأكمله يختزل إلى متباينة واحدة: هل يغطي تدفق الرسوم التكلفة المدفوعة بالتقلبات للاحتفاظ بالمركز؟ إذا أخطأت، فأنت بائع منهجي للتباين نسيت تسعير التباين.

هذه المقالة هي المتابعة الموعودة لمقالة Uniswap v3 for quants، والتي انتهت بتسمية الخسارة مقابل إعادة التوازن والإشارة إلى هنا. نبني حساب الربحية من المبادئ الأولى: الشكل المغلق للخسارة غير الدائمة في مجمع المنتج الثابت، ولماذا السيولة المركزة هي خسارة غير دائمة مُضاعفة، ونتيجة LVR البالغة σ²/8 والتحليل الدقيق للربح والخسارة الذي تتيحه، وكيف تقيس علامة الخروج لكل كتلة الاختيار السلبي تجريبيًا، وشرط التعادل — مقارنة الرسوم مقابل التقلبات — الذي يخبرك متى يكون مركز مزود السيولة إيجابي القيمة المتوقعة (+EV) فعليًا مقابل مجرد الاحتفاظ بالرموز.

ثابت المنتج الثابت وولادة الخسارة غير الدائمة

يحتفظ مجمع Uniswap v2 باحتياطيات $x$ من الرمز الخطير و$y$ من العملة القياسية ويفرض $x \cdot y = k$ على كل صفقة. السعر الهامشي للأصل الخطير هو $P = y/x$. نظرًا لأن $k$ محفوظ، فإن الاحتياطيات عند أي سعر $P$ تكون ثابتة:

ابدأ بسعر $p_0$ باحتياطيات $(x_0, y_0)$ ودع السعر ينجرف إلى $p$. قيمة مركز مزود السيولة، بسعر السوق الجديد، هي:

لو كنت قد احتفظت بالرموز المودعة بدلاً من تجميعها، لكانت قيمتك:

عرّف نسبة السعر $r = p/p_0$. بالقسمة، يلغي $\sqrt{k}$ و$\sqrt{p_0}$ بعضهما البعض بشكل نظيف، تاركين الخسارة غير الدائمة كدالة لنسبة السعر وحدها:

هذا هو الكائن بأكمله. إنه سلبي لكل $r \neq 1$ وصفر فقط عندما يعود السعر إلى حيث دخلت — "غير دائم" بالضبط لأنه يختفي إذا عاد السعر. هناك خاصيتان تستحقان الاستيعاب.

إنه متماثل في سعر اللوغاريتم. استبدل $r \to 1/r$: التعبير لا يتغير، لأن $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. المضاعفة والتنصيف يؤثران بنفس الطريقة. بشكل ملموس، حركة 2× ($r=2$) وحركة -50% ($r = 0.5$) كلاهما يعطيان:

التماثل يكون أوضح عندما تكتب نسبة السعر في اللوغاريتمات. مع $u = \ln r$، يؤدي التلاعب القصير إلى انهيار الخسارة غير الدائمة إلى قطع زائد:

مما يوضح شكل العائد اللوغاريتمي التربيعي: بالقرب من سعر الدخول، تنمو الخسارة غير الدائمة مع مربع حركة سعر اللوغاريتم — توقيع عائد جاما قصير، والسبب في بقائها ضئيلة للاهتزازات الصغيرة وتؤثر بشدة على الاتجاهات.

تبدو الأرقام صغيرة حتى تتذكر ما تقيسه: الخسارة غير الدائمة هي الفجوة مقابل الاحتفاظ، ولا تتحقق إلا بالنسبة لهذا المعيار. الرمز الذي يتضاعف 4 مرات يترك مزود السيولة رابحًا كثيرًا من حيث الدولار — فقط 20% أقل مما لو كان قد احتفظ به. الخسارة غير الدائمة ليست خسارة تشعر بها؛ إنها تكلفة فرصة يجب أن تدفع لك لتحملها. تدفق الرسوم هو هذا الدفع. وما إذا كان كافيًا هو بقية هذه المقالة.

السيولة المركزة هي خسارة غير دائمة مضاعفة

يتيح Uniswap v3 لمزود السيولة حصر رأس المال في نطاق سعري $[p_a, p_b]$. داخل النطاق، يتصرف المركز تمامًا مثل مجمع v2 — نفس منحنى الترابط — ولكن باستخدام الاحتياطيات اللازمة لتغطية هذا النطاق فقط (بناء الاحتياطي الافتراضي المشتق في مقالة ميكانيكا v3). نتيجة ذلك بالنسبة للخسارة غير الدائمة حادة، وتنتج عن سطر واحد من الجبر.

اكتب $s = \sqrt p$. مركز v3 بسيولة $L$ على $[p_a, p_b]$، تم الدخول فيه بسعر $p_0$ ولا يزال ضمن النطاق عند $p$، يحتفظ بـ $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ و$y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. احسب قيمته مطروحًا منها قيمة HODL لرموزه الأولية الخاصة به، وكل ما يتعلق بـ $p_a$ و$p_b$ يلغي بعضه البعض:

هذه هي نفس خسارة التباين المطلقة مثل مجمع v2 بنفس $L$ — حدود النطاق لا تظهر. فمن أين يأتي الألم الإضافي؟ من رأس المال. التركيز في $[p_a, p_b]$ يسمح لنفس الدولارات بدعم $L$ أكبر بكثير. بالنسبة لنطاق يتمركز هندسيًا حول سعر الدخول، فإن عامل التضخيم هو بالضبط:

مضاعف "كفاءة رأس المال" لـ v3. المركز ذو النطاق الكامل لديه $\Lambda = 1$؛ نطاق من $0.5p_0$ إلى $2p_0$ يعطي $\Lambda \approx 3.4$؛ نطاق $[2700, 3300]$ حول $p_0 = 3000$ (±10%) يعطي $\Lambda \approx 20.4$. نظرًا لأن الخسارة المطلقة تتناسب مع $L$ ورأس المال المتساوي يشتري $\Lambda$ ضعف $L$، فإن الخسارة غير الدائمة الكسرية تتناسب بنفس الطريقة:

خذ هذا المركز بنسبة ±10%، سعر الدخول 3000 دولار، وارفع السعر. يتم ضرب أرقام v2 من الجدول أعلاه بحوالي 20:

حركة بنسبة 10% تكلف مزود السيولة ذو النطاق الكامل أحد عشر نقطة أساس تكلف مزود السيولة المركز 2.3% مقابل الاحتفاظ. ويزداد الأمر سوءًا عند الحد، لأن النطاق له حافة ثانية تخفيها الصيغة أعلاه: بمجرد أن يتجاوز السعر $p_b$، يصبح المركز 100% عملة قياسية، ويتوقف عن كسب الرسوم، ويتجمد تباينه عند تكوين الحد. لقد باع مزود السيولة المركز الأصل الخطير بالكامل في طريقه صعودًا ويراقب الآن أي ارتفاع إضافي بدون أي منه — ذيل الشورت سترادل، محبوسًا، مع إيقاف تدفق العلاوة. التركيز هو رافعة مالية على كل من دخل الرسوم والخسارة، بالإضافة إلى اعتماد على المسار — الوقت الذي يقضيه في النطاق — لا يغطيه مقياس $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ الساذج.

LVR: الخسارة التي لا يمكنك إلقاء اللوم فيها على السوق

تقيس الخسارة غير الدائمة مزود السيولة مقابل محتفظ سلبي (HODLer)، وهذا المعيار يدس بهدوء مخاطر السوق: معظم ما يفرضه عليك "الخسارة غير الدائمة مقابل HODL" هو مجرد التعرض الاتجاهي الذي كنت ستحمله على أي حال بامتلاك الرموز. التحليل الأكثر دقة — الذي يعزل التكلفة الخاصة بكونك صانع سوق آلي (AMM) — هو الخسارة مقابل إعادة التوازن (LVR)، من Milionis، Moallemi، Roughgarden و Zhang، Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

الفكرة هي قياس أداء مزود السيولة ليس مقابل الاحتفاظ، بل مقابل محفظة إعادة توازن تحتفظ، في كل لحظة، بنفس كميات الرموز تمامًا مثل المجمع — نفس الدلتا، نفس التعرض للسوق — ولكنها تتداول بسعر السوق الخارجي الخالي من الاحتكاك بدلاً من مقابل منحنى الترابط الخاص بالمجمع. تحمل كلتا المحفظتين مخاطر سعرية متطابقة، لذا فإن طرح إحداهما من الأخرى يلغي ضوضاء السوق تمامًا ويترك فقط التكلفة الهيكلية لكونك صانع السوق الآلي: الأموال التي يخسرها المجمع لأن المراجحين، وليس مزود السيولة، يستحوذون على كل حركة سعر. هذا الباقي هو LVR.

نموذج السعر الخارجي كحركة براونية هندسية بتقلب $\sigma$. النتيجة المركزية للورقة — التي يسميها المؤلفون "صيغة بلاك-شولز لصناع السوق الآليين" — هي أن LVR يتراكم كـ انجراف حتمي وغير سلبي:

حيث $x(P)$ هو حيازة المجمع من الأصول الخطرة كدالة للسعر و$x'(P) < 0$ (يبيع صانع السوق الآلي الأصول الخطرة مع ارتفاع سعرها). بالنسبة لمجمع المنتج الثابت، $x(P) = L/\sqrt P$، لذا $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$، وبما أن قيمة المجمع هي $V = 2L\sqrt P$، فإن المعدل كـ كسر من قيمة المجمع ينهار إلى ثابت:

هذا هو σ²/8 الشهير. إنه لا يعتمد على الرسوم ولا على المخزون: مجمع المنتج الثابت ينزف $\sigma^2/8$ من قيمته لكل وحدة زمنية للمراجحة، نقطة على السطر. عند تقلب يومي بنسبة 5%، هذا يعني $0.05^2/8 \approx 3.1$ نقطة أساس كل يوم — حوالي 11% من قيمة المجمع سنويًا — قبل احتساب دولار واحد من الرسوم. بالنسبة للمركز المركز، يعطي نفس المنطق $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ أثناء وجوده في النطاق: الرافعة المالية التي ضخمت الخسارة غير الدائمة تضخم LVR بنفس العامل.

لماذا LVR هو وحدة الحساب الصحيحة، والخسارة غير الدائمة ليست كذلك، يعود إلى خاصية واحدة: الفرق بين مزود السيولة وإعادة التوازن له تقلب صفري. إنه انجراف يمكن التنبؤ به بحت، $-\!\int \ell\,dt$. هذا يعني أن مخاطر السعر قابلة للتحوط بالكامل — كرر محفظة إعادة التوازن بتحوط دلتا ديناميكي وما يتبقى هو حتمي. وبالتالي فإن اقتصاديات مزود السيولة الحقيقية هي:

تخلص من الحد الأول ويتبقى لمزود السيولة الرسوم − LVR − الغاز — مركز تباين قصير يكون حمله هو تدفق الرسوم وتكلفته نزيف مستمر، يمكن التنبؤ به، مدفوع بالتقلبات. هذا هو بالضبط مقايضة جاما-ثيتا لدفتر خيارات قصير: LVR هو تكلفة جاما $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$، والرسوم هي الثيتا التي تجمعها، والتشابه مع تسعير خيارات بلاك-شولز هيكلي، وليس زخرفيًا. وهو أيضًا نفس التوتر بين الاختيار السلبي والفارق الذي يصيغه أفيلانيدا-ستويكوف لصناع السوق في دفاتر الأوامر، حيث يلعب مستوى رسوم المجمع دور الفارق المعروض.

تحسين واحد يحافظ على الإطار صادقًا. يفترض σ²/8 النظيف مراجحة مستمرة وبدون تكلفة. في الواقع، يخلق مستوى الرسوم نفسه نطاقًا لا مراجحة فيه — يتداول المراجحون فقط بمجرد تجاوز حركة السعر للرسوم — لذا فإن LVR المحقق أصغر من الرقم الخالي من الاحتكاك، وتؤدي الرسوم وظيفتين: تدفع لك وتوسع النطاق الذي يحميك. تم تفصيل النسخة الواعية بالرسوم والمتقطعة الزمن في المتابعة Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023)؛ تعامل مع σ²/8 المستمر كحد أعلى للنزيف.

Markout: قياس الاختيار السلبي كتلة بكتلة

LVR هو نظرية حول الانتشار. الظل التجريبي الذي يلقيه على التعبئة الحقيقية هو markout، وهو كيف تقيس الاختيار السلبي على مركز مباشر بدون أي نموذج للتقلب على الإطلاق.

يقوم Markout بتقييم التعبئة مقابل سعر "عادل" مرجعي بعد فترة زمنية $\Delta$. بالنسبة لمزود السيولة السلبي، كل مبادلة تتم مقابل نطاقك هي تعبئة لم تخترها — اختارها المتداول، واختارها لأنها كانت جيدة له. عرّف markout مزود السيولة على التعبئة على أنه التغير في المخزون الموقع مضروبًا في حركة السعر اللاحقة:

حيث $\Delta q$ هي كمية الأصل الخطير التي اكتسبها مزود السيولة في الصفقة (سالبة عندما باع مزود السيولة). التدفق المستنير والسام يجعل هذا سلبيًا بشكل منهجي: يشتري المجمع الأصل الخطير من بائع محق، قبل انخفاض السعر مباشرة، ويبيع لمشترٍ محق، قبل ارتفاعه مباشرة. بمتوسط على العديد من التعبئات، يكون مزود السيولة في الجانب الخطأ من التكة التالية — وهو بالضبط LVR المحقق مبادلة تلو الأخرى.

عند قياسه لكل كتلة، يصبح هذا مقياسًا نظيفًا للاختيار السلبي: خذ صافي التغير في مخزون مزود السيولة على مدى كتلة وقارنه بالسعر بعد كتلة واحدة أو بضع كتل. مجمعة على مدى عمر المركز، فإن مجموع markouts لكل كتلة هو LVR التجريبي. السبب في أهمية ذلك هو أن رقم markout عادة ما يكون قبيحًا. أظهرت الدراسات التجريبية الكبيرة — بدءًا من تحليل Loesch و Hindman و Richardson و Welch لعام 2021 لمراكز Uniswap v3 (دراسة Topaze Blue / Bancor) وتعززت بواسطة لوحات معلومات قياس LVR التي تلت ذلك — أن نسبة كبيرة من مزودي السيولة في v3، في العديد من المجمعات الرئيسية حوالي النصف أو أكثر، تراجعت عن مجرد الاحتفاظ بالرموز بمجرد احتساب الخسارة غير الدائمة والاختيار السلبي مقابل الرسوم. قام Cartea و Drissi و Monga بصياغة نفس الكمية للسيولة المركزة على أنها "خسارة يمكن التنبؤ بها"، ووصلوا إلى نفس الانجراف المتناسب مع التقلبات بطريقة مختلفة.

الخلاصة العملية لمزود السيولة الذي يراقب دفترًا مباشرًا: معدل العائد السنوي للرسوم هو رقم إجمالي؛ الرسوم + markout هو الصافي. يمكن أن يظهر المركز عائد رسوم صحي و markout سلبيًا للغاية، والمجموع هو ما كسبته بالفعل. المراجحون الذين يحققون هذا markout ضدك هم نفس الباحثين الموصوفين في مقالة MEV و mempool — تشغيل خلفي ضد عرض أسعار AMM قديم بعد كل حركة أوراكل هو استخراج LVR، كتلة بكتلة، وهو الطرف الحميد لتصحيح الأسعار من طيف MEV حتى لو كان الطرف السام لربحك وخسارتك.

متى يتفوق توفير السيولة فعليًا على الاحتفاظ

اختزل كل شيء إلى القرار الذي يخدمه. قم بتحوط مخاطر السوق ويكون مركز مزود السيولة إيجابي القيمة المتوقعة (+EV) مقابل معياره بالضبط عندما يغطي معدل دخل الرسوم معدل LVR:

حيث $f$ هو مستوى رسوم المجمع و$\tau$ هو حجم التداول — حجم التداول مقسومًا على إجمالي القيمة المقفلة (TVL)، لكل وحدة زمنية. عند إعادة الترتيب، يكون الشرط مقارنة بين تقلبين. يشير تدفق الرسوم إلى تقلب نقطة التعادل

ويفوز مزود السيولة كلما كان التقلب المحقق أقل منه. هذه هي نسخة صانع السوق الآلي من التقلب الضمني مقابل المحقق: يقتبس المجمع تقلبًا ضمنيًا من خلال عائد رسومه، وتوفير السيولة هو بيع التباين عند هذا المستوى. بعض النقاط المرجعية المحسوبة (حجم التداول افتراضي بوضوح، تم اختياره ليكون ممثلاً للمجمعات النشطة):

• مجمع 0.05%، حجم تداول 1.0/يوم (الحجم ≈ TVL يوميًا): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ يوميًا. أقل من ~6.3% تقلب يومي محقق، يكون مزود السيولة متقدمًا.
• مجمع 0.30%، حجم تداول 0.2/يوم: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ يوميًا.
• زوج عملات مستقرة / زوج مرتبط، $\sigma \approx 0.2\%$ يوميًا: LVR هو $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ يوميًا — لا شيء تقريبًا، لأن LVR يتناسب مع مربع التقلب. أي عائد رسوم تقريبًا يغطيه.

هذا الاعتماد التربيعي هو الاستراتيجية بأكملها في حقيقة واحدة. يؤدي خفض تقلب الزوج إلى الربع إلى خفض النزيف، بينما لا يتأثر عائد الرسوم. هذا هو السبب في أن ميزة مزود السيولة الدائمة تكمن في الأزواج منخفضة التقلب (low-σ) — أزواج العملات المستقرة، أزواج رموز التخزين السائلة/الإيثيريوم، وغيرها من الأرجل المرتبطة بإحكام — ولماذا توفير السيولة للأزواج المتقلبة هو رهان على أن الرسوم استثنائية أو أنك تستطيع التحوط وإعادة التوازن بشكل أسرع من نزيف المجمع.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

المدخل الوحيد الذي يعتمد عليه القرار بأكمله هو $\sigma$ — ليس التقلب المحقق للشهر الماضي، بل توقع التقلب المحقق على مدى فترة الاحتفاظ، وهو بالضبط مشكلة التنبؤ بالتقلبات. توقع تقلب GARCH ليوم واحد يتم إدخاله في $\sigma^\ast$ يحول "هل يدفع هذا المجمع ما يكفي" إلى إشارة حية قابلة للتحديث: قم بتوفير السيولة عندما يكون التوقع أقل من نقطة التعادل، وابتعد عندما يدفعها تحول نظام التقلبات إلى الأعلى.

التركيز لا يغير النسبة أثناء وجودك في النطاق — فهو يضاعف عائد الرسوم و LVR بنفس $\Lambda$، لذا فإن عدم المساواة بين الرسوم والتقلبات ثابتة الحجم داخل النطاق. ما يغيره هو كل شيء حول الحواف: النطاق الضيق يقضي وقتًا أقل في النطاق (لا رسوم، خسارة غير دائمة مجمدة عند الخروج)، ويتطلب إعادة توازن نشطة تكون تكاليف الغاز وعلامة إعادة الدخول تكاليف حقيقية. لذا فإن القاعدة الصادقة للنطاقات الضيقة ضيقة: بررها فقط عندما يكون توقع التقلب المحقق لديك منخفضًا بالنسبة لعرض النطاق، أو عندما تدير المركز وتحوطه بنشاط بدلاً من إعداده ونسيانه. آليات تلك الإدارة النشطة — محفزات إعادة التوازن، وتحوط دلتا لمخزون المجمع المتغير، وتحويل الرسوم - LVR إلى استراتيجية محوطة — هي موضوع المقال المصاحب حول استراتيجيات وتحوطات مزود السيولة في Uniswap v3.

ما يجب استخلاصه

• الخسارة غير الدائمة لها شكل مغلق، $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$، متماثل في سعر اللوغاريتم (حركة 2× وحركة -50% تكلفان 5.72% على حد سواء) وتربيعي في العائد اللوغاريتمي بالقرب من الدخول — بصمة عائد جاما قصير.
• السيولة المركزة هي خسارة غير دائمة مضاعفة. خسارة التباين المطلقة لا تتغير لـ $L$ معين، لكن رأس المال المتساوي ينشر $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ ضعف $L$، لذا تتناسب كل من الخسارة غير الدائمة والرسوم مع $\Lambda$ — ويتجمد المركز في الأصل الخاسر بمجرد خروج السعر من النطاق.
• LVR هي الخسارة التي تبقى بعد التحوط. مقارنة بمحفظة إعادة التوازن، ينزف مجمع المنتج الثابت $\sigma^2/8$ من القيمة لكل وحدة زمنية بغض النظر عن الرسوم؛ ربح وخسارة مزود السيولة المحوط هو الرسوم − LVR − الغاز، وهو حمل تباين قصير.
• Markout هو LVR المقاس على التعبئات الحقيقية. يقيس markout لكل كتلة الاختيار السلبي مباشرة، ويظهر السجل التجريبي أن حصة كبيرة من مزودي السيولة في v3 صافية سلبية مقابل الاحتفاظ بمجرد احتسابها. معدل العائد السنوي للرسوم إجمالي؛ الرسوم + markout هو الصافي.
• القرار هو متباينة واحدة. يتفوق مزود السيولة على معياره عندما يتجاوز عائد الرسوم $\sigma^2/8$، أي عندما ينخفض التقلب المحقق إلى ما دون نقطة التعادل الضمنية للرسوم $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$. نظرًا لأن LVR يتناسب مع $\sigma^2$، فإن الميزة تكمن في الأزواج منخفضة التقلب والمرتبطة — والمدخل الذي يحددها هو توقع التقلب.

المراجع

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.