无常损失与LVR：LP盈利能力的真实数学

提供流动性看起来像是一种收益产品，但其行为却像一本做空期权的账簿。池仪表板上的年化收益率（APR）标题是一个总数：它计算流入的费用，却悄然忽略了流出的两种成本——你的头寸演变与你存入的资产之间的差异（无常损失），以及套利者在每次价格变动时利用你的陈旧报价进行套利所造成的持续、隐蔽的损失（再平衡损失）。如果会计核算正确，整个业务就简化为一条不等式：费用流能否覆盖持有头寸的波动性驱动成本？如果核算错误，你就是一个系统性的方差卖方，却忘记了对方差进行定价。

本文是《量化交易员的Uniswap v3》的后续文章，该文以再平衡损失（LVR）结尾，并指向此处。我们将从第一性原理构建盈利能力计算：恒定乘积池中无常损失的封闭形式，为什么集中流动性是杠杆化的无常损失，σ²/8 LVR结果及其所实现的精确盈亏分解，每区块标记出价如何经验性地衡量逆向选择，以及盈亏平衡条件——费用与波动性的比较——它告诉你何时LP头寸相对于简单持有代币而言实际上是+EV的。

恒定乘积不变量与无常损失的诞生

Uniswap v2池持有风险代币的储备$x$和计价代币的储备$y$，并在每次交易中强制执行$x \cdot y = k$。风险资产的边际价格是$P = y/x$。因为$k$是守恒的，所以在任何价格$P$下的储备都是固定的：

从价格$p_0$和储备$(x_0, y_0)$开始，让价格漂移到$p$。LP的头寸价值，按新价格计算，为

如果你只是持有存入的代币而不是将其放入池中，你的价值将是

定义价格比率$r = p/p_0$。相除后，$\sqrt{k}$和$\sqrt{p_0}$干净地抵消，留下无常损失仅作为价格比率的函数：

这就是整个对象。对于每个$r \neq 1$，它都是负的，只有当价格回到你进入时的水平时才为零——“无常”正是因为它在价格回升时消失。有两点值得深入理解。

它在对数价格上是对称的。 代入$r \to 1/r$：表达式不变，因为$\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$。翻倍和减半的伤害是相同的。具体来说，2倍的变动（$r=2$）和-50%的变动（$r = 0.5$）都会导致

当您以对数形式编写价格比率时，对称性最为清晰。使用$u = \ln r$，一个简单的操作将IL折叠成一个双曲正割：

这明确地显示了对数收益的二次方形状：在入场价格附近，IL随着对数价格变动的平方而增长——这是做空伽马收益的特征，也是它在小幅波动时可以忽略不计，而在趋势中却会造成严重损失的原因。

这些数字看起来很小，直到你记住它们衡量的是什么：IL是相对于持有的差距，它只有相对于这个基准才会被实现。一个翻了4倍的代币让LP在美元方面赚了很多钱——只是比他们持有少20%。IL不是你感受到的损失；它是一种你必须承担的机会成本。费用流就是这种支付。它是否足够，是本文其余部分的内容。

集中流动性是杠杆化的无常损失

Uniswap v3允许LP将资金限制在价格范围$[p_a, p_b]$内。在该范围内，头寸的行为与v2池完全相同——相同的绑定曲线——但仅使用覆盖该范围所需的储备（v3机制文章中推导的虚拟储备结构）。对IL的影响是显著的，并且它源于一行代数。

写$s = \sqrt p$。一个在$[p_a, p_b]$上具有流动性$L$的v3头寸，以价格$p_0$进入并在$p$仍处于范围内，持有$x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$和$y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$。计算其价值减去其自身初始代币的HODL价值，所有涉及$p_a$和$p_b$的部分都抵消了：

这与具有相同$L$的v2池的绝对背离损失相同——范围边界不出现。那么额外的痛苦从何而来？来自资本。集中到$[p_a, p_b]$允许相同的美元支持更大的$L$。对于几何中心位于入场价格的范围，放大因子恰好是

即v3的“资本效率”乘数。一个全范围头寸的$\Lambda = 1$；一个从$0.5p_0$到$2p_0$的范围给出$\Lambda \approx 3.4$；一个围绕$[2700, 3300]$（±10%）的$p_0 = 3000$范围给出$\Lambda \approx 20.4$。因为绝对损失与$L$成比例，并且相同的资本购买$\Lambda$倍的$L$，所以分数IL也以相同的方式缩放：

以±10%的头寸为例，入场价3,000美元，然后让价格上涨。上表中v2的数字将乘以约20：

一个导致全范围LP损失11个基点的10%变动，对于集中LP来说，相对于持有，损失2.3%。而且在边界处情况会变得更糟，因为该范围还有第二个公式隐藏的边缘：一旦价格超过$p_b$，头寸将100%变为计价货币，停止赚取费用，并且其背离将冻结在边界构成。 集中LP在上涨过程中已完全卖出风险资产，现在看着任何进一步的上涨，却没有持有任何风险资产——做空跨式期权的尾部，被锁定，且溢价流已关闭。集中既是费用收入的杠杆，也是损失的杠杆，再加上路径依赖性——在范围内花费的时间——这是朴素的$\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$缩放无法捕捉的。

LVR：你不能归咎于市场的损失

无常损失将LP与被动HODLer进行比较，而这个基准悄悄地引入了市场风险：你被“IL vs HODL”收取的大部分费用只是你通过持有代币无论如何都会承担的方向性风险。更精确的分解——分离出作为AMM特有的成本——是再平衡损失（LVR），来自Milionis、Moallemi、Roughgarden和Zhang的《自动做市与再平衡损失》（arXiv:2208.06046）。

其理念是，不以持有为基准，而是以再平衡投资组合为基准，该投资组合在每个时刻都持有与池子完全相同的代币数量——相同的delta，相同的市场敞口——但以无摩擦的外部市场价格进行交易，而不是根据池子自身的绑定曲线进行交易。这两个投资组合承担相同的价格风险，因此将一个减去另一个可以完全消除市场噪音，只留下作为AMM的结构性成本：池子因为套利者（而不是LP）捕捉每次价格变动而损失的资金。这个残余就是LVR。

将外部价格建模为波动率$\sigma$的几何布朗运动。该论文的核心结果——作者称之为“AMM的布莱克-斯科尔斯公式”——是LVR以确定性、非负漂移的形式累积：

其中$x(P)$是池子作为价格函数的风险资产持有量，$x'(P) < 0$（AMM在价格上涨时卖出风险资产）。对于恒定乘积池，$x(P) = L/\sqrt P$，因此$|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$，并且由于池子价值是$V = 2L\sqrt P$，所以作为池子价值分数的速率坍缩为一个常数：

这就是著名的σ²/8。它与费用无关，与库存无关：恒定乘积池每单位时间向套利者流失$\sigma^2/8$的价值，仅此而已。以5%的日波动率计算，这相当于每天$0.05^2/8 \approx 3.1$个基点——每年约占池子价值的11%——这还不包括任何费用。对于集中头寸，同样的逻辑在范围内给出$\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$：放大IL的杠杆以相同的因子放大了LVR。

为什么LVR是正确的计量单位，而IL不是，归结为一个特性：LP减去再平衡的差值具有零波动性。 它是一个纯粹的可预测漂移，$-\!\int \ell\,dt$。这意味着价格风险是完全可对冲的——用动态delta对冲复制再平衡投资组合，剩下的就是确定性的。因此，LP的真实经济学是

对冲掉第一项后，LP剩下的是费用 − LVR − gas——一个做空方差的头寸，其收益是费用流，其成本是持续的、可预测的、波动性驱动的流失。这正是做空期权账簿的伽马-theta权衡：LVR是伽马成本$\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$，费用是你收取的theta，与布莱克-斯科尔斯期权定价的类比是结构性的，而非装饰性的。这与Avellaneda-Stoikov为订单簿做市商形式化的逆向选择与价差之间的紧张关系相同，其中池子的费用等级扮演着报价价差的角色。

一个改进使框架保持诚实。干净的σ²/8假设连续、无成本的套利。实际上，费用等级本身就创建了一个无套利区间——套利者只有在价格变动超过费用时才会交易——因此实现的LVR小于无摩擦的数字，并且费用具有双重作用：它们支付你，并拓宽保护你的区间。考虑费用的离散时间版本在后续的《自动做市和存在费用时的套利利润》（Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023）中进行了阐述；将连续的σ²/8视为流失的上限。

标记出价：逐块衡量逆向选择

LVR是关于扩散的定理。它在实际成交中投射出的经验阴影是标记出价（markout），它是您在没有任何波动率模型的情况下，衡量实时头寸逆向选择的方式。

标记出价根据某个时间$\Delta$后的参考“公允”价格评估成交。对于被动流动性提供者，每笔与您的范围交易的互换都是您未选择的成交——交易者选择了它，他们选择它是因为这对他们有利。将LP在成交上的标记出价定义为带符号的库存变化乘以随后的价格变动：

其中$\Delta q$是LP在交易中获得的风险资产数量（当LP卖出时为负）。知情和有毒的流量使其系统性地为负：池子从一个正确的卖方那里买入风险资产，就在价格下跌之前，并卖给一个正确的买方，就在价格上涨之前。平均而言，LP在下一个刻度上处于错误的一方——这正是LVR在每次互换中实现的。

按区块衡量，这成为一个清晰的逆向选择指标：计算LP在一个区块内的净库存变化，并根据一个或几个区块后的价格进行标记。累积在一个头寸的生命周期内，每区块标记出价的总和就是经验LVR。它之所以重要，是因为标记出价的数字通常很难看。大规模的实证研究——从Loesch、Hindman、Richardson和Welch在2021年对Uniswap v3头寸的分析（Topaze Blue / Bancor研究）开始，并得到随后的LVR量化仪表板的证实——发现很大一部分v3 LP，在许多主要池中，大约一半或更多，在扣除IL和逆向选择后，相对于简单持有代币而言，表现不佳。 Cartea、Drissi和Monga将集中流动性的相同数量形式化为“可预测损失”，通过不同的途径得出相同的波动率缩放漂移。

对于监控实时账簿的LP来说，实际的启示是：费用年化收益率是总额；费用+标记出价是净额。 一个头寸可能显示出健康的费用收益率和深度负的标记出价，而总和才是你实际赚取的。对你实现标记出价的套利者与MEV和内存池文章中描述的搜索者是相同的——在每次预言机变动后，对陈旧的AMM报价进行回溯是LVR提取，逐块进行，它既是MEV谱系中良性的、价格纠正的一端，也是你盈亏中有毒的一端。

何时LPing真正胜过持有

将所有内容归结为它所服务的决策。对冲市场风险后，当费用收入率清除LVR率时，LP头寸相对于其基准是+EV的：

其中$f$是池子的费用等级，$\tau$是周转率——交易量除以TVL，每单位时间。重新排列后，条件是两种波动率的比较。费用流意味着一个盈亏平衡波动率

当实际波动率低于它时，LP就赢了。这是AMM的隐含与实际波动率版本：池子通过其费用收益率报价隐含波动率，提供流动性就是以该水平出售方差。一些已计算的参考点（周转率显然是假设的，选择代表活跃池）：

• 0.05% 池，周转率 1.0/天 (交易量 ≈ TVL 每日)：$\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ 每日。低于约 6.3% 的实际日波动率，LP 处于领先地位。
• 0.30% 池，周转率 0.2/天：$\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ 每日。
• 稳定币/相关对，$\sigma \approx 0.2\%$ 每日：LVR 为 $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ 每日——几乎没有，因为 LVR 与波动率的平方成比例。几乎任何费用收益率都能清除它。

这种平方依赖性是整个策略的一个事实。将配对的波动率减半会使流失量减少四分之一，而费用收益率不受影响。这就是为什么持久的LP优势存在于低σ配对——稳定币配对、流动质押代币/ETH配对以及其他紧密相关的配对——以及为什么波动性配对LPing是一种赌注，即费用异常高，或者你可以比池子流失更快地对冲和再平衡。

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

整个决策的关键输入是$\sigma$——不是上个月的实际波动率，而是持有期内的实际波动率预测，这正是一个波动率预测问题。将GARCH一日提前波动率预测插入$\sigma^\ast$，将“这个池子支付足够吗”转化为一个实时、可更新的信号：当预测低于盈亏平衡点时，进行LP；当波动率制度转变将其推高时，则退出。

集中度在您处于范围内时不会改变比率——它将费用收益率和LVR乘以相同的$\Lambda$，因此费用与波动率的不等式在范围内是尺度不变的。它改变的是边缘的一切：狭窄的范围在范围内花费的时间更少（无费用，超出范围时IL冻结），并且需要主动再平衡，其gas和再入标记出价是实际成本。因此，对于狭窄范围的诚实规则是：仅当您的实际波动率预测相对于范围宽度较低时，或者当您主动管理和对冲头寸而不是设置后忘记时，才证明它们是合理的。这种主动管理的机制——再平衡触发器、对冲池子不断变化的库存的delta对冲，以及将费用-LVR收益转化为对冲策略——是关于Uniswap v3 LP策略和对冲的配套文章的主题。

总结

• 无常损失具有封闭形式，$\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$，在对数价格上对称（2倍和-50%的变动都损失5.72%），并且在入场附近呈对数收益的二次方——这是做空伽马收益的特征。
• 集中流动性是杠杆化的无常损失。 对于给定的$L$，绝对背离损失不变，但相同的资本部署了$\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$倍的$L$，因此IL和费用都按$\Lambda$缩放——一旦价格超出范围，头寸就会冻结在亏损资产中。
• LVR是经对冲后仍存在的损失。 以再平衡投资组合为基准，恒定乘积池每单位时间流失$\sigma^2/8$的价值，无论费用如何；LP的对冲盈亏是费用-LVR-gas，是一种做空方差的收益。
• 标记出价是在实际成交中衡量的LVR。 每区块标记出价直接量化了逆向选择，经验记录显示，很大一部分v3 LP在计算后，相对于持有而言，净收益为负。费用年化收益率是总额；费用+标记出价是净额。
• 决策是一个不等式。 当费用收益率超过$\sigma^2/8$时，LP的表现优于其基准，即当实际波动率低于费用隐含的盈亏平衡点$\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$时。由于LVR与$\sigma^2$成比例，因此优势存在于低波动率、相关性强的配对中——决定因素是波动率预测。

参考文献

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (白皮书).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.