Impermanent Loss ve LVR: LP karlılığının gerçek matematiği

Likidite sağlamak bir getiri ürünü gibi görünür ve kısa opsiyon defteri gibi davranır. Bir havuz panosundaki APR başlığı brüt bir sayıdır: içeri akan ücretleri sayar ve dışarı akan iki maliyeti sessizce göz ardı eder - pozisyonunuzun neye dönüştüğü ile yatırdığınız arasındaki fark (kalıcı olmayan kayıp) ve her fiyat hareketinde bayat tekliflerinizi alan arbitrajcılara karşı daha istikrarlı, sinsi kanama (yeniden dengeleme karşılığı kayıp). Muhasebeyi doğru yaparsanız, tüm iş tek bir eşitsizliğe indirgenir: ücret akışı, pozisyonu tutmanın volatiliteye dayalı maliyetini karşılar mı? Yanlış yaparsanız, varyansı fiyatlandırmayı unutan sistematik bir varyans satıcısısınız demektir.

Bu makale, yeniden dengeleme karşılığı kaybı adlandırarak ve buraya işaret ederek sona eren Uniswap v3 for quants makalesinin vaat edilen devamıdır. Karlılık hesabını ilk prensiplerden inşa ediyoruz: sabit ürün havuzunda kalıcı olmayan kaybın kapalı formu, konsantre likiditenin neden kaldıraçlı IL olduğu, σ²/8 LVR sonucu ve sağladığı kesin PnL ayrıştırması, blok başına markout'un olumsuz seçimi ampirik olarak nasıl ölçtüğü ve başabaş koşulu - ücret-volatilite karşılaştırması - bir LP pozisyonunun tokenları tutmaktan daha +EV olduğunu ne zaman gösterir.

Sabit ürün değişmezi ve kalıcı olmayan kaybın doğuşu

Bir Uniswap v2 havuzu, riskli tokenin $x$ rezervlerini ve numéraire'in $y$ rezervlerini tutar ve her ticarette $x \cdot y = k$'yi uygular. Riskli varlığın marjinal fiyatı $P = y/x$'dir. $k$ korunduğu için, herhangi bir $P$ fiyatındaki rezervler sabitlenir:

$p_0$ fiyatından $(x_0, y_0)$ rezervleriyle başlayın ve fiyatın $p$'ye kaymasına izin verin. LP'nin pozisyonu, yeni fiyattan işaretlenmiş olarak, şuna değerdir:

Tokenları havuza atmak yerine basitçe tutmuş olsaydınız, şuna değer olurdunuz:

Fiyat oranı $r = p/p_0$'yi tanımlayın. Bölün ve $\sqrt{k}$ ile $\sqrt{p_0}$ temiz bir şekilde iptal olur, kalıcı olmayan kaybı yalnızca fiyat oranının bir fonksiyonu olarak bırakır:

Bu, nesnenin tamamıdır. Her $r \neq 1$ için negatiftir ve yalnızca fiyat girdiğiniz yere geri döndüğünde sıfırdır - "kalıcı olmayan" tam olarak fiyat geri gelirse kaybolduğu için. İki özelliği içselleştirmeye değer.

Log-fiyatta simetriktir. $r \to 1/r$ yerine koyun: ifade değişmez, çünkü $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. İki katına çıkma ve yarıya inme aynı şekilde zarar verir. Somut olarak, 2 kat hareket ($r=2$) ve -%50 hareket ($r = 0.5$) her ikisi de şunu verir:

Simetri, fiyat oranını loglarda yazdığınızda en temiz halini alır. $u = \ln r$ ile, kısa bir manipülasyon IL'yi hiperbolik bir sekant haline getirir:

bu da log-getirideki kuadratik şekli açıkça ortaya koyar: giriş fiyatına yakın, IL log fiyat hareketinin karesiyle büyür - kısa-gamma getirisinin imzası ve küçük dalgalanmalar için ihmal edilebilir kalmasının ve trendlerde sert bir şekilde ısırmasının nedeni.

Sayılar, neyi ölçtüklerini hatırlayana kadar küçük görünür: IL, tutmaya karşı olan farktır ve yalnızca bu kıyaslamaya göre gerçekleşir. 4 kat artan bir token, LP'yi dolar bazında çok fazla yukarıda bırakır - sadece tuttuklarından %20 daha az. IL, hissettiğiniz bir kayıp değildir; katlanmanız için ödenmesi gereken bir fırsat maliyetidir. Ücret akışı bu ödemedir. Yeterli olup olmadığı bu makalenin geri kalanını oluşturur.

Konsantre likidite, kaldıraçlı kalıcı olmayan kayıptır

Uniswap v3, bir LP'nin sermayeyi bir fiyat aralığına $[p_a, p_b]$ hapsetmesine olanak tanır. Aralığın içinde, pozisyon tam olarak bir v2 havuzu gibi davranır - aynı bağlama eğrisi - ancak yalnızca bu bandı kapsamak için gereken rezervleri kullanarak ( v3 mekaniği makalesinde türetilen sanal rezerv yapısı). IL için sonuç keskindir ve tek bir cebir satırından çıkar.

$s = \sqrt p$ yazın. $[p_a, p_b]$ üzerinde $L$ likiditeye sahip, $p_0$ fiyatından girilen ve $p$'de hala aralıkta olan bir v3 pozisyonu, $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ ve $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$ tutar. Değerini, kendi başlangıç tokenlarının HODL değerinden çıkararak hesaplayın ve $p_a$ ve $p_b$ içeren her şey iptal olur:

Bu, aynı $L$'ye sahip bir v2 havuzuyla aynı mutlak sapma kaybıdır - aralık sınırları görünmez. Peki ekstra acı nereden geliyor? Sermayeden. $[p_a, p_b]$'ye konsantre olmak, aynı dolarların çok daha büyük bir $L$'yi desteklemesine olanak tanır. Giriş fiyatına geometrik olarak merkezlenmiş bir aralık için amplifikasyon faktörü tam olarak şudur:

v3 "sermaye verimliliği" çarpanı. Tam aralıklı bir pozisyonun $\Lambda = 1$'si vardır; $0.5p_0$'den $2p_0$'ye bir aralık $\Lambda \approx 3.4$ verir; $p_0 = 3000$ etrafında bir $[2700, 3300]$ bandı (±%10) $\Lambda \approx 20.4$ verir. Mutlak kayıp $L$ ile ölçeklendiği ve eşit sermaye $\Lambda$ kat daha fazla $L$ satın aldığı için, kesirli IL aynı şekilde ölçeklenir:

Bu ±%10 pozisyonu, giriş 3.000 dolar, ve fiyatı yukarı doğru hareket ettirin. Yukarıdaki tablodaki v2 sayıları ~20 ile çarpılır:

Tam aralıklı bir LP'ye on bir baz puan maliyeti olan %10'luk bir hareket, konsantre LP'ye tutmaya karşı %2.3'e mal olur. Ve sınırda daha da kötüleşir, çünkü aralığın yukarıdaki formülün gizlediği ikinci bir kenarı vardır: fiyat $p_b$'yi geçtiğinde, pozisyon %100 numéraire olur, ücret kazanmayı durdurur ve sapması sınır bileşiminde donar. Konsantre LP, yükseliş sırasında riskli varlığı tamamen satmıştır ve şimdi herhangi bir başka ralliyi onsuz izler - kısa-straddle kuyruğu, kilitli, prim akışı kapalı. Konsantrasyon, hem ücret geliri hem de kayıp üzerinde bir kaldıraçtır, ayrıca saf $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ ölçeklendirmesinin yakalayamadığı bir yol bağımlılığı - aralıkta geçirilen süre - vardır.

LVR: piyasayı suçlayamayacağınız kayıp

Kalıcı olmayan kayıp, LP'yi pasif bir HODLer'a karşı ölçer ve bu kıyaslama, piyasa riskini sessizce içeri sokar: "IL vs HODL"ın size yüklediği şeyin çoğu, tokenlara sahip olarak zaten taşıyacağınız yönlü pozlamadır. Daha keskin ayrıştırma - bir AMM olmaya özgü maliyeti izole eden - Milionis, Moallemi, Roughgarden ve Zhang'ın Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046) adlı çalışmasından yeniden dengeleme karşılığı kayıp (LVR)'dır.

Fikir, LP'yi tutmaya karşı değil, her an havuzla aynı token miktarlarını tutan - aynı delta, aynı piyasa pozlaması - ancak havuzun kendi bağlama eğrisine karşı değil, sürtünmesiz dış piyasa fiyatından işlem yapan yeniden dengeleme portföyüne karşı kıyaslamaktır. Her iki portföy de aynı fiyat riskini taşır, bu nedenle birini diğerinden çıkarmak piyasa gürültüsünü tamamen iptal eder ve yalnızca AMM olmanın yapısal maliyetini bırakır: arbitrajcılar, LP değil, her fiyat hareketini yakaladığı için havuzun kaybettiği para. Bu kalıntı LVR'dir.

Dış fiyatı, $\sigma$ volatilitesi ile geometrik Brown hareket olarak modelleyin. Makalenin merkezi sonucu - yazarların "AMM'ler için bir Black-Scholes formülü" olarak adlandırdığı - LVR'nin deterministik, negatif olmayan bir sürüklenme olarak birikmesidir:

burada $x(P)$, havuzun riskli varlık tutumu fiyatın bir fonksiyonu olarak ve $x'(P) < 0$ (AMM, fiyatı yükseldikçe riskli varlığı satar). Sabit ürün havuzu için, $x(P) = L/\sqrt P$, bu nedenle $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, ve havuz değeri $V = 2L\sqrt P$ olduğundan, havuz değerinin bir kesri olarak oran sabite düşer:

Bu, ünlü σ²/8'dir. Ücret-agnostik ve envanter-agnostiktir: sabit ürün havuzu, arbitraja birim zaman başına değerinin $\sigma^2/8$'sini akıtır, nokta. %5 günlük volatilitede bu, tek bir dolar ücret sayılmadan her gün $0.05^2/8 \approx 3.1$ baz puanıdır - yılda havuz değerinin yaklaşık %11'i. Konsantre bir pozisyon için aynı mantık, aralıkta iken $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ verir: IL'yi yükselten kaldıraç, LVR'yi aynı faktörle yükseltir.

LVR'nin neden doğru hesap birimi olduğu ve IL'nin neden olmadığı, tek bir özelliğe dayanır: LP-eksi-yeniden dengeleme farkı sıfır volatiliteye sahiptir. Bu, saf bir öngörülebilir sürüklenmedir, $-\!\int \ell\,dt$. Bu, fiyat riskinin tamamen hedge edilebilir olduğu anlamına gelir - yeniden dengeleme portföyünü dinamik bir delta hedge ile çoğaltın ve geriye kalan deterministiktir. LP'nin gerçek ekonomisi bu nedenle şudur:

İlk terimi hedge edin ve LP'ye ücretler - LVR - gaz kalır - getirisi ücret akışı olan ve maliyeti sürekli, öngörülebilir, volatiliteye dayalı bir kanama olan kısa-varyans pozisyonu. Bu, kısa opsiyon defterinin tam olarak gamma-theta takasıdır: LVR, gamma maliyeti $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$'dir, ücretler topladığınız thetadır ve Black-Scholes opsiyon fiyatlandırmasına benzetme dekoratif değil, yapısal niteliktedir. Aynı zamanda, Avellaneda-Stoikov'un emir defteri piyasa yapıcıları için resmileştirdiği olumsuz seçim-fark gerilimidir, havuzun ücret katmanı teklif edilen fark rolünü oynar.

Bir iyileştirme, çerçeveyi dürüst tutar. Temiz σ²/8, sürekli, maliyetsiz arbitrajı varsayar. Gerçekte, ücret katmanı kendi başına bir arbitrajsız bant oluşturur - arbitrajcılar yalnızca fiyat hareketi ücreti aştığında işlem yapar - bu nedenle gerçekleşen LVR, sürtünmesiz rakamdan daha küçüktür ve ücretler iki kat görev yapar: size ödeme yaparlar ve sizi koruyan bandı genişletirler. Ücret-farkında, ayrık zamanlı versiyon, takip eden Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023) adlı çalışmada ele alınmıştır; sürekli σ²/8'i kanama üzerinde bir üst sınır olarak kabul edin.

Markout: blok blok olumsuz seçimi ölçmek

LVR, bir difüzyon hakkındaki bir teoremdir. Gerçek dolumlar üzerindeki ampirik gölgesi markout'tur ve herhangi bir volatilite modeli olmadan canlı bir pozisyonda olumsuz seçimi nasıl ölçeceğinizdir.

Markout, bir dolumu, bir süre sonraki referans "adil" fiyat $\Delta$'ye göre değerlendirir. Pasif bir likidite sağlayıcı için, aralığınıza karşı işlem yapan her takas, sizin seçmediğiniz bir dolumdur - alıcı onu seçti ve kendileri için iyi olduğu için seçti. LP'nin bir dolumdaki markout'unu, işaretli envanter değişimi çarpı sonraki fiyat hareketi olarak tanımlayın:

burada $\Delta q$, LP'nin ticarette edindiği riskli varlık miktarıdır (LP sattığında negatiftir). Bilgili ve toksik akış, bunu sistematik olarak negatif yapar: havuz, fiyat düşmeden hemen önce haklı olan bir satıcıdan riskli varlığı satın alır ve fiyat yükselmeden hemen önce haklı olan bir alıcıya satar. Birçok dolum üzerinden ortalaması alındığında, LP bir sonraki tikin yanlış tarafındadır - bu, LVR'nin her seferinde bir takasla gerçekleşmesidir.

Blok başına ölçüldüğünde, bu temiz bir olumsuz seçim metriği haline gelir: LP'nin bir blok üzerindeki net envanter değişimini alın ve bir veya birkaç blok sonraki fiyata göre işaretleyin. Bir pozisyonun ömrü boyunca toplandığında, blok başına markoutların toplamı ampirik LVR'dir. Önemli olmasının nedeni, markout sayısının genellikle çirkin olmasıdır. Büyük örneklem ampirik çalışmaları - Loesch, Hindman, Richardson ve Welch'in Uniswap v3 pozisyonlarının 2021 analizi (Topaze Blue / Bancor çalışması) ile başlayıp, ardından gelen LVR-nicelendirme panoları ile pekiştirilen - v3 LP'lerinin büyük bir kısmının, birçok büyük havuzda yarısı veya daha fazlasının, IL ve olumsuz seçim ücretlere karşı netleştirildiğinde tokenları tutmaktan daha kötü performans gösterdiğini buldu. Cartea, Drissi ve Monga, konsantre likidite için aynı miktarı "öngörülebilir kayıp" olarak resmileştirerek, farklı bir yoldan aynı volatilite ölçekli sürüklenmeye ulaşırlar.

Canlı bir defteri izleyen bir LP için pratik çıkarım: ücret APR brüt bir sayıdır; ücretler + markout nettir. Bir pozisyon sağlıklı bir ücret getirisi ve derinlemesine negatif bir markout gösterebilir ve toplamı aslında kazandığınız şeydir. Bu markout'u size karşı gerçekleştiren arbitrajcılar, MEV ve mempool makalesinde profillenen aynı arayıcılardır - her oracle hareketinden sonra bayat bir AMM teklifine karşı bir backrun, blok blok LVR çıkarımıdır ve PnL'nizin toksik ucu olsa bile MEV spektrumunun iyi huylu, fiyatı düzelten ucudur.

LP'nin tutmaktan gerçekten daha iyi olduğu zaman

Her şeyi hizmet ettiği karara indirgeyin. Piyasa riskini hedge edin ve bir LP pozisyonu, ücret geliri oranı LVR oranını aştığında kıyaslamasına karşı tam olarak +EV'dir:

burada $f$ havuzun ücret katmanı ve $\tau$ ise birim zaman başına cirodur (işlem hacmi bölü TVL). Yeniden düzenlendiğinde, koşul iki volatilitenin karşılaştırılmasıdır. Ücret akışı bir başabaş volatilite ima eder:

ve LP, gerçekleşen volatilite bunun altında kaldığında kazanır. Bu, AMM'nin ima edilen-gerçekleşen versiyonudur: havuz, ücret getirisi aracılığıyla ima edilen bir vol teklif eder ve likidite sağlamak, o seviyede varyans satmaktır. Bazı örnek referans noktaları (ciro açıkça varsayımsaldır, aktif havuzları temsil edecek şekilde seçilmiştir):

• %0.05 havuz, günlük 1.0 ciro (hacim ≈ günlük TVL): Günlük $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$. Yaklaşık %6.3 gerçekleşen günlük vol'un altında, LP öndedir.
• %0.30 havuz, günlük 0.2 ciro: Günlük $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$.
• Stablecoin / korelasyonlu çift, günlük $\sigma \approx 0.2\%$: LVR günlük $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$'dir - esasen hiçbir şey, çünkü LVR volatilitenin karesiyle ölçeklenir. Neredeyse her ücret getirisi bunu karşılar.

Bu kare bağımlılığı, tüm stratejiyi tek bir gerçekte özetler. Çiftin volatilitesini yarıya indirmek, kanamayı dörtte birine düşürürken, ücret getirisi etkilenmez. Bu nedenle kalıcı LP avantajı düşük-σ çiftlerinde (stablecoin çiftleri, likit-staking-token/ETH çiftleri ve diğer sıkı korelasyonlu bacaklar) yaşar ve volatil çift LP'sinin, ücretlerin olağanüstü olduğu veya havuz kanamadan daha hızlı hedge edip yeniden dengeleyebileceğiniz bir bahis olmasının nedeni budur.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Tüm kararın dayandığı tek girdi $\sigma$'dir - geçen ayın gerçekleşen vol'u değil, tutma süresi boyunca gerçekleşen vol'un bir tahmini, ki bu tam olarak bir volatilite tahmin problemidir. $\sigma^\ast$'ye takılan bir GARCH bir günlük volatilite tahmini, "bu havuz yeterince ödüyor mu" sorusunu canlı, güncellenebilir bir sinyale dönüştürür: tahmin başabaşın altında kaldığında LP yapın, volatilite rejimi değişimi onu yukarı ittiğinde kenara çekilin.

Konsantrasyon, aralıkta olduğunuz sürece oranı değiştirmez - ücret getirisini ve LVR'yi aynı $\Lambda$ ile çarpar, bu nedenle ücret-vol eşitsizliği aralık içinde ölçekten bağımsızdır. Değiştirdiği şey, kenarların etrafındaki her şeydir: dar bir aralık, aralıkta daha az zaman geçirir (ücret yok, dışarı çıktığında donmuş IL) ve gaz ve yeniden giriş markout'u gerçek maliyetler olan aktif yeniden dengelemeyi gerektirir. Bu nedenle dar aralıklar için dürüst kural dardır: bunları yalnızca gerçekleşen vol tahmininiz aralık genişliğine göre düşük olduğunda veya pozisyonu ayarlayıp unutmak yerine aktif olarak yönetip hedge ettiğinizde haklı çıkarın. Bu aktif yönetimin mekaniği - yeniden dengeleme tetikleyicileri, havuzun değişen envanterini delta-hedge etme ve ücretler - LVR taşımasını hedge edilmiş bir stratejiye dönüştürme - Uniswap v3 LP stratejileri ve hedging hakkındaki eşlik eden makalenin konusudur.

Çıkarılacak dersler

• Kalıcı olmayan kaybın kapalı bir formu vardır, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, log-fiyatta simetriktir (2 kat ve -%50 hareketin her ikisi de %5.72'ye mal olur) ve girişe yakın log-getiride kuadratiktir - kısa-gamma getirisinin parmak izi.
• Konsantre likidite, kaldıraçlı IL'dir. Belirli bir $L$ için mutlak sapma kaybı değişmez, ancak eşit sermaye $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ kat daha fazla $L$ dağıtır, bu nedenle hem IL hem de ücretler $\Lambda$ ile ölçeklenir - ve fiyat aralıktan çıktığında pozisyon kaybeden varlığa donar.
• LVR, hedging'den sonra kalan kayıptır. Yeniden dengeleme portföyüne karşı kıyaslandığında, sabit ürün havuzu, ücretlerden bağımsız olarak birim zaman başına değerinin $\sigma^2/8$'sini kaybeder; LP'nin hedge edilmiş PnL'si ücretler - LVR - gazdır, kısa-varyans taşımasıdır.
• Markout, gerçek dolumlar üzerinde ölçülen LVR'dir. Blok başına markout, olumsuz seçimi doğrudan nicelleştirir ve ampirik kayıtlar, v3 LP'lerinin büyük bir kısmının, sayıldığında tutmaya karşı net-negatif olduğunu göstermektedir. Ücret APR brüttür; ücretler + markout nettir.
• Karar tek bir eşitsizliktir. Bir LP, ücret getirisi $\sigma^2/8$'yi aştığında, yani gerçekleşen vol, ücretin ima ettiği başabaş $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$'nin altına düştüğünde kıyaslamasını yener. LVR, $\sigma^2$ ile ölçeklendiği için, avantaj düşük volatiliteye sahip, korelasyonlu çiftlerde yaşar - ve bunu belirleyen girdi bir volatilite tahminidir.

Referanslar

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.