Impermanent Loss и LVR: реальная математика прибыльности LP

Предоставление ликвидности выглядит как доходный продукт и ведет себя как книга коротких опционов. Заголовок APR на панели управления пулом — это валовая цифра: она учитывает поступающие комиссии и незаметно игнорирует две исходящие стоимости — расхождение между тем, чем становится ваша позиция, и тем, что вы внесли (непостоянные потери), а также более стабильное, скрытое кровотечение для арбитражеров, которые снимают ваши устаревшие котировки при каждом движении цены (потери от ребалансировки). Если правильно вести учет, весь бизнес сводится к одному неравенству: покрывает ли поток комиссий стоимость удержания позиции, обусловленную волатильностью? Если ошибиться, вы станете систематическим продавцом волатильности, который забыл оценить волатильность.

Эта статья является обещанным продолжением Uniswap v3 для квантов, которая завершилась упоминанием потерь от ребалансировки и ссылкой сюда. Мы строим расчет прибыльности с нуля: замкнутая форма непостоянных потерь для пула с постоянным продуктом, почему концентрированная ликвидность является плечом IL, результат LVR σ²/8 и точное разложение PnL, которое он позволяет, как поблочная разметка эмпирически измеряет неблагоприятный отбор, и условие безубыточности — сравнение комиссий и волатильности — которое говорит вам, когда позиция LP фактически является +EV по сравнению с простым удержанием токенов.

Инвариант постоянного продукта и возникновение непостоянных потерь

Пул Uniswap v2 содержит резервы $x$ рискового токена и $y$ нумерара и обеспечивает $x \cdot y = k$ при каждой сделке. Маржинальная цена рискового актива составляет $P = y/x$. Поскольку $k$ сохраняется, резервы при любой цене $P$ фиксированы:

Начнем с цены $p_0$ с резервами $(x_0, y_0)$ и позволим цене дрейфовать до $p$. Позиция LP стоит, по новой цене,

Если бы вы просто держали депонированные токены вместо того, чтобы объединять их в пул, вы бы стоили

Определим отношение цен $r = p/p_0$. Разделим, и $\sqrt{k}$ и $\sqrt{p_0}$ чисто сократятся, оставляя непостоянные потери как функцию только отношения цен:

Это весь объект. Он отрицателен для каждого $r \neq 1$ и равен нулю только тогда, когда цена возвращается к точке входа — "непостоянный" именно потому, что он исчезает, если цена возвращается. Стоит усвоить два свойства.

Он симметричен по логарифмической цене. Подставьте $r \to 1/r$: выражение не изменится, потому что $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Удвоение и уменьшение вдвое наносят одинаковый ущерб. Конкретно, движение в 2 раза ($r=2$) и движение на −50% ($r = 0.5$) дают

Симметрия наиболее чиста, когда вы записываете отношение цен в логарифмах. С $u = \ln r$, короткая манипуляция сводит IL к гиперболическому секансу:

что явно показывает квадратичную форму по логарифмической доходности: вблизи цены входа IL растет с квадратом логарифмического изменения цены — признак выплаты с короткой гаммой, и причина, по которой она остается незначительной при небольших колебаниях и сильно кусает при трендах.

Цифры кажутся небольшими, пока вы не вспомните, что они измеряют: IL — это разница по сравнению с удержанием, и она реализуется только относительно этого бенчмарка. Токен, который увеличился в 4 раза, оставляет LP с большой прибылью в долларовом выражении — всего на 20% меньше, чем если бы они его держали. IL — это не потеря, которую вы чувствуете; это альтернативные издержки, за которые вам должны платить. Поток комиссий — это та самая плата. Достаточно ли ее, это остальная часть этой статьи.

Концентрированная ликвидность — это кредитное плечо непостоянных потерь

Uniswap v3 позволяет LP ограничивать капитал ценовым диапазоном $[p_a, p_b]$. Внутри диапазона позиция ведет себя точно так же, как пул v2 — та же кривая связывания — но используя только резервы, необходимые для покрытия этой полосы (конструкция виртуального резерва, описанная в статье о механике v3). Следствие для IL острое, и оно вытекает из одной строки алгебры.

Запишем $s = \sqrt p$. Позиция v3 с ликвидностью $L$ на $[p_a, p_b]$, открытая по цене $p_0$ и все еще находящаяся в диапазоне по $p$, содержит $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ и $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Вычислим ее стоимость за вычетом стоимости HODL ее собственных первоначальных токенов, и все, что связано с $p_a$ и $p_b$, сократится:

Это та же самая абсолютная потеря расхождения, что и у пула v2 с идентичным $L$ — границы диапазона не появляются. Так откуда же берется дополнительная боль? Из капитала. Концентрация в $[p_a, p_b]$ позволяет тем же долларам поддерживать гораздо больший $L$. Для диапазона, геометрически центрированного на цене входа, коэффициент усиления точно равен

множитель "эффективности капитала" v3. Позиция полного диапазона имеет $\Lambda = 1$; диапазон от $0.5p_0$ до $2p_0$ дает $\Lambda \approx 3.4$; полоса $[2700, 3300]$ вокруг $p_0 = 3000$ (±10%) дает $\Lambda \approx 20.4$. Поскольку абсолютная потеря масштабируется с $L$, а равный капитал покупает в $\Lambda$ раз больше $L$, дробная IL масштабируется таким же образом:

Возьмем эту позицию ±10%, вход $3,000, и поднимем цену. Числа v2 из таблицы выше умножаются на ~20:

Движение на 10%, которое обходится LP полного диапазона в одиннадцать базисных пунктов, обходится концентрированному LP в 2,3% по сравнению с удержанием. И становится хуже на границе, потому что диапазон имеет вторую границу, которую скрывает приведенная выше формула: как только цена пересекает $p_b$, позиция на 100% состоит из нумерара, перестает приносить комиссии, и ее расхождение фиксируется на граничной композиции. Концентрированный LP полностью продал рисковый актив на подъеме и теперь наблюдает за любым дальнейшим ростом без него — хвост короткого стрэддла, зафиксированный, с отключенным потоком премии. Концентрация — это кредитное плечо как для дохода от комиссий, так и для потерь, плюс зависимость от пути — время, проведенное в диапазоне — которую наивное масштабирование $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ не учитывает.

LVR: потери, в которых нельзя винить рынок

Непостоянные потери измеряют LP по отношению к пассивному HODLer, и этот бенчмарк незаметно вводит рыночный риск: большая часть того, что "IL против HODL" взимает с вас, — это просто направленная экспозиция, которую вы бы все равно несли, владея токенами. Более точное разложение — то, которое изолирует стоимость, специфичную для AMM — это потери от ребалансировки (LVR), из работы Милиониса, Моаллеми, Рафгардена и Чжана, Автоматическое маркет-мейкерство и потери от ребалансировки (arXiv:2208.06046).

Идея состоит в том, чтобы сравнивать LP не с удержанием, а с ребалансирующим портфелем, который в каждый момент времени содержит точно такие же количества токенов, как и пул — тот же дельта, та же рыночная экспозиция — но торгует по безфрикционной внешней рыночной цене вместо собственной кривой связывания пула. Оба портфеля несут идентичный ценовой риск, поэтому вычитание одного из другого полностью отменяет рыночный шум и оставляет только структурные издержки быть AMM: деньги, которые пул теряет, потому что арбитражеры, а не LP, захватывают каждое движение цены. Этот остаток и есть LVR.

Моделируем внешнюю цену как геометрическое броуновское движение с волатильностью $\sigma$. Центральный результат статьи — который авторы называют "формулой Блэка-Шоулза для AMM" — заключается в том, что LVR накапливается как детерминированный, неотрицательный дрейф:

где $x(P)$ — это объем рискового актива пула как функция цены, а $x'(P) < 0$ (AMM продает рисковый актив по мере роста его цены). Для пула с постоянным продуктом $x(P) = L/\sqrt P$, поэтому $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, и поскольку стоимость пула составляет $V = 2L\sqrt P$, скорость как доля стоимости пула сводится к константе:

Это знаменитое σ²/8. Оно не зависит от комиссий и инвентаря: пул с постоянным продуктом теряет $\sigma^2/8$ своей стоимости в единицу времени из-за арбитража, и точка. При ежедневной волатильности 5% это $0.05^2/8 \approx 3.1$ базисных пунктов каждый день — примерно 11% стоимости пула в год — до того, как будет учтен хоть один доллар комиссий. Для концентрированной позиции та же логика дает $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ в пределах диапазона: кредитное плечо, которое усиливало IL, усиливает LVR с тем же коэффициентом.

Почему LVR является правильной единицей измерения, а IL нет, сводится к одному свойству: разница LP-минус-ребалансировка имеет нулевую волатильность. Это чистый предсказуемый дрейф, $-\!\int \ell\,dt$. Это означает, что ценовой риск полностью хеджируем — воспроизведите ребалансирующий портфель с динамическим дельта-хеджированием, и то, что останется, будет детерминированным. Таким образом, истинная экономика LP такова:

Устраните первый член, и LP останется с комиссиями − LVR − газ — позиция с короткой волатильностью, доходность которой является потоком комиссий, а стоимость — постоянным, предсказуемым, обусловленным волатильностью кровотечением. Это в точности компромисс гамма-тета короткой книги опционов: LVR — это стоимость гаммы $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, комиссии — это тета, которую вы собираете, и аналогия с ценообразованием опционов Блэка-Шоулза является структурной, а не декоративной. Это также то же самое напряжение между неблагоприятным отбором и спредом, которое Авельянеда-Стойков формализуют для маркет-мейкеров книги ордеров, при этом уровень комиссий пула играет роль котируемого спреда.

Одно уточнение делает формулировку честной. Чистое σ²/8 предполагает непрерывный, беззатратный арбитраж. В действительности сам уровень комиссий создает полосу без арбитража — арбитражеры торгуют только тогда, когда движение цены превышает комиссию — поэтому реализованный LVR меньше, чем безфрикционная цифра, и комиссии выполняют двойную функцию: они платят вам и расширяют полосу, которая вас защищает. Версия с учетом комиссий и дискретным временем разработана в последующей работе Автоматическое маркет-мейкерство и арбитражные прибыли в присутствии комиссий (Милионис, Моаллеми, Рафгарден, 2023); рассматривайте непрерывное σ²/8 как верхнюю границу кровотечения.

Markout: измерение неблагоприятного отбора блок за блоком

LVR — это теорема о диффузии. Эмпирическая тень, которую она отбрасывает на реальные сделки, — это markout, и именно так вы измеряете неблагоприятный отбор по живой позиции без какой-либо модели волатильности.

Markout оценивает сделку по отношению к эталонной "справедливой" цене через некоторый горизонт $\Delta$. Для пассивного поставщика ликвидности каждый своп, который торгуется против вашего диапазона, — это сделка, которую вы не выбирали — ее выбрал тейкер, и он выбрал ее, потому что это было выгодно для него. Определим markout LP по сделке как изменение подписанного инвентаря, умноженное на последующее движение цены:

где $\Delta q$ — это количество рискового актива, которое LP приобрел в сделке (отрицательное, когда LP продал). Информированный и токсичный поток делает это систематически отрицательным: пул покупает рисковый актив у продавца, который прав, непосредственно перед падением цены, и продает покупателю, который прав, непосредственно перед ее ростом. В среднем по многим сделкам LP оказывается на неправильной стороне следующего тика — что в точности является LVR, реализуемым по одному свопу за раз.

Измеренный поблочно, это становится чистым показателем неблагоприятного отбора: возьмите чистое изменение инвентаря LP за блок и отметьте его по цене через один или несколько блоков. Агрегированный за время жизни позиции, сумма поблочных отметок является эмпирическим LVR. Причина, по которой это важно, заключается в том, что число отметок обычно уродливо. Крупномасштабные эмпирические исследования — начиная с анализа позиций Uniswap v3 Лоша, Хиндмана, Ричардсона и Уэлча в 2021 году (исследование Topaze Blue / Bancor) и подкрепленные последующими панелями мониторинга LVR-квантификации — показали, что большая часть LP v3, на многих крупных пулах около половины или более, показала худшие результаты, чем простое удержание токенов, если IL и неблагоприятный отбор были учтены против комиссий. Картеа, Дрисси и Монга формализуют ту же величину для концентрированной ликвидности как "предсказуемые потери", приходя к тому же дрейфу, масштабированному по волатильности, другим путем.

Практический вывод для LP, отслеживающего живую книгу: APR комиссий — это валовая цифра; комиссии + markout — это чистая. Позиция может показывать здоровый доход от комиссий и глубоко отрицательный markout, и сумма — это то, что вы фактически заработали. Арбитражеры, реализующие этот markout против вас, — это те же поисковики, о которых говорится в статье о MEV и мемпуле — бэкранинг против устаревшей котировки AMM после каждого движения оракула — это извлечение LVR, блок за блоком, и это доброкачественный, корректирующий цену конец спектра MEV, хотя это и токсичный конец вашего PnL.

Когда LPing действительно превосходит удержание

Сведем все к решению, которому оно служит. Хеджируйте рыночный риск, и позиция LP является +EV по отношению к своему бенчмарку ровно тогда, когда ставка дохода от комиссий превышает ставку LVR:

где $f$ — это уровень комиссии пула, а $\tau$ — это оборот — объем торгов, деленный на TVL, в единицу времени. Перегруппировав, условие представляет собой сравнение двух волатильностей. Поток комиссий подразумевает безубыточную волатильность

и LP выигрывает всякий раз, когда реализованная волатильность оказывается ниже ее. Это версия подразумеваемой-против-реализованной для AMM: пул котирует подразумеваемую волатильность через свой доход от комиссий, и предоставление ликвидности — это продажа волатильности на этом уровне. Некоторые проработанные опорные точки (оборот явно гипотетический, выбранный как репрезентативный для активных пулов):

• Пул 0,05%, оборот 1,0/день (объем ≈ TVL ежедневно): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ ежедневно. Ниже ~6,3% реализованной дневной волатильности LP в плюсе.
• Пул 0,30%, оборот 0,2/день: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ ежедневно.
• Стейблкоин / коррелированная пара, $\sigma \approx 0.2\%$ ежедневно: LVR составляет $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ в день — по сути, ничего, потому что LVR масштабируется с квадратом волатильности. Почти любой доход от комиссий покрывает его.

Эта квадратичная зависимость — вся стратегия в одном факте. Уменьшение волатильности пары вдвое уменьшает кровотечение в четыре раза, в то время как доход от комиссий не меняется. Именно поэтому устойчивое преимущество LP заключается в парах с низкой σ — парах стейблкоинов, парах токенов ликвидного стейкинга/ETH и других тесно коррелированных парах — и почему LPing с волатильными парами — это ставка на то, что комиссии необычайно высоки или что вы можете хеджировать и ребалансировать быстрее, чем пул теряет средства.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Единственный входной параметр, от которого зависит все решение, — это $\sigma$ — не реализованная волатильность за прошлый месяц, а прогноз реализованной волатильности за период удержания, что является в точности проблемой прогнозирования волатильности. Прогноз волатильности GARCH на один день вперед, подключенный к $\sigma^\ast$, превращает вопрос "достаточно ли платит этот пул" в живой, обновляемый сигнал: LP, когда прогноз находится ниже точки безубыточности, и отходите в сторону, когда изменение режима волатильности толкает его выше.

Концентрация не меняет соотношение, пока вы находитесь в диапазоне — она умножает доход от комиссий и LVR на один и тот же $\Lambda$, поэтому неравенство комиссий и волатильности является масштабно-инвариантным внутри диапазона. Что она меняет, так это все вокруг: узкий диапазон проводит меньше времени в диапазоне (нет комиссий, замороженный IL при выходе), и требует активной ребалансировки, чьи затраты на газ и markout при повторном входе являются реальными издержками. Таким образом, честное правило для узких диапазонов узко: оправдывайте их только тогда, когда ваш прогноз реализованной волатильности низок по отношению к ширине диапазона, или когда вы активно управляете и хеджируете позицию, а не устанавливаете ее и забываете. Механика этого активного управления — триггеры ребалансировки, дельта-хеджирование изменяющегося инвентаря пула и превращение комиссий − LVR в хеджированную стратегию — является предметом сопутствующей статьи о стратегиях LP Uniswap v3 и хеджировании.

Что следует вынести

• Непостоянные потери имеют замкнутую форму, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, симметричную по логарифмической цене (движение в 2 раза и на −50% оба стоят 5,72%) и квадратичную по логарифмической доходности вблизи входа — отпечаток выплаты с короткой гаммой.
• Концентрированная ликвидность — это кредитное плечо IL. Абсолютная потеря расхождения не изменяется для данного $L$, но равный капитал развертывает в $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ раз больше $L$, поэтому как IL, так и комиссии масштабируются на $\Lambda$ — и позиция замораживается в убыточном активе, как только цена выходит за пределы диапазона.
• LVR — это потери, которые остаются после хеджирования. По сравнению с ребалансирующим портфелем, пул с постоянным продуктом теряет $\sigma^2/8$ стоимости в единицу времени независимо от комиссий; хеджированный PnL LP — это комиссии − LVR − газ, короткая волатильность.
• Markout — это LVR, измеренный по реальным сделкам. Поблочный markout напрямую количественно оценивает неблагоприятный отбор, и эмпирические данные показывают, что большая часть LP v3 имеет чистый отрицательный результат по сравнению с удержанием, если это учитывать. APR комиссий — это валовая; комиссии + markout — это чистая.
• Решение — это одно неравенство. LP превосходит свой бенчмарк, когда доход от комиссий превышает $\sigma^2/8$, т.е. когда реализованная волатильность падает ниже безубыточной $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$, подразумеваемой комиссиями. Поскольку LVR масштабируется с $\sigma^2$, преимущество заключается в низковолатильных, коррелированных парах — и входным параметром, который это определяет, является прогноз волатильности.

Ссылки

• Милионис, Дж., Моаллеми, К. К., Рафгарден, Т., Чжан, А. Л. (2022). Автоматическое маркет-мейкерство и потери от ребалансировки. arXiv:2208.06046.
• Милионис, Дж., Моаллеми, К. К., Рафгарден, Т. (2023). Автоматическое маркет-мейкерство и арбитражные прибыли в присутствии комиссий. arXiv:2305.14604.
• Лош, С., Хиндман, Н., Ричардсон, М. Б., Уэлч, Н. (2021). Непостоянные потери в Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Картеа, А., Дрисси, Ф., Монга, М. (2023). Децентрализованные финансы и автоматическое маркет-мейкерство: предсказуемые потери и оптимальное предоставление ликвидности. SSRN / arXiv.
• Адамс, Х., Цинсмейстер, Н., Салем, М., Кифер, Р., Робинсон, Д. (2021). Uniswap v3 Core (белая книга).
• Фан, З., Мармолехо-Коссио, Ф., Мороз, Д., Нойдер, М., Рао, Р., Паркс, Д. К. (2022). Стратегическое предоставление ликвидности в Uniswap v3. arXiv:2106.12033.