Impermanent Loss жана LVR: LP кирешелүүлүгүнүн чыныгы математикасы

Ликвиддүүлүктү камсыз кылуу кирешелүү продукт сыяктуу көрүнөт жана кыска опциондук китеп сыяктуу иштейт. Пулдун тактасындагы APR аталышы одоно сан: ал агып кирген төлөмдөрдү эсептейт жана агып чыккан эки чыгымды унчукпай этибарга албайт — сиздин позицияңыздын эмнеге айланганы менен сиз салган нерсенин ортосундагы айырма (туруксуз жоготуу), жана ар бир баанын өзгөрүшүндө эски цитаталарыңызды тандап алган арбитражчыларга туруктуу, жашыруун кан агуу (тең салмактоого каршы жоготуу). Эсептөөнү туура жүргүзсөңүз, бүт бизнес бир теңсиздикке чейин кыскарат: төлөм агымы позицияны кармап туруунун туруксуздукка негизделген чыгымын жабабы? Эгер туура эмес кылсаңыз, сиз дисперсияны баалоону унутуп калган дисперсиянын системалуу сатуучусусуз.

Бул макала Uniswap v3 for quants макаласынын убада кылынган уландысы, ал тең салмактоого каршы жоготууну атап, бул жерге көрсөтүү менен аяктаган. Биз кирешелүүлүк эсептөөсүн биринчи принциптерден курабыз: туруктуу продукт пулундагы туруксуз жоготуунун жабык формасы, эмне үчүн концентрацияланган ликвиддүүлүк рычагдуу IL болуп саналат, σ²/8 LVR натыйжасы жана ал иштеткен так PnL декомпозициясы, блоктор боюнча маркалоо терс тандоону эмпирикалык түрдө кантип өлчөйт, жана тең салмактоо шарты — төлөмгө каршы туруксуздукту салыштыруу — LP позициясы жөн гана токендерди кармап турууга каршы +EV болгондо айтып берет.

Туруктуу продукт инварианты жана туруксуз жоготуунун пайда болушу

Uniswap v2 пулу тобокелдүү токендин $x$ резервин жана нумерарийдин $y$ резервин кармайт жана ар бир соодада $x \cdot y = k$ аткарылышын камсыздайт. Тобокелдүү активдин маржиналдык баасы $P = y/x$. $k$ сакталгандыктан, каалаган $P$ баасындагы резервдер бекитилген:

$p_0$ баасынан $(x_0, y_0)$ резерви менен баштап, баа $p$ чейин өзгөрсүн. LP позициясы, жаңы баада белгиленген, төмөнкүгө барабар:

Эгер сиз жөн гана салынган токендерди пулдоштурбастан кармап турсаңыз, анда сиздин бааңыз төмөнкүгө барабар болмок:

Баа катышын $r = p/p_0$ деп аныктаңыз. Бөлүңүз, ошондо $\sqrt{k}$ жана $\sqrt{p_0}$ таза жокко чыгарылат, туруксуз жоготууну баа катышынын гана функциясы катары калтырат:

Бул бүт объект. Ал ар бир $r \neq 1$ үчүн терс жана баа сиз кирген жерге кайтып келгенде гана нөлгө барабар — "туруксуз" так ошол себептен, эгер баа кайра келсе, ал жоголот. Эки касиетти ичкилештирүү керек.

Бул лог-баада симметриялуу. $r \to 1/r$ алмаштырыңыз: туюнтма өзгөрүүсүз калат, анткени $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Эки эсе көбөйүү жана эки эсе азаюу бирдей зыян келтирет. Конкреттүү айтканда, 2× кыймыл ($r=2$) жана −50% кыймыл ($r = 0.5$) экөө тең берет:

Симметрия логдордогу баа катышын жазганда эң таза болот. $u = \ln r$ менен, кыска манипуляция ILди гиперболикалык секанска айлантат:

бул лог-кайтаруу формасындагы квадратты ачык көрсөтөт: кирүү баасына жакын, IL лог баа кыймылынын квадраты менен өсөт — кыска-гамма төлөмүнүн кол тамгасы, жана ал кичинекей термелүүлөр үчүн анча чоң эмес бойдон калып, тренддерде катуу тиштеген себеби.

Сандар кичинекей көрүнөт, бирок алар эмнени өлчөй турганын эстегенде: IL – бул кармоого каршы айырма, жана ал ошол эталонго салыштырмалуу гана ишке ашат. 4× болгон токен LPди доллар менен көп кирешеге алып келет — эгер алар кармап тургандан 20% гана аз. IL – бул сиз сезген жоготуу эмес; бул сиз көтөрүү үчүн төлөнүшү керек болгон мүмкүнчүлүк чыгымы. Төлөм агымы ошол төлөм. Ал жетиштүүбү же жокпу, бул макаланын калган бөлүгү.

Концентрацияланган ликвиддүүлүк – бул рычагдуу туруксуз жоготуу

Uniswap v3 LPге капиталды $[p_a, p_b]$ баа диапазонуна чектөөгө мүмкүндүк берет. Диапазондун ичинде позиция так v2 пулу сыяктуу иштейт — ошол эле байланыш ийри сызыгы — бирок ошол диапазонду жабуу үчүн керектүү резервдерди гана колдонот (виртуалдык резервдик конструкция v3 механика макаласында алынган). IL үчүн кесепети кескин, жана ал бир сап алгебрадан келип чыгат.

$s = \sqrt p$ деп жазыңыз. $L$ ликвиддүүлүгү бар $[p_a, p_b]$ боюнча v3 позициясы, $p_0$ баасында киргизилген жана $p$ баасында дагы эле диапазондо турган, $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ жана $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$ кармайт. Анын баасын өзүнүн баштапкы токендеринин HODL баасынан кемитип эсептеңиз, ошондо $p_a$ жана $p_b$ катышкан бардык нерселер жокко чыгарылат:

Бул ошол эле $L$ менен v2 пулундагы ошол эле абсолюттук дивергенция жоготуусу — диапазондун чек аралары көрүнбөйт. Анда кошумча оору кайдан келет? Капиталдан. $[p_a, p_b]$га концентрациялоо ошол эле долларларга алда канча чоңураак $L$ колдоого мүмкүндүк берет. Кирүү баасына геометриялык жактан борборлоштурулган диапазон үчүн күчөтүү коэффициенти так:

v3 "капиталдык эффективдүүлүк" мультипликатору. Толук диапазондогу позицияда $\Lambda = 1$ бар; $0.5p_0$дан $2p_0$га чейинки диапазон $\Lambda \approx 3.4$ берет; $[2700, 3300]$ тегерегиндеги $p_0 = 3000$ тилкеси (±10%) $\Lambda \approx 20.4$ берет. Абсолюттук жоготуу $L$ менен масштабдалгандыктан жана бирдей капитал $\Lambda$ эсе көп $L$ сатып алгандыктан, бөлчөк IL ошол эле жол менен масштабдалат:

Ошол ±10% позицияны, кирүү баасы 3,000 долларды алып, бааны жогорулатыңыз. Жогорудагы таблицадагы v2 сандары ~20га көбөйтүлөт:

Толук диапазондогу LPге он бир базистик пунктка чыгым болгон 10% кыймыл, концентрацияланган LPге кармап турууга салыштырмалуу 2.3% чыгым болот. Жана чек арада андан да жаман болот, анткени диапазондун жогорудагы формула жашырган экинчи чети бар: баа $p_b$дан өткөндөн кийин, позиция 100% нумерарий болуп калат, комиссияларды алууну токтотот жана анын дивергенциясы чек ара курамында тоңуп калат. Концентрацияланган LP тобокелдүү активди жогорулап баратканда толугу менен саткан жана азыр анын эч бири жок болгондуктан, андан аркы раллини көрүп турат — кыска-стрэддл куйругу, бекитилген, премиум агымы өчүрүлгөн. Концентрация комиссия кирешесине жана жоготууга рычаг болуп саналат, ошондой эле жол-көз карандылык — диапазондо өткөрүлгөн убакыт — наивдүү $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ масштабы кармабайт.

LVR: рынокту күнөөлөй албаган жоготуу

Туруксуз жоготуу LPди пассивдүү HODLerге каршы өлчөйт, жана бул эталон рыноктук тобокелдикти унчукпай алып келет: "IL vs HODL" сизге жүктөгөн нерсенин көбү жөн гана токендерге ээ болуу менен сиз баары бир көтөрө турган багыттык экспозиция. Кескин декомпозиция — AMM болууга мүнөздүү чыгымды бөлүп көрсөткөн декомпозиция — бул Milionis, Moallemi, Roughgarden жана Zhangдын Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046) эмгегинен алынган тең салмактоого каршы жоготуу (LVR).

Идея LPди кармап турууга каршы эмес, тескерисинче, ар бир учурда пул менен бирдей токен сандарын кармаган тең салмактоочу портфелге каршы эталондоштуруу — бирдей дельта, бирдей рыноктук экспозиция — бирок пулдун өзүнүн байланыш ийри сызыгына каршы эмес, сүрүлүүсүз тышкы рыноктук баада соода кылат. Эки портфель тең бирдей баа тобокелдигин көтөрөт, ошондуктан бирин экинчисинен кемитүү рыноктук ызы-чууну толугу менен жокко чыгарат жана AMM болуунун структуралык чыгымын гана калтырат: арбитражчылар, LP эмес, ар бир баа кыймылын кармап калгандыктан пул жоготкон акча. Бул калдык LVR.

Тышкы бааны $\sigma$ туруксуздугу менен геометриялык Браун кыймылы катары моделдеңиз. Документтин негизги натыйжасы — авторлор "AMMдер үчүн Блэк-Шоулз формуласы" деп атаган — LVR детерминисттик, терс эмес дрейф катары топтолот:

мында $x(P)$ - бул пулдун тобокелдүү активди баанын функциясы катары кармашы жана $x'(P) < 0$ (AMM тобокелдүү активди баасы көтөрүлгөндө сатат). Туруктуу продукт пулу үчүн, $x(P) = L/\sqrt P$, ошондуктан $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, жана пулдун баасы $V = 2L\sqrt P$ болгондуктан, пулдун баасынын бөлчөгү катары чен туруктууга чейин кыскарат:

Бул атактуу σ²/8. Бул комиссияга көз каранды эмес жана инвентаризацияга көз каранды эмес: туруктуу продукт пулу арбитражга бирдик убакытка өз баасынын $\sigma^2/8$ бөлүгүн жоготот, болду. Күнүмдүк 5% туруксуздукта бул $0.05^2/8 \approx 3.1$ базистик пункт күн сайын — жылына пулдун баасынын болжол менен 11% — бир дагы доллар комиссия эсептелгенге чейин. Концентрацияланган позиция үчүн ошол эле логика диапазондо турганда $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ берет: ILди күчөткөн рычаг LVRди бирдей фактор менен күчөтөт.

Эмне үчүн LVR туура эсеп бирдиги, ал эми IL эмес, бир касиетке байланыштуу: LP-минус-тең салмактоо айырмасы нөл туруксуздукка ээ. Бул таза алдын ала айтууга боло турган дрейф, $-\!\int \ell\,dt$. Бул баа тобокелдиги толугу менен хеджделүүчү экенин билдирет — тең салмактоочу портфелди динамикалык дельта хедж менен кайталаңыз, ошондо калганы детерминисттик болот. LPнин чыныгы экономикасы ошондуктан:

Биринчи мүчөнү хедждеңиз, ошондо LP комиссиялар − LVR − газ менен калат — кыска дисперсиялык позиция, анын кирешеси комиссия агымы, ал эми чыгымы туруктуу, алдын ала айтууга боло турган, туруксуздукка негизделген кан агуу. Бул кыска опциондук китептин гамма-тета компромисси: LVR - бул гамма чыгымы $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, комиссиялар - сиз чогулткан тета, жана Блэк-Шоулз опцион баасын аныктоо менен аналогия структуралык, декоративдик эмес. Бул ошондой эле Авелланеда-Стойков ордер китепчесинин рынок жаратуучулары үчүн формалдаштырган терс тандоо-каршы-спред чыңалуусу, пулдун комиссия деңгээли цитаталанган спреддин ролун ойнойт.

Бир тактоо алкакты чынчыл кармайт. Таза σ²/8 үзгүлтүксүз, чыгымсыз арбитражды болжолдойт. Чындыгында, комиссия деңгээли өзү арбитражсыз диапазонду түзөт — арбитражчылар баа кыймылы комиссиядан ашканда гана соода кылышат — ошондуктан ишке ашкан LVR сүрүлүүсүз көрсөткүчтөн кичине болот, жана комиссиялар эки эселенген милдетти аткарат: алар сизге төлөйт жана алар сизди коргогон диапазонду кеңейтет. Комиссияны эске алган, дискреттик убакыт версиясы кийинки Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023) эмгегинде иштелип чыккан; үзгүлтүксүз σ²/8ди кан агуунун жогорку чеги катары караңыз.

Маркалоо: блоктор боюнча терс тандоону өлчөө

LVR - бул диффузия жөнүндө теорема. Ал чыныгы толтурууларда калтырган эмпирикалык көлөкө - бул маркалоо, жана ал туруксуздуктун эч кандай модели жок эле жандуу позицияда терс тандоону кантип өлчөйсүз.

Маркалоо толтурууну кандайдыр бир $\Delta$ горизонтунан кийинки "адилет" баага каршы баалайт. Пассивдүү ликвиддүүлүк провайдери үчүн, сиздин диапазонуңузга каршы соода кылган ар бир своп - бул сиз тандабаган толтуруу — аны алуучу тандаган, жана алар аны өздөрү үчүн жакшы болгондуктан тандашкан. LPнин толтуруудагы маркалоосун кол коюлган инвентаризация өзгөрүүсү жолу кийинки баа кыймылы катары аныктаңыз:

мында $\Delta q$ - бул LP соодада алган тобокелдүү активдин саны (LP сатканда терс). Маалыматтуу жана уулуу агым муну системалуу түрдө терс кылат: пул тобокелдүү активди баа түшөрдөн мурун туура айткан сатуучудан сатып алат, жана баа көтөрүлөрдөн мурун туура айткан сатып алуучуга сатат. Көптөгөн толтуруулардын орточо мааниси боюнча, LP кийинки белгинин туура эмес тарабында болот — бул так LVR бир своптон кийин ишке ашат.

Блок боюнча өлчөнгөндө, бул таза терс тандоо метрикасына айланат: LPнин бир блок ичиндеги таза инвентаризация өзгөрүүсүн алып, аны бир же бир нече блок кийинки баага каршы белгилеңиз. Позициянын өмүр бою топтолгондо, блоктор боюнча маркалоолордун суммасы эмпирикалык LVR болуп саналат. Бул эмне үчүн маанилүү экени, маркалоо саны адатта жагымсыз болот. Чоң үлгүдөгү эмпирикалык изилдөөлөр — Лоеш, Хиндман, Ричардсон жана Уэлчтин 2021-жылдагы Uniswap v3 позицияларын анализинен (Topaze Blue / Bancor изилдөөсү) башталып, андан кийинки LVR-сандык баалоо такталары менен бекемделген — v3 LPлердин чоң бөлүгү, көптөгөн негизги пулдарда жарымы же андан көбү, IL жана терс тандоо комиссиялардан тазалангандан кийин токендерди жөн эле кармап туруудан төмөн көрсөткүчкө ээ болгонун аныкташкан. Картеа, Дрисси жана Монга концентрацияланган ликвиддүүлүк үчүн ошол эле санды "алдын ала айтууга боло турган жоготуу" катары формалдаштырып, башка жол менен ошол эле туруксуздукка масштабдалган дрейфке келишкен.

Жандуу китепчени көзөмөлдөгөн LP үчүн практикалык жыйынтык: комиссия APR - бул одоно сан; комиссиялар + маркалоо - бул таза. Позиция жакшы комиссия кирешесин жана терең терс маркалоону көрсөтүшү мүмкүн, жана сумма - бул сиз чындыгында тапкан нерсе. Сизге каршы ошол маркалоону ишке ашырган арбитражчылар MEV жана mempool макаласында сүрөттөлгөн ошол эле издөөчүлөр — ар бир оракул кыймылынан кийин эски AMM цитатасына каршы артка чуркоо - бул LVR экстракциясы, блок боюнча, жана бул MEV спектринин жумшак, бааны оңдоочу учу, ал эми сиздин PnLдин уулуу учу.

LPing чынында кармап туруудан ашканда

Баарын ал кызмат кылган чечимге чейин кыскартыңыз. Рыноктук тобокелдикти хедждеңиз, ошондо LP позициясы өзүнүн эталонуна каршы +EV болот, так ошол учурда комиссия кирешесинин ченеми LVR ченемин жапканда:

мында $f$ - бул пулдун комиссия деңгээли жана $\tau$ - бул жүгүртүү — соода көлөмү TVLге бөлүнгөн, бирдик убакытка. Кайра иретке келтирилгенде, шарт эки туруксуздукту салыштыруу болуп саналат. Комиссия агымы тең салмактоочу туруксуздукту билдирет:

жана LP ишке ашкан туруксуздук андан төмөн болгондо жеңет. Бул AMMдин болжолдонгон-каршы-ишке ашкан версиясы: пул өзүнүн комиссия кирешеси аркылуу болжолдонгон туруксуздукту цитаталайт, жана ликвиддүүлүктү камсыз кылуу ошол деңгээлде дисперсияны сатуу болуп саналат. Кээ бир иштетилген шилтеме пункттары (жүгүртүү ачык эле гипотетикалык, активдүү пулдарды көрсөтүү үчүн тандалган):

• 0.05% пул, жүгүртүү 1.0/күн (күнүмдүк көлөм ≈ TVL): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ күнүмдүк. ~6.3% ишке ашкан күнүмдүк туруксуздуктан төмөн болгондо, LP алдыда.
• 0.30% пул, жүгүртүү 0.2/күн: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ күнүмдүк.
• Стейблкоин / корреляцияланган жуп, $\sigma \approx 0.2\%$ күнүмдүк: LVR $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ күнүнө — негизинен эч нерсе, анткени LVR туруксуздуктун квадраты менен масштабдалат. Дээрлик бардык комиссия кирешеси аны жабат.

Бул квадраттык көз карандылык бүт стратегияны бир фактыда камтыйт. Жуптун туруксуздугун эки эсе азайтуу кан агууну төрт эсе азайтат, ал эми комиссия кирешеси таасир этпейт. Ошондуктан туруктуу LP артыкчылыгы төмөн-σ жуптарда жашайт — стейблкоин жуптары, ликвиддүү-стейкинг-токен/ETH жуптары жана башка тыгыз корреляцияланган буттар — жана эмне үчүн туруксуз жуп LPing комиссиялар өзгөчө же сиз пул кан агып жаткандан тезирээк хедждеп жана тең салмактай аласыз деген коюм.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Бүт чечим негизделген бир киргизүү $\sigma$ — өткөн айдын ишке ашкан туруксуздугу эмес, тескерисинче, кармоо мезгилиндеги ишке ашкан туруксуздуктун болжолу, бул так туруксуздукту болжолдоо маселеси. GARCH бир күндүк туруксуздук болжолу "бул пул жетиштүү төлөйбү" деген суроону жандуу, жаңыртылуучу сигналга айлантат: болжол тең салмактоодон төмөн болгондо LP кылыңыз, туруксуздук режиминин өзгөрүшү аны жогору түрткөндө четте туруңуз.

Концентрация сиз диапазондо турганда катышты өзгөртпөйт — ал комиссия кирешесин жана LVRди ошол эле $\Lambda$ менен көбөйтөт, ошондуктан комиссия-каршы-туруксуздук теңсиздиги диапазондо масштабга көз каранды эмес. Ал өзгөрткөн нерсе - бул четтеринин айланасындагы бардык нерсе: тар диапазон диапазондо азыраак убакыт өткөрөт (комиссиялар жок, диапазондон чыкканда тоңуп калган IL), жана активдүү тең салмактоону талап кылат, анын газы жана кайра кирүү маркалоосу чыныгы чыгымдар. Ошондуктан тар диапазондор үчүн чынчыл эреже тар: аларды ишке ашкан туруксуздук болжолуңуз диапазондун туурасына салыштырмалуу төмөн болгондо гана актаңыз, же позицияны коюп, унутуп калбастан, активдүү башкарып жана хедждеп жатканда. Ошол активдүү башкаруунун механикасы — тең салмактоо триггерлери, пулдун өзгөрүп жаткан инвентаризациясын дельта-хедждөө жана комиссиялар − LVR кирешесин хеджделген стратегияга айландыруу — Uniswap v3 LP стратегиялары жана хедждөө боюнча коштоочу макаланын темасы.

Эмнени алып кетүү керек

• Туруксуз жоготуунун жабык формасы бар, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, лог-баада симметриялуу (2× жана −50% кыймыл экөө тең 5.72% чыгым болот) жана кирүүгө жакын лог-кайтарууда квадраттык — кыска-гамма төлөмүнүн манжа изи.
• Концентрацияланган ликвиддүүлүк – бул рычагдуу IL. Абсолюттук дивергенция жоготуусу берилген $L$ үчүн өзгөрүүсүз, бирок бирдей капитал $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ эсе көп $L$ жайгаштырат, ошондуктан IL да, комиссиялар да $\Lambda$ менен масштабдалат — жана баа диапазондон чыккандан кийин позиция жоготуучу активге тоңуп калат.
• LVR - бул хедждөөдөн кийин калган жоготуу. Тең салмактоочу портфелге салыштырмалуу, туруктуу продукт пулу комиссияларга карабастан бирдик убакытка баасынын $\sigma^2/8$ бөлүгүн жоготот; LPнин хеджделген PnLси комиссиялар − LVR − газ, кыска дисперсиялык киреше.
• Маркалоо - бул чыныгы толтурууларда өлчөнгөн LVR. Блок боюнча маркалоо терс тандоону түздөн-түз сандык баалайт, жана эмпирикалык жазуу v3 LPлердин чоң бөлүгү, ал эсептелгенден кийин кармап турууга салыштырмалуу таза терс экенин көрсөтөт. Комиссия APR - бул одоно; комиссиялар + маркалоо - бул таза.
• Чечим бир теңсиздик. LP өзүнүн эталонунан ашат, эгер комиссия кирешеси $\sigma^2/8$дан ашса, б.а. ишке ашкан туруксуздук комиссия тарабынан болжолдонгон тең салмактоочу $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$дан төмөн түшсө. LVR $\sigma^2$ менен масштабдалгандыктан, артыкчылык төмөн туруксуздуктагы, корреляцияланган жуптарда жашайт — жана аны чечүүчү киргизүү туруксуздукту болжолдоо болуп саналат.

Шилтемелер

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (ак кагаз).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.