無常損失與 LVR：LP 獲利能力的真實數學

提供流動性看起來像是一種收益產品，但行為卻像一本賣空選擇權的帳簿。池子儀表板上的 APR 標題是一個總數：它計算流入的費用，卻悄悄地忽略了兩種流出的成本——你的頭寸與你存入的資產之間的差異（無常損失），以及套利者在每次價格變動時挑選你的過時報價所造成的穩定、隱秘的流失（再平衡損失）。如果會計正確，整個業務就歸結為一個不等式：費用流是否能抵消持有頭寸的波動性驅動成本？如果會計錯誤，你就是一個系統性的波動性賣家，卻忘記了為波動性定價。

本文是 Uniswap v3 for quants 的後續文章，該文以再平衡損失結尾並指向此處。我們從基本原理構建獲利能力計算：常數乘積池的無常損失的閉合形式，為什麼集中流動性是槓桿化的 IL，σ²/8 LVR 結果及其實現的精確損益分解，每區塊標記如何憑經驗衡量逆向選擇，以及盈虧平衡條件——費用與波動性的比較——它告訴你何時 LP 頭寸相對於簡單持有代幣實際上是 +EV。

常數乘積不變量與無常損失的誕生

Uniswap v2 池持有風險代幣的儲備 $x$ 和計價單位的儲備 $y$，並在每次交易中強制執行 $x \cdot y = k$。風險資產的邊際價格是 $P = y/x$。因為 $k$ 是守恆的，所以在任何價格 $P$ 下的儲備都是固定的：

從價格 $p_0$ 開始，儲備為 $(x_0, y_0)$，讓價格漂移到 $p$。LP 的頭寸價值，以新價格計價，為

如果你只是持有存入的代幣而不是將它們放入池中，你的價值將是

定義價格比率 $r = p/p_0$。相除後，$\sqrt{k}$ 和 $\sqrt{p_0}$ 會乾淨地抵消，留下無常損失作為價格比率的函數：

這就是整個對象。對於每個 $r \neq 1$，它都是負數，只有當價格回到你進入時的水平時才為零——「無常」正是因為如果價格回升，它就會消失。有兩個特性值得內化。

它在對數價格上是對稱的。 代入 $r \to 1/r$：表達式不變，因為 $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$。翻倍和減半的傷害是相同的。具體來說，2 倍的變動 ($r=2$) 和 −50% 的變動 ($r = 0.5$) 都會產生

當你用對數表示價格比率時，對稱性最為清晰。對於 $u = \ln r$，一個簡短的操縱將 IL 壓縮成一個雙曲正割：

這使得對數收益的二次形狀變得明確：在入場價格附近，IL 隨著對數價格變動的平方而增長——這是空頭伽馬收益的標誌，也是它在小幅波動時保持微不足道，而在趨勢中卻會造成嚴重損失的原因。

這些數字看起來很小，直到你記住它們衡量的是什麼：IL 是相對於持有的差距，它只相對於該基準實現。一個 4 倍的代幣讓 LP 在美元方面賺了很多錢——只是比他們持有時少了 20%。IL 不是你感受到的損失；它是一種你必須為之付出代價的機會成本。費用流就是這種支付。它是否足夠是本文的其餘部分。

集中流動性是槓桿化的無常損失

Uniswap v3 允許 LP 將資金限制在價格範圍 $[p_a, p_b]$ 內。在該範圍內，頭寸的行為與 v2 池完全相同——相同的綁定曲線——但僅使用覆蓋該範圍所需的儲備（v3 機制文章中推導的虛擬儲備結構）。對 IL 的影響是顯著的，它來自一行代數。

寫 $s = \sqrt p$。一個在 $[p_a, p_b]$ 上具有流動性 $L$ 的 v3 頭寸，以價格 $p_0$ 進入並在 $p$ 處仍在範圍內，持有 $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ 和 $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$。計算其價值減去其自身初始代幣的 HODL 價值，所有涉及 $p_a$ 和 $p_b$ 的都抵消了：

這與具有相同 $L$ 的 v2 池的絕對背離損失相同——範圍邊界沒有出現。那麼額外的痛苦從何而來？來自資本。集中到 $[p_a, p_b]$ 允許相同的美元支持更大的 $L$。對於以入場價格為幾何中心的範圍，放大因子恰好是

v3「資本效率」乘數。一個全範圍頭寸有 $\Lambda = 1$；一個從 $0.5p_0$ 到 $2p_0$ 的範圍給出 $\Lambda \approx 3.4$；一個圍繞 $p_0 = 3000$ 的 $[2700, 3300]$ 帶（±10%）給出 $\Lambda \approx 20.4$。因為絕對損失與 $L$ 成比例，並且等量的資本購買 $\Lambda$ 倍的 $L$，所以分數 IL 以相同的方式縮放：

以 ±10% 的頭寸為例，入場價 3,000 美元，然後將價格上漲。上表中 v2 的數字乘以約 20：

10% 的變動使全範圍 LP 損失 11 個基點，而集中 LP 則損失 2.3%（相對於持有）。而且在邊界處情況會變得更糟，因為該範圍還有第二個公式隱藏的邊緣：一旦價格超過 $p_b$，頭寸將 100% 變為計價單位，停止賺取費用，並且其背離凍結在邊界組成。 集中 LP 在上漲過程中完全賣出了風險資產，現在看著任何進一步的上漲，卻沒有任何風險資產——空頭跨式期權的尾部，被鎖定，溢價流被關閉。集中是費用收入和損失的槓桿，加上路徑依賴性——在範圍內花費的時間——這是樸素的 $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ 縮放無法捕捉的。

LVR：你無法歸咎於市場的損失

無常損失衡量 LP 相對於被動 HODLer 的表現，而這個基準悄悄地引入了市場風險：「IL vs HODL」向你收取的費用大部分只是你無論如何都會通過持有代幣而承擔的方向性風險。更精確的分解——將作為 AMM 所特有的成本分離出來的分解——是再平衡損失 (LVR)，來自 Milionis、Moallemi、Roughgarden 和 Zhang 的《自動化做市與再平衡損失》(arXiv:2208.06046)。

其理念是將 LP 與再平衡投資組合進行比較，而不是與持有進行比較。再平衡投資組合在每個時刻都持有與池子完全相同的代幣數量——相同的 delta，相同的市場敞口——但以無摩擦的外部市場價格進行交易，而不是根據池子自身的綁定曲線進行交易。這兩個投資組合承擔相同的價格風險，因此將一個減去另一個可以完全消除市場噪音，只留下作為 AMM 的結構性成本：池子因套利者（而不是 LP）在每次價格變動中獲利而損失的資金。這個殘餘就是 LVR。

將外部價格模型化為波動率為 $\sigma$ 的幾何布朗運動。該論文的核心結果——作者稱之為「AMM 的布萊克-斯科爾斯公式」——是 LVR 作為確定性、非負漂移累積：

其中 $x(P)$ 是池子作為價格函數的風險資產持有量，$x'(P) < 0$（AMM 在價格上漲時賣出風險資產）。對於常數乘積池，$x(P) = L/\sqrt P$，因此 $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$，由於池子價值為 $V = 2L\sqrt P$，作為池子價值分數的費率坍縮為常數：

這就是著名的 σ²/8。它與費用無關，與庫存無關：一個常數乘積池每單位時間向套利者流失其價值的 $\sigma^2/8$，就這樣。在 5% 的每日波動率下，這相當於每天 $0.05^2/8 \approx 3.1$ 個基點——每年約佔池子價值的 11%——在計算任何費用之前。對於集中頭寸，相同的邏輯在範圍內給出 $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$：放大 IL 的槓桿以相同的因子放大 LVR。

為什麼 LVR 是正確的計量單位，而 IL 不是，歸結為一個特性：LP 減去再平衡的差異具有零波動率。 它是一個純粹的可預測漂移，$-\!\int \ell\,dt$。這意味著價格風險是完全可對沖的——用動態 delta 對沖複製再平衡投資組合，剩下的就是確定性的。因此，LP 的真實經濟學是

對沖掉第一項後，LP 剩下的是費用 − LVR − gas——一個空頭波動性頭寸，其收益是費用流，其成本是持續的、可預測的、波動性驅動的流失。這正是空頭選擇權帳簿的伽馬-theta 權衡：LVR 是伽馬成本 $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$，費用是你收取的 theta，與 Black–Scholes 選擇權定價的類比是結構性的，而不是裝飾性的。這也是 Avellaneda–Stoikov 為訂單簿做市商形式化的逆向選擇與價差之間的緊張關係，其中池子的費用層扮演了報價價差的角色。

一個改進讓框架保持誠實。乾淨的 σ²/8 假設連續、無成本的套利。實際上，費用層本身會產生一個無套利區間——套利者只有在價格變動超過費用時才會交易——因此實現的 LVR 小於無摩擦的數字，並且費用具有雙重作用：它們支付你並擴大保護你的區間。費用感知、離散時間版本在後續的《自動化做市與存在費用時的套利利潤》（Milionis、Moallemi、Roughgarden，2023 年）中闡述；將連續的 σ²/8 視為流失的上限。

Markout：逐塊衡量逆向選擇

LVR 是關於擴散的定理。它在實際成交中投射的經驗陰影是markout，它是你衡量實時頭寸逆向選擇的方式，無需任何波動率模型。

Markout 根據一段時間 $\Delta$ 後的參考「公允」價格評估成交。對於被動流動性提供者，每個與你的範圍交易的交換都是你沒有選擇的成交——接受者選擇了它，他們選擇它是因為它對他們有利。將 LP 在成交上的 markout 定義為簽名庫存變化乘以隨後的價格變動：

其中 $\Delta q$ 是 LP 在交易中獲得的風險資產數量（當 LP 賣出時為負）。知情和有毒的流動使這系統性地為負：池子從正確的賣家那裡購買風險資產，就在價格下跌之前，並賣給正確的買家，就在價格上漲之前。平均許多成交，LP 處於下一個刻度的錯誤一側——這正是 LVR 每次交換實現一次。

按區塊衡量，這成為一個清晰的逆向選擇指標：計算 LP 在一個區塊內的淨庫存變化，並根據一個或幾個區塊後的價格進行標記。在頭寸的生命週期中累計，每區塊 markout 的總和就是經驗 LVR。它之所以重要，是因為 markout 數字通常很難看。大規模的實證研究——從 Loesch、Hindman、Richardson 和 Welch 2021 年對 Uniswap v3 頭寸的分析（Topaze Blue / Bancor 研究）開始，並得到隨後的 LVR 量化儀表板的強化——發現很大一部分 v3 LP，在許多主要池中約有一半或更多，在 IL 和逆向選擇抵消費用後，表現不如簡單持有代幣。 Cartea、Drissi 和 Monga 將集中流動性的相同數量形式化為「可預測損失」，通過不同的途徑得出相同的波動率縮放漂移。

對於監控實時帳簿的 LP 來說，實際的啟示是：費用年化收益率是一個總數；費用 + markout 是淨額。 一個頭寸可以顯示健康的費用收益率和深度負的 markout，而總和才是你實際賺取的。實現對你 markout 的套利者與 MEV 和記憶池文章中描述的搜索者相同——在每次預言機變動後對過時的 AMM 報價進行回溯是 LVR 提取，逐塊進行，它是 MEV 譜系中良性、價格修正的一端，即使它是你損益中有毒的一端。

何時 LP 實際上優於持有

將所有內容歸結為它所服務的決策。對沖市場風險，當費用收入率清除 LVR 率時，LP 頭寸相對於其基準是 +EV：

其中 $f$ 是池子的費用層級，$\tau$ 是周轉率——交易量除以 TVL，每單位時間。重新排列後，條件是兩個波動率的比較。費用流意味著一個盈虧平衡波動率

當實現波動率低於它時，LP 就會獲勝。這是 AMM 的隱含與實現版本：池子通過其費用收益率報價隱含波動率，提供流動性就是以該水平出售波動率。一些已計算的參考點（周轉率顯然是假設的，選擇代表活躍池）：

• 0.05% 池，周轉率 1.0/天（交易量 ≈ TVL 每日）：$\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ 每日。低於約 6.3% 的每日實現波動率，LP 領先。
• 0.30% 池，周轉率 0.2/天：$\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ 每日。
• 穩定幣/相關對，$\sigma \approx 0.2\%$ 每日：LVR 為 $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ 每日——基本上沒有，因為 LVR 與波動率的平方成比例。幾乎任何費用收益率都能清除它。

這種平方依賴性是整個策略的一個事實。將配對的波動率減半會使流失減少四分之一，而費用收益率不受影響。這就是為什麼持久的 LP 優勢存在於低 σ 配對中——穩定幣配對、流動質押代幣/ETH 配對以及其他緊密相關的配對——以及為什麼波動性配對 LP 是一種賭注，即費用是異常的，或者你可以比池子流失更快地對沖和再平衡。

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

整個決策所依賴的一個輸入是 $\sigma$——不是上個月的實現波動率，而是持有期內實現波動率的預測，這正是波動率預測問題。GARCH 一天期波動率預測 插入 $\sigma^\ast$ 將「這個池子支付足夠嗎」變成一個實時、可更新的信號：當預測低於盈虧平衡時 LP，當波動率制度轉變將其推高時則退出。

當你在範圍內時，集中不會改變比率——它將費用收益率和 LVR 乘以相同的 $\Lambda$，因此費用與波動率不等式在範圍內是規模不變的。它改變的是邊緣的一切：狹窄的範圍在範圍內花費的時間更少（沒有費用，超出範圍時 IL 凍結），並且需要主動再平衡，其 gas 和重新進入的 markout 是真實的成本。因此，對於狹窄範圍的誠實規則是狹窄的：只有當你的實現波動率預測相對於範圍寬度較低時，或者當你主動管理和對沖頭寸而不是設置後忘記時，才證明它們是合理的。這種主動管理的機制——再平衡觸發器、對沖池子不斷變化的庫存的 delta、以及將費用 − LVR 收益轉化為對沖策略——是關於 Uniswap v3 LP 策略和對沖的配套文章的主題。

總結

• 無常損失具有閉合形式，$\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$，在對數價格上對稱（2 倍和 -50% 的變動都損失 5.72%），並且在入場附近呈對數收益的二次方——這是空頭伽馬收益的特徵。
• 集中流動性是槓桿化的 IL。 對於給定的 $L$，絕對背離損失不變，但等量資本部署 $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ 倍的 $L$，因此 IL 和費用都按 $\Lambda$ 縮放——一旦價格超出範圍，頭寸就會凍結在虧損資產中。
• LVR 是對沖後仍然存在的損失。 相對於再平衡投資組合，常數乘積池每單位時間流失 $\sigma^2/8$ 的價值，無論費用如何；LP 的對沖損益是費用 − LVR − gas，一個空頭波動性收益。
• Markout 是在實際成交中衡量的 LVR。 每區塊 markout 直接量化逆向選擇，經驗記錄顯示，一旦計算在內，很大一部分 v3 LP 相對於持有是淨負的。費用年化收益率是總額；費用 + markout 是淨額。
• 決策是一個不等式。 當費用收益率超過 $\sigma^2/8$ 時，LP 擊敗其基準，即當實現波動率低於費用隱含的盈虧平衡 $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$ 時。由於 LVR 與 $\sigma^2$ 成比例，因此優勢存在於低波動性、相關配對中——決定它的輸入是波動率預測。

參考文獻

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
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• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.