Impermanent Loss e LVR: la vera matematica della redditività degli LP

Fornire liquidità sembra un prodotto di rendimento e si comporta come un portafoglio di opzioni short. L'APR indicato sulla dashboard di un pool è un numero lordo: conta le commissioni in entrata e ignora silenziosamente i due costi in uscita — la divergenza tra ciò che la tua posizione diventa e ciò che hai depositato (perdita impermanente), e il più costante e subdolo salasso agli arbitraggisti che approfittano delle tue quotazioni obsolete ad ogni movimento di prezzo (loss-versus-rebalancing). Se la contabilità è corretta, l'intera attività si riduce a una disuguaglianza: il flusso di commissioni copre il costo della posizione, guidato dalla volatilità? Se è sbagliata, sei un venditore sistematico di varianza che ha dimenticato di prezzare la varianza.

Questo articolo è il seguito promesso di Uniswap v3 per i quant, che si concludeva menzionando la perdita-versus-rebalancing e rimandando qui. Costruiamo il calcolo della redditività dai principi fondamentali: la forma chiusa per la perdita impermanente su un pool a prodotto costante, perché la liquidità concentrata è una IL con leva, il risultato σ²/8 LVR e l'esatta decomposizione del PnL che esso consente, come la markout per blocco misura empiricamente la selezione avversa, e la condizione di pareggio — un confronto commissioni-volatilità — che ti dice quando una posizione LP è effettivamente +EV rispetto al semplice mantenimento dei token.

L'invariante a prodotto costante e la nascita della perdita impermanente

Un pool Uniswap v2 detiene riserve $x$ del token rischioso e $y$ del numerario e impone $x \cdot y = k$ su ogni scambio. Il prezzo marginale dell'asset rischioso è $P = y/x$. Poiché $k$ è conservato, le riserve a qualsiasi prezzo $P$ sono vincolate:

Partiamo dal prezzo $p_0$ con riserve $(x_0, y_0)$ e lasciamo che il prezzo si sposti a $p$. La posizione dell'LP vale, al nuovo prezzo,

Se avessi semplicemente tenuto i token depositati invece di metterli in pool, avresti avuto un valore di

Definiamo il rapporto di prezzo $r = p/p_0$. Dividendo, $\sqrt{k}$ e $\sqrt{p_0}$ si annullano completamente, lasciando la perdita impermanente come funzione del solo rapporto di prezzo:

Questo è l'intero oggetto. È negativo per ogni $r \neq 1$ e zero solo quando il prezzo torna al punto di ingresso — "impermanente" proprio perché svanisce se il prezzo ritorna. Due proprietà meritano di essere interiorizzate.

È simmetrica nel log-prezzo. Sostituisci $r \to 1/r$: l'espressione rimane invariata, perché $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Un raddoppio e un dimezzamento fanno male in modo identico. Concretamente, un movimento di 2× ($r=2$) e un movimento di −50% ($r = 0.5$) danno entrambi

La simmetria è più evidente quando si scrive il rapporto di prezzo in logaritmi. Con $u = \ln r$, una breve manipolazione riduce l'IL a una secante iperbolica:

il che rende esplicita la forma quadratica nel log-rendimento: vicino al prezzo di ingresso, l'IL cresce con il quadrato del movimento del log-prezzo — la firma di un payoff short-gamma, e la ragione per cui rimane trascurabile per piccole oscillazioni e morde forte sulle tendenze.

I numeri sembrano piccoli finché non si ricorda cosa misurano: l'IL è il divario rispetto al mantenimento, ed è realizzato solo rispetto a quel benchmark. Un token che quadruplica lascia l'LP con un guadagno considerevole in termini di dollari — solo il 20% in meno rispetto a quanto avrebbe avuto se lo avesse tenuto. L'IL non è una perdita che si sente; è un costo opportunità che deve essere pagato per sopportarlo. Il flusso di commissioni è quel pagamento. Se sia sufficiente è il resto di questo articolo.

La liquidità concentrata è una perdita impermanente con leva

Uniswap v3 consente a un LP di confinare il capitale in un intervallo di prezzo $[p_a, p_b]$. All'interno dell'intervallo la posizione si comporta esattamente come un pool v2 — stessa curva di bonding — ma utilizzando solo le riserve necessarie per coprire quella banda (la costruzione di riserva virtuale derivata nell'articolo sulla meccanica di v3). La conseguenza per l'IL è netta, e deriva da una sola riga di algebra.

Scrivi $s = \sqrt p$. Una posizione v3 con liquidità $L$ su $[p_a, p_b]$, inserita al prezzo $p_0$ e ancora in range a $p$, detiene $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ e $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Calcola il suo valore meno il valore HODL dei suoi token iniziali, e tutto ciò che riguarda $p_a$ e $p_b$ si annulla:

Questa è la stessa perdita di divergenza assoluta di un pool v2 con l'identico $L$ — i limiti dell'intervallo non compaiono. Da dove viene quindi il dolore extra? Dal capitale. Concentrarsi in $[p_a, p_b]$ permette agli stessi dollari di sostenere un $L$ molto più grande. Per un intervallo geometricamente centrato sul prezzo di ingresso il fattore di amplificazione è esattamente

il moltiplicatore di "efficienza del capitale" di v3. Una posizione a gamma completa ha $\Lambda = 1$; un intervallo da $0.5p_0$ a $2p_0$ dà $\Lambda \approx 3.4$; una banda $[2700, 3300]$ intorno a $p_0 = 3000$ (±10%) dà $\Lambda \approx 20.4$. Poiché la perdita assoluta scala con $L$ e un capitale uguale acquista $\Lambda$ volte più $L$, l'IL frazionaria scala allo stesso modo:

Prendiamo quella posizione del ±10%, ingresso $3.000, e facciamo salire il prezzo. I numeri v2 della tabella sopra vengono moltiplicati per ~20:

Un movimento del 10% che costa a un LP a gamma completa undici punti base costa all'LP concentrato il 2,3% rispetto al mantenimento. E peggiora al limite, perché l'intervallo ha un secondo bordo che la formula sopra nasconde: una volta che il prezzo supera $p_b$, la posizione è al 100% in numerario, smette di guadagnare commissioni e la sua divergenza si blocca alla composizione del limite. L'LP concentrato ha venduto completamente l'asset rischioso durante la salita e ora osserva qualsiasi ulteriore rally senza averne — la coda dello short-straddle, bloccata, con il flusso di premi disattivato. La concentrazione è leva sia sul reddito da commissioni che sulla perdita, più una dipendenza dal percorso — tempo trascorso nell'intervallo — che la scalatura ingenua $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ non cattura.

LVR: la perdita che non puoi imputare al mercato

La perdita impermanente misura l'LP rispetto a un HODLer passivo, e questo benchmark introduce silenziosamente il rischio di mercato: la maggior parte di ciò che "IL vs HODL" ti addebita è solo l'esposizione direzionale che avresti comunque avuto possedendo i token. La decomposizione più precisa — quella che isola il costo specifico dell'essere un AMM — è la perdita-versus-rebalancing (LVR), da Milionis, Moallemi, Roughgarden e Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

L'idea è di confrontare l'LP non con il mantenimento, ma con un portafoglio di ribilanciamento che detiene, in ogni istante, le stesse identiche quantità di token del pool — stesso delta, stessa esposizione al mercato — ma scambia al prezzo di mercato esterno senza attriti invece che contro la curva di bonding del pool stesso. Entrambi i portafogli comportano un rischio di prezzo identico, quindi sottraendo l'uno dall'altro si annulla completamente il rumore di mercato e rimane solo il costo strutturale di essere l'AMM: il denaro che il pool perde perché gli arbitraggisti, non l'LP, catturano ogni movimento di prezzo. Questo residuo è l'LVR.

Modelliamo il prezzo esterno come un moto browniano geometrico con volatilità $\sigma$. Il risultato centrale del documento — che gli autori chiamano una "formula Black-Scholes per gli AMM" — è che l'LVR si accumula come una deriva deterministica e non negativa:

dove $x(P)$ è la detenzione di asset rischiosi del pool in funzione del prezzo e $x'(P) < 0$ (l'AMM vende l'asset rischioso all'aumentare del suo prezzo). Per il pool a prodotto costante, $x(P) = L/\sqrt P$, quindi $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, e poiché il valore del pool è $V = 2L\sqrt P$, il tasso come frazione del valore del pool si riduce a una costante:

Questo è il famoso σ²/8. È indipendente dalle commissioni e dall'inventario: un pool a prodotto costante perde $\sigma^2/8$ del suo valore per unità di tempo a causa dell'arbitraggio, punto. Con una volatilità giornaliera del 5%, sono $0.05^2/8 \approx 3.1$ punti base ogni giorno — circa l'11% del valore del pool all'anno — prima che venga conteggiato un solo dollaro di commissioni. Per una posizione concentrata la stessa logica dà $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ mentre è in range: la leva che ha amplificato l'IL amplifica l'LVR dello stesso identico fattore.

Il motivo per cui l'LVR è l'unità di conto corretta, e l'IL no, si riduce a una proprietà: la differenza LP-meno-rebalancing ha volatilità zero. È una pura deriva prevedibile, $-\!\int \ell\,dt$. Ciò significa che il rischio di prezzo è completamente copribile — replica il portafoglio di ribilanciamento con una copertura delta dinamica e ciò che rimane è deterministico. La vera economia dell'LP è quindi

Elimina il primo termine e all'LP rimane commissioni − LVR − gas — una posizione short-variance il cui carry è il flusso di commissioni e il cui costo è un salasso continuo, prevedibile e guidato dalla volatilità. Questo è esattamente il trade-off gamma-theta di un portafoglio di opzioni short: l'LVR è il costo gamma $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, le commissioni sono il theta che si raccoglie, e l'analogia con la valutazione delle opzioni Black-Scholes è strutturale, non decorativa. È anche la stessa tensione selezione avversa-spread che Avellaneda-Stoikov formalizzano per i market maker di order book, con il livello di commissione del pool che svolge il ruolo dello spread quotato.

Un perfezionamento mantiene l'onestà del quadro. Il pulito σ²/8 presuppone un arbitraggio continuo e senza costi. In realtà, il livello di commissione stesso crea una banda senza arbitraggio — gli arbitraggisti scambiano solo una volta che un movimento di prezzo supera la commissione — quindi l'LVR realizzato è inferiore alla cifra senza attrito, e le commissioni svolgono un doppio ruolo: ti pagano e allargano la banda che ti protegge. La versione discreta e consapevole delle commissioni è elaborata nel seguito Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023); considera σ²/8 continuo come un limite superiore del salasso.

Markout: misurare la selezione avversa blocco per blocco

L'LVR è un teorema sulla diffusione. L'ombra empirica che proietta sui reali riempimenti è il markout, ed è il modo in cui si misura la selezione avversa su una posizione live senza alcun modello di volatilità.

Il markout valuta un riempimento rispetto a un prezzo "equo" di riferimento qualche orizzonte $\Delta$ dopo. Per un fornitore di liquidità passivo, ogni swap che scambia contro il tuo range è un riempimento che non hai scelto — l'acquirente lo ha scelto, e lo ha scelto perché era conveniente per lui. Definisci il markout dell'LP su un riempimento come la variazione di inventario firmata moltiplicata per il successivo movimento di prezzo:

dove $\Delta q$ è la quantità di asset rischiosi che l'LP ha acquisito nello scambio (negativa quando l'LP ha venduto). Il flusso informato e tossico rende questo valore sistematicamente negativo: il pool acquista l'asset rischioso da un venditore che ha ragione, poco prima che il prezzo scenda, e vende a un acquirente che ha ragione, poco prima che salga. In media su molti riempimenti, l'LP si trova dalla parte sbagliata del tick successivo — che è precisamente l'LVR realizzato uno swap alla volta.

Misurato per blocco, questo diventa una metrica pulita di selezione avversa: prendi la variazione netta dell'inventario dell'LP in un blocco e confrontala con il prezzo uno o pochi blocchi dopo. Aggregato sulla vita di una posizione, la somma dei markout per blocco è l'LVR empirico. Il motivo per cui è importante è che il numero del markout è solitamente brutto. Gli studi empirici su larga scala — a partire dall'analisi del 2021 di Loesch, Hindman, Richardson e Welch sulle posizioni Uniswap v3 (lo studio Topaze Blue / Bancor) e rafforzati dalle dashboard di quantificazione LVR che ne sono seguite — hanno rilevato che una grande frazione degli LP v3, in molti pool importanti circa la metà o più, ha sottoperformato il semplice mantenimento dei token una volta che IL e selezione avversa sono stati compensati dalle commissioni. Cartea, Drissi e Monga formalizzano la stessa quantità per la liquidità concentrata come "perdita prevedibile", arrivando alla stessa deriva scalata per volatilità per una via diversa.

Il pratico insegnamento per un LP che monitora un libro live: l'APR delle commissioni è un numero lordo; commissioni + markout è il netto. Una posizione può mostrare un sano rendimento delle commissioni e un markout profondamente negativo, e la somma è ciò che hai effettivamente guadagnato. Gli arbitraggisti che realizzano quel markout contro di te sono gli stessi ricercatori profilati nell'articolo su MEV e mempool — un backrun contro una quotazione AMM obsoleta dopo ogni movimento dell'oracolo è estrazione di LVR, blocco per blocco, ed è la parte benigna, che corregge il prezzo, dello spettro MEV, anche se è la parte tossica del tuo PnL.

Quando l'LPing batte effettivamente il holding

Riduciamo tutto alla decisione che serve. Copri il rischio di mercato e una posizione LP è +EV rispetto al suo benchmark esattamente quando il tasso di reddito da commissioni supera il tasso LVR:

dove $f$ è il livello di commissione del pool e $\tau$ è il turnover — volume di trading diviso per TVL, per unità di tempo. Riorganizzata, la condizione è un confronto tra due volatilità. Il flusso di commissioni implica una volatilità di pareggio

e l'LP vince ogni volta che la volatilità realizzata è inferiore ad essa. Questa è la versione AMM di implicita-versus-realizzata: il pool quota una volatilità implicita attraverso il suo rendimento da commissioni, e fornire liquidità significa vendere varianza a quel livello. Alcuni punti di riferimento elaborati (il turnover è chiaramente ipotetico, scelto per essere rappresentativo dei pool attivi):

• Pool 0,05%, turnover 1,0/giorno (volume ≈ TVL giornaliero): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ giornaliero. Sotto ~6,3% di volatilità giornaliera realizzata, l'LP è in vantaggio.
• Pool 0,30%, turnover 0,2/giorno: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ giornaliero.
• Stablecoin / coppia correlata, $\sigma \approx 0.2\%$ giornaliero: LVR è $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ al giorno — essenzialmente nulla, perché LVR scala con il quadrato della volatilità. Quasi qualsiasi rendimento da commissioni lo supera.

Questa dipendenza al quadrato è l'intera strategia in un unico fatto. Dimezzare la volatilità della coppia riduce di un quarto il salasso, mentre il rendimento delle commissioni non è influenzato. È il motivo per cui il vantaggio duraturo dell'LP risiede nelle coppie a bassa σ — coppie di stablecoin, coppie liquid-staking-token/ETH e altre gambe strettamente correlate — e perché l'LPing di coppie volatili è una scommessa che le commissioni siano straordinarie o che tu possa coprire e ribilanciare più velocemente di quanto il pool sanguini.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

L'unico input su cui si basa l'intera decisione è $\sigma$ — non la volatilità realizzata del mese scorso, ma una previsione della volatilità realizzata durante il periodo di detenzione, che è esattamente un problema di previsione della volatilità. Una previsione di volatilità GARCH a un giorno inserita in $\sigma^\ast$ trasforma "questo pool paga abbastanza" in un segnale live e aggiornabile: LP quando la previsione è inferiore al punto di pareggio, si astiene quando un cambiamento di regime di volatilità la spinge al di sopra.

La concentrazione non modifica il rapporto finché si è all'interno dell'intervallo — moltiplica il rendimento delle commissioni e l'LVR per lo stesso $\Lambda$, quindi la disuguaglianza commissioni-volatilità è invariante di scala all'interno dell'intervallo. Ciò che cambia è tutto ciò che riguarda i bordi: un intervallo stretto trascorre meno tempo nell'intervallo (nessuna commissione, IL congelato quando è fuori), e richiede un ribilanciamento attivo i cui costi di gas e di markout di rientro sono costi reali. Quindi la regola onesta per gli intervalli stretti è ristretta: giustificali solo quando la tua previsione di volatilità realizzata è bassa rispetto all'ampiezza dell'intervallo, o quando stai gestendo e coprendo attivamente la posizione piuttosto che impostarla e dimenticarla. Le meccaniche di questa gestione attiva — trigger di ribilanciamento, copertura delta dell'inventario mutevole del pool e trasformazione del carry commissioni − LVR in una strategia coperta — sono l'oggetto dell'articolo complementare sulle strategie LP di Uniswap v3 e la copertura.

Cosa portare via

• La perdita impermanente ha una forma chiusa, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, simmetrica nel log-prezzo (un movimento di 2× e uno di −50% costano entrambi il 5,72%) e quadratica nel log-rendimento vicino all'ingresso — l'impronta di un payoff short-gamma.
• La liquidità concentrata è IL con leva. La perdita di divergenza assoluta rimane invariata per un dato $L$, ma un capitale uguale impiega $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ volte più $L$, quindi sia l'IL che le commissioni scalano di $\Lambda$ — e la posizione si blocca nell'asset perdente una volta che il prezzo esce dall'intervallo.
• LVR è la perdita che sopravvive alla copertura. Confrontato con un portafoglio di ribilanciamento, un pool a prodotto costante perde $\sigma^2/8$ di valore per unità di tempo indipendentemente dalle commissioni; il PnL coperto dell'LP è commissioni − LVR − gas, un carry short-variance.
• Il markout è l'LVR misurato su riempimenti reali. Il markout per blocco quantifica direttamente la selezione avversa, e i dati empirici mostrano che una grande parte degli LP v3 è netta-negativa rispetto al mantenimento una volta che viene conteggiata. L'APR delle commissioni è lordo; commissioni + markout è netto.
• La decisione è una disuguaglianza. Un LP batte il suo benchmark quando il rendimento delle commissioni supera $\sigma^2/8$, cioè quando la volatilità realizzata scende al di sotto del punto di pareggio implicito nelle commissioni $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$. Poiché l'LVR scala con $\sigma^2$, il vantaggio risiede in coppie a bassa volatilità e correlate — e l'input che lo decide è una previsione di volatilità.

Riferimenti

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.