비영구적 손실과 LVR: LP 수익성의 실제 수학

유동성 공급은 수익률 상품처럼 보이지만 실제로는 숏 옵션 북처럼 작동합니다. 풀 대시보드의 APR 헤드라인은 총액입니다. 이는 유입되는 수수료를 계산하고, 포지션이 되는 것과 예치한 것 사이의 차이(비영구적 손실), 그리고 모든 가격 변동에서 오래된 호가를 포착하는 차익 거래자들에게 꾸준히, 은밀하게 흘러나가는 두 가지 비용(재조정 대비 손실)을 조용히 무시합니다. 회계를 제대로 하면 전체 사업은 하나의 부등식으로 귀결됩니다. 즉, 수수료 흐름이 포지션 보유에 따른 변동성 기반 비용을 상쇄하는가? 잘못하면 변동성 가격을 책정하는 것을 잊은 체계적인 분산 판매자가 됩니다.

이 글은 Uniswap v3 for quants의 약속된 후속편으로, 재조정 대비 손실을 언급하며 이 글을 가리켰습니다. 우리는 첫 번째 원칙부터 수익성 계산을 구축합니다. 즉, 상수 곱 풀의 비영구적 손실에 대한 폐쇄형 공식, 집중 유동성이 레버리지된 IL인 이유, σ²/8 LVR 결과 및 이를 통해 가능한 정확한 PnL 분해, 블록당 마크아웃이 역선택을 경험적으로 측정하는 방법, 그리고 LP 포지션이 단순히 토큰을 보유하는 것보다 실제로 +EV일 때를 알려주는 손익분기점 조건(수수료 대 변동성 비교)입니다.

상수 곱 불변량과 비영구적 손실의 탄생

Uniswap v2 풀은 위험 토큰의 $x$와 기준 통화의 $y$를 보유하며 모든 거래에서 $x \cdot y = k$를 강제합니다. 위험 자산의 한계 가격은 $P = y/x$입니다. $k$가 보존되므로, 모든 가격 $P$에서의 준비금은 고정됩니다.

가격 $p_0$에서 준비금 $(x_0, y_0)$로 시작하여 가격이 $p$로 변동한다고 가정합니다. LP의 포지션 가치는 새로운 가격으로 표시될 때 다음과 같습니다.

만약 토큰을 풀에 넣지 않고 단순히 보유했다면, 가치는 다음과 같았을 것입니다.

가격 비율 $r = p/p_0$를 정의합니다. 나누면 $\sqrt{k}$와 $\sqrt{p_0}$가 깔끔하게 상쇄되어 비영구적 손실이 가격 비율만의 함수로 남습니다.

이것이 전체 개체입니다. 모든 $r \neq 1$에 대해 음수이며, 가격이 진입 가격으로 돌아올 때만 0입니다. 즉, 가격이 돌아오면 사라지기 때문에 "비영구적"입니다. 두 가지 속성을 내재화할 가치가 있습니다.

로그 가격에 대해 대칭입니다. $r \to 1/r$를 대입하면 $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$이므로 표현식은 변경되지 않습니다. 두 배가 되는 것과 절반이 되는 것은 동일하게 손해를 줍니다. 구체적으로, 2배 움직임($r=2$)과 -50% 움직임($r = 0.5$)은 모두 다음과 같습니다.

대칭성은 가격 비율을 로그로 작성할 때 가장 깔끔합니다. $u = \ln r$를 사용하면 짧은 조작으로 IL이 쌍곡선 시컨트로 축소됩니다.

이는 로그 수익률의 제곱에 비례하는 형태를 명확히 보여줍니다. 즉, 진입 가격 근처에서 IL은 로그 가격 변동의 제곱에 비례하여 증가합니다. 이는 숏 감마 페이오프의 특징이며, 작은 변동에는 무시할 수 있고 추세에는 크게 영향을 미치는 이유입니다.

이 수치들은 측정하는 것을 기억하기 전까지는 작아 보입니다. IL은 보유 대비 격차이며, 그 벤치마크에 대해서만 실현됩니다. 4배가 된 토큰은 LP에게 달러 기준으로 상당한 이득을 남깁니다. 즉, 보유했을 때보다 20% 적습니다. IL은 당신이 느끼는 손실이 아닙니다. 그것은 당신이 감수해야 할 기회 비용입니다. 수수료 흐름이 그 대가입니다. 그것이 충분한지는 이 글의 나머지 부분입니다.

집중 유동성은 레버리지된 비영구적 손실입니다.

Uniswap v3는 LP가 자본을 가격 범위 $[p_a, p_b]$에 제한할 수 있도록 합니다. 범위 내에서 포지션은 v2 풀과 정확히 동일하게 작동합니다(동일한 본딩 곡선). 그러나 해당 대역을 커버하는 데 필요한 준비금만 사용합니다(v3 메커니즘 문서에 설명된 가상 준비금 구성). IL에 대한 결과는 명확하며, 한 줄의 대수학에서 나옵니다.

$s = \sqrt p$를 작성합니다. $[p_a, p_b]$에 유동성 $L$를 가진 v3 포지션은 가격 $p_0$에 진입하여 $p$에서 여전히 범위 내에 있으며 $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$와 $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$를 보유합니다. 초기 토큰의 HODL 가치에서 그 가치를 빼면 $p_a$와 $p_b$와 관련된 모든 것이 상쇄됩니다.

이는 동일한 $L$를 가진 v2 풀과 동일한 절대 발산 손실입니다. 범위 경계는 나타나지 않습니다. 그렇다면 추가적인 고통은 어디에서 오는가? 자본에서 옵니다. $[p_a, p_b]$로 집중하면 동일한 달러가 훨씬 더 큰 $L$를 지원할 수 있습니다. 진입 가격을 중심으로 기하학적으로 중심을 잡은 범위의 증폭 계수는 정확히 다음과 같습니다.

v3 "자본 효율성" 승수입니다. 전체 범위 포지션은 $\Lambda = 1$를 가집니다. $0.5p_0$에서 $2p_0$까지의 범위는 $\Lambda \approx 3.4$를 제공합니다. $[2700, 3300]$ 주변의 $p_0 = 3000$ 대역(±10%)은 $\Lambda \approx 20.4$를 제공합니다. 절대 손실은 $L$에 비례하고 동일한 자본은 $\Lambda$배 더 많은 $L$를 구매하므로, 분수 IL은 동일한 방식으로 비례합니다.

±10% 포지션, 진입 가격 $3,000를 취하고 가격을 올립니다. 위 표의 v2 수치는 약 20배 곱해집니다.

전체 범위 LP에게 11bp의 비용이 드는 10% 움직임은 집중 LP에게는 보유 대비 2.3%의 비용이 듭니다. 그리고 경계에서 더 나빠집니다. 왜냐하면 범위에는 위 공식이 숨기는 두 번째 가장자리가 있기 때문입니다. 가격이 $p_b$를 넘어서면 포지션은 100% 기준 통화가 되고, 수수료를 벌지 못하며, 경계 구성에서 발산이 고정됩니다. 집중 LP는 상승하는 동안 위험 자산을 완전히 매도했으며, 이제는 아무것도 없이 추가 상승을 지켜봅니다. 즉, 숏 스트래들 꼬리가 고정되고 프리미엄 흐름이 꺼집니다. 집중은 수수료 수입과 손실 모두에 대한 레버리지이며, 순진한 $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ 스케일링이 포착하지 못하는 경로 의존성(범위 내에서 보낸 시간)을 더합니다.

LVR: 시장 탓을 할 수 없는 손실

비영구적 손실은 LP를 수동적인 HODLer와 비교하며, 이 벤치마크는 시장 위험을 조용히 숨깁니다. "IL vs HODL"이 부과하는 대부분은 토큰을 소유함으로써 어차피 감수했을 방향성 노출일 뿐입니다. 더 날카로운 분해, 즉 AMM이라는 특성으로 인한 비용을 분리하는 것은 Milionis, Moallemi, Roughgarden 및 Zhang의 Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046)에서 나온 **재조정 대비 손실(LVR)**입니다.

이 아이디어는 LP를 보유하는 것과 비교하는 것이 아니라, 매 순간 풀과 동일한 토큰 수량을 보유하는 재조정 포트폴리오와 비교하는 것입니다. 즉, 동일한 델타, 동일한 시장 노출을 가지지만, 풀 자체의 본딩 곡선이 아닌 마찰 없는 외부 시장 가격으로 거래합니다. 두 포트폴리오는 동일한 가격 위험을 가지므로, 하나를 다른 하나에서 빼면 시장 노이즈가 완전히 상쇄되고 AMM이라는 구조적 비용만 남습니다. 즉, 차익 거래자가 LP가 아닌 모든 가격 변동을 포착하기 때문에 풀이 잃는 돈입니다. 그 잔여물이 LVR입니다.

외부 가격을 변동성 $\sigma$를 가진 기하 브라운 운동으로 모델링합니다. 이 논문의 핵심 결과(저자들은 이를 "AMM을 위한 블랙-숄즈 공식"이라고 부릅니다)는 LVR이 결정론적이고 비음의 드리프트로 누적된다는 것입니다.

여기서 $x(P)$는 가격의 함수로서 풀의 위험 자산 보유량이고 $x'(P) < 0$입니다(AMM은 가격이 상승함에 따라 위험 자산을 매도합니다). 상수 곱 풀의 경우 $x(P) = L/\sqrt P$이므로 $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$이고, 풀 가치가 $V = 2L\sqrt P$이므로 풀 가치의 비율로서의 비율은 상수로 축소됩니다.

이것이 유명한 σ²/8입니다. 이는 수수료에 무관하고 재고에 무관합니다. 상수 곱 풀은 수수료 1달러가 계산되기 전에 차익 거래로 인해 단위 시간당 가치의 $\sigma^2/8$를 잃습니다. 일일 변동성이 5%라면 매일 $0.05^2/8 \approx 3.1$bp입니다. 즉, 연간 풀 가치의 약 11%입니다. 집중 포지션의 경우 동일한 논리가 범위 내에서 $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$를 제공합니다. 즉, IL을 증폭시킨 레버리지가 동일한 요인으로 LVR을 증폭시킵니다.

LVR이 올바른 회계 단위이고 IL이 아닌 이유는 한 가지 속성으로 귀결됩니다. LP-재조정 차이는 변동성이 0입니다. 이는 순수한 예측 가능한 드리프트인 $-\!\int \ell\,dt$입니다. 이는 가격 위험이 완전히 헤지 가능하다는 것을 의미합니다. 즉, 동적 델타 헤지로 재조정 포트폴리오를 복제하면 남는 것은 결정론적입니다. 따라서 LP의 진정한 경제학은 다음과 같습니다.

첫 번째 항을 헤지하면 LP는 수수료 - LVR - 가스를 보유하게 됩니다. 즉, 캐리가 수수료 흐름이고 비용이 지속적이고 예측 가능하며 변동성 기반의 손실인 숏 변동성 포지션입니다. 이는 숏 옵션 북의 감마-세타 트레이드오프와 정확히 일치합니다. LVR은 감마 비용 $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$이고, 수수료는 당신이 받는 세타이며, 블랙-숄즈 옵션 가격 책정과의 유사성은 장식적인 것이 아니라 구조적입니다. 또한 아벨라네다-스토이코프가 오더북 시장 조성자를 위해 공식화한 역선택 대 스프레드 긴장과 동일하며, 풀의 수수료 계층이 호가 스프레드의 역할을 합니다.

한 가지 개선 사항은 프레이밍을 정직하게 유지합니다. 깨끗한 σ²/8은 연속적이고 비용 없는 차익 거래를 가정합니다. 실제로는 수수료 계층 자체가 무차익 거래 대역을 생성합니다. 즉, 차익 거래자는 가격 변동이 수수료를 초과할 때만 거래하므로, 실현된 LVR은 마찰 없는 수치보다 작으며, 수수료는 이중 역할을 합니다. 즉, 당신에게 지불하고 당신을 보호하는 대역을 넓힙니다. 수수료를 고려한 이산 시간 버전은 후속 연구인 Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023)에서 다루고 있습니다. 연속적인 σ²/8을 손실의 상한선으로 간주하십시오.

마크아웃: 블록별 역선택 측정

LVR은 확산에 대한 정리입니다. 실제 채움에 미치는 경험적 그림자는 마크아웃이며, 이는 변동성 모델 없이도 라이브 포지션에서 역선택을 측정하는 방법입니다.

마크아웃은 채움을 일정 기간 $\Delta$ 후의 "공정한" 참조 가격과 비교하여 평가합니다. 수동적인 유동성 공급자에게는 범위에 대해 거래되는 모든 스왑은 당신이 선택하지 않은 채움입니다. 테이커가 선택했으며, 그들에게 유리했기 때문에 선택했습니다. 채움에 대한 LP의 마크아웃을 서명된 재고 변경량에 후속 가격 변동을 곱한 값으로 정의합니다.

여기서 $\Delta q$는 LP가 거래에서 획득한 위험 자산 수량입니다(LP가 매도했을 때는 음수). 정보에 입각한 유해한 흐름은 이를 체계적으로 음수로 만듭니다. 풀은 가격이 하락하기 직전에 올바른 판매자로부터 위험 자산을 구매하고, 가격이 상승하기 직전에 올바른 구매자에게 판매합니다. 많은 채움에 걸쳐 평균을 내면 LP는 다음 틱의 잘못된 편에 서게 됩니다. 이는 한 번에 하나의 스왑으로 실현되는 LVR입니다.

블록당 측정하면 이는 깔끔한 역선택 지표가 됩니다. 즉, 블록당 LP의 순 재고 변화를 취하고 하나 또는 몇 블록 후의 가격과 비교합니다. 포지션의 수명에 걸쳐 집계된 블록당 마크아웃의 합계는 경험적 LVR입니다. 이것이 중요한 이유는 마크아웃 수치가 일반적으로 보기 흉하기 때문입니다. Loesch, Hindman, Richardson 및 Welch의 2021년 Uniswap v3 포지션 분석(Topaze Blue / Bancor 연구)으로 시작하여 이후 LVR 정량화 대시보드에 의해 강화된 대규모 표본 경험 연구는 많은 주요 풀에서 v3 LP의 상당 부분(절반 이상)이 IL과 역선택이 수수료에서 상쇄된 후 단순히 토큰을 보유하는 것보다 실적이 저조했음을 발견했습니다. Cartea, Drissi 및 Monga는 집중 유동성에 대해 동일한 양을 "예측 가능한 손실"로 공식화하여 다른 경로를 통해 동일한 변동성 스케일 드리프트에 도달했습니다.

라이브 북을 모니터링하는 LP를 위한 실용적인 시사점: 수수료 APR은 총액입니다. 수수료 + 마크아웃은 순액입니다. 포지션은 건전한 수수료 수익률과 깊이 음수인 마크아웃을 보여줄 수 있으며, 합계가 실제로 벌어들인 금액입니다. 당신에게 마크아웃을 실현하는 차익 거래자는 MEV 및 멤풀 기사에서 프로파일링된 동일한 검색자입니다. 즉, 모든 오라클 이동 후 오래된 AMM 호가에 대한 백런은 블록별 LVR 추출이며, 이는 MEV 스펙트럼의 양성적인 가격 수정 끝이지만 PnL의 유해한 끝입니다.

LP가 실제로 보유하는 것보다 나을 때

모든 것을 그것이 제공하는 결정으로 축소하십시오. 시장 위험을 헤지하면 LP 포지션은 수수료 수입률이 LVR 비율을 상쇄할 때 정확히 벤치마크보다 +EV입니다.

여기서 $f$는 풀의 수수료 계층이고 $\tau$는 회전율입니다. 즉, 거래량 나누기 TVL, 단위 시간당입니다. 재배열하면 조건은 두 변동성의 비교입니다. 수수료 흐름은 손익분기 변동성을 의미합니다.

그리고 LP는 실현 변동성이 이보다 낮을 때 승리합니다. 이것은 AMM 버전의 내재 대 실현입니다. 풀은 수수료 수익률을 통해 내재 변동성을 제시하고, 유동성을 제공하는 것은 해당 수준에서 분산을 판매하는 것입니다. 몇 가지 작동하는 참조 지점(회전율은 분명히 가설적이며 활성 풀을 대표하도록 선택됨):

• 0.05% 풀, 회전율 1.0/일 (거래량 ≈ TVL 일일): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ 일일. 실현 일일 변동성이 ~6.3% 미만일 때 LP가 앞섭니다.
• 0.30% 풀, 회전율 0.2/일: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ 일일.
• 스테이블코인 / 상관 쌍, $\sigma \approx 0.2\%$ 일일: LVR은 하루에 $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$입니다. 즉, 본질적으로 아무것도 아닙니다. 왜냐하면 LVR은 변동성의 제곱에 비례하기 때문입니다. 거의 모든 수수료 수익률이 이를 상쇄합니다.

제곱 의존성은 한 가지 사실에 모든 전략이 담겨 있습니다. 쌍의 변동성을 절반으로 줄이면 손실이 4분의 1로 줄어들지만, 수수료 수익률은 영향을 받지 않습니다. 이것이 낮은 σ 쌍(스테이블코인 쌍, 유동성 스테이킹 토큰/ETH 쌍 및 기타 밀접하게 관련된 다리)에서 지속적인 LP 우위가 존재하는 이유이며, 변동성 쌍 LPing이 수수료가 특별하거나 풀이 손실되기 전에 더 빠르게 헤지하고 재조정할 수 있다는 베팅인 이유입니다.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

전체 결정이 좌우되는 유일한 입력은 $\sigma$입니다. 즉, 지난달의 실현 변동성이 아니라 보유 기간 동안의 실현 변동성 예측이며, 이는 정확히 변동성 예측 문제입니다. $\sigma^\ast$에 연결된 GARCH 1일 선행 변동성 예측은 "이 풀이 충분히 지불하는가"를 라이브로 업데이트 가능한 신호로 바꿉니다. 즉, 예측이 손익분기점 아래에 있을 때 LP하고, 변동성 체제 변화가 이를 넘어설 때 물러서십시오.

집중은 범위 내에 있는 동안 비율을 변경하지 않습니다. 즉, 수수료 수익률과 LVR을 동일한 $\Lambda$로 곱하므로, 수수료 대 변동성 불평등은 범위 내에서 스케일 불변입니다. 변경되는 것은 가장자리 주변의 모든 것입니다. 즉, 좁은 범위는 범위 내에서 보내는 시간이 적고(수수료 없음, 벗어났을 때 IL 고정), 가스와 재진입 마크아웃이 실제 비용인 적극적인 재조정을 요구합니다. 따라서 좁은 범위에 대한 정직한 규칙은 좁습니다. 즉, 실현 변동성 예측이 범위 너비에 비해 낮거나, 포지션을 설정하고 잊어버리는 대신 적극적으로 관리하고 헤지할 때만 정당화하십시오. 이러한 적극적인 관리의 메커니즘(재조정 트리거, 풀의 변화하는 재고에 대한 델타 헤징, 수수료 - LVR 캐리를 헤지 전략으로 전환)은 Uniswap v3 LP 전략 및 헤징에 대한 동반 기사의 주제입니다.

요약

• 비영구적 손실은 폐쇄형 형태를 가집니다. $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$는 로그 가격에 대해 대칭이며(2배 및 -50% 움직임 모두 5.72% 비용), 진입 근처에서 로그 수익률의 제곱에 비례합니다. 이는 숏 감마 페이오프의 특징입니다.
• 집중 유동성은 레버리지된 IL입니다. 주어진 $L$에 대한 절대 발산 손실은 변하지 않지만, 동일한 자본은 $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$배 더 많은 $L$를 배포하므로 IL과 수수료 모두 $\Lambda$에 비례합니다. 그리고 가격이 범위를 벗어나면 포지션은 손실 자산으로 고정됩니다.
• LVR은 헤징 후에도 살아남는 손실입니다. 재조정 포트폴리오와 비교할 때, 상수 곱 풀은 수수료와 관계없이 단위 시간당 가치의 $\sigma^2/8$를 잃습니다. LP의 헤지된 PnL은 수수료 - LVR - 가스이며, 숏 변동성 캐리입니다.
• 마크아웃은 실제 채움에서 측정된 LVR입니다. 블록당 마크아웃은 역선택을 직접 정량화하며, 경험적 기록에 따르면 v3 LP의 상당 부분이 이를 계산하면 보유 대비 순손실을 기록합니다. 수수료 APR은 총액입니다. 수수료 + 마크아웃은 순액입니다.
• 결정은 하나의 부등식입니다. LP는 수수료 수익률이 $\sigma^2/8$를 초과할 때, 즉 실현 변동성이 수수료에 내재된 손익분기점 $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$ 미만으로 떨어질 때 벤치마크를 능가합니다. LVR은 $\sigma^2$에 비례하므로, 우위는 낮은 변동성, 상관 관계가 있는 쌍에 있으며, 이를 결정하는 입력은 변동성 예측입니다.

참고 자료

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.