Impermanent Loss en LVR: de echte wiskunde van LP-winstgevendheid

Liquiditeit verschaffen lijkt op een opbrengstproduct en gedraagt zich als een short-optieboek. De APR-kop op een pooldashboard is een brutogetal: het telt de instromende vergoedingen en negeert stilletjes de twee kosten die uitstromen — de divergentie tussen wat uw positie wordt en wat u heeft gestort (impermanent verlies), en de gestage, geniepige leegloop naar arbitreurs die uw verouderde quotes bij elke prijswijziging oppikken (loss-versus-rebalancing). Als de boekhouding klopt, reduceert de hele zaak tot één ongelijkheid: dekt de stroom van vergoedingen de door volatiliteit gedreven kosten van het aanhouden van de positie? Als het misgaat, bent u een systematische verkoper van variantie die vergat de variantie te prijzen.

Dit artikel is het beloofde vervolg op Uniswap v3 voor quants, dat eindigde met het benoemen van loss-versus-rebalancing en hiernaar verwees. We bouwen de winstgevendheidscalculus op vanuit de basisprincipes: de gesloten vorm voor impermanent verlies op een constant-product pool, waarom geconcentreerde liquiditeit hefboomwerking is op IL, het σ²/8 LVR-resultaat en de exacte PnL-decompositie die het mogelijk maakt, hoe per-blok markout ongunstige selectie empirisch meet, en de break-even voorwaarde — een vergelijking van vergoedingen versus volatiliteit — die u vertelt wanneer een LP-positie feitelijk +EV is ten opzichte van het simpelweg aanhouden van de tokens.

De constant-product invariant en de geboorte van impermanent verlies

Een Uniswap v2-pool houdt reserves $x$ van de risicovolle token en $y$ van de numéraire aan en handhaaft $x \cdot y = k$ bij elke transactie. De marginale prijs van het risicovolle activum is $P = y/x$. Omdat $k$ behouden blijft, zijn de reserves bij elke prijs $P$ vastgepind:

Begin bij prijs $p_0$ met reserves $(x_0, y_0)$ en laat de prijs afdrijven naar $p$. De positie van de LP is waard, gewaardeerd tegen de nieuwe prijs,

Als u de gestorte tokens simpelweg had aangehouden in plaats van ze te poolen, zou u waard zijn

Definieer de prijsverhouding $r = p/p_0$. Deel, en de $\sqrt{k}$ en $\sqrt{p_0}$ vallen netjes weg, waardoor impermanent verlies alleen een functie is van de prijsverhouding:

Dat is het hele object. Het is negatief voor elke $r \neq 1$ en alleen nul wanneer de prijs terugkeert naar waar u bent ingestapt — "impermanent" juist omdat het verdwijnt als de prijs terugkomt. Twee eigenschappen zijn de moeite waard om te internaliseren.

Het is symmetrisch in log-prijs. Vervang $r \to 1/r$: de uitdrukking blijft ongewijzigd, omdat $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Een verdubbeling en een halvering doen evenveel pijn. Concreet geven een 2× beweging ($r=2$) en een −50% beweging ($r = 0.5$) beide

De symmetrie is het duidelijkst wanneer u de prijsverhouding in logaritmen schrijft. Met $u = \ln r$, een korte manipulatie, stort IL in een hyperbolische secans:

wat de kwadratische-in-log-rendement vorm expliciet maakt: dicht bij de instapprijs groeit IL met het kwadraat van de log-prijsbeweging — de handtekening van een short-gamma uitbetaling, en de reden waarom het verwaarloosbaar blijft voor kleine schommelingen en hard toeslaat bij trends.

De cijfers lijken klein totdat u zich herinnert wat ze meten: IL is het verschil ten opzichte van aanhouden, en het wordt alleen gerealiseerd ten opzichte van die benchmark. Een token dat 4× stijgt, laat de LP in dollars veel meer overhouden — slechts 20% minder dan wanneer ze het hadden aangehouden. IL is geen verlies dat u voelt; het is een opportuniteitskost die u betaald moet krijgen om te dragen. De vergoedingenstroom is die betaling. Of het genoeg is, is de rest van dit artikel.

Geconcentreerde liquiditeit is impermanent verlies met hefboomwerking

Uniswap v3 laat een LP kapitaal beperken tot een prijsbereik $[p_a, p_b]$. Binnen het bereik gedraagt de positie zich precies als een v2-pool — dezelfde bonding curve — maar gebruikt alleen de reserves die nodig zijn om die band te dekken (de virtuele-reserveconstructie afgeleid in het v3-mechanica artikel). Het gevolg voor IL is scherp, en het vloeit voort uit één regel algebra.

Schrijf $s = \sqrt p$. Een v3-positie met liquiditeit $L$ op $[p_a, p_b]$, ingevoerd tegen prijs $p_0$ en nog steeds binnen bereik bij $p$, houdt $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ en $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$ aan. Bereken de waarde ervan minus de HODL-waarde van de eigen initiële tokens, en alles met betrekking tot $p_a$ en $p_b$ valt weg:

Dit is dezelfde absolute divergentie verlies als een v2-pool met dezelfde $L$ — de bereikgrenzen verschijnen niet. Waar komt dan de extra pijn vandaan? Van kapitaal. Concentreren in $[p_a, p_b]$ laat dezelfde dollars een veel grotere $L$ ondersteunen. Voor een bereik dat geometrisch gecentreerd is op de instapprijs, is de versterkingsfactor precies

de v3 "kapitaalefficiëntie" vermenigvuldiger. Een full-range positie heeft $\Lambda = 1$; een bereik van $0.5p_0$ tot $2p_0$ geeft $\Lambda \approx 3.4$; een $[2700, 3300]$ band rond $p_0 = 3000$ (±10%) geeft $\Lambda \approx 20.4$. Omdat het absolute verlies schaalt met $L$ en gelijk kapitaal $\Lambda$ keer meer $L$ koopt, schaalt het fractionele IL op dezelfde manier:

Neem die ±10% positie, instap $3.000, en laat de prijs stijgen. De v2-cijfers uit de tabel hierboven worden vermenigvuldigd met ~20:

Een prijsbeweging van 10% die een full-range LP elf basispunten kost, kost de geconcentreerde LP 2,3% ten opzichte van aanhouden. En het wordt erger aan de grens, want het bereik heeft een tweede rand die de bovenstaande formule verbergt: zodra de prijs $p_b$ overschrijdt, bestaat de positie voor 100% uit numéraire, stopt het met verdienen van vergoedingen en bevriest de divergentie bij de grenscompositie. De geconcentreerde LP heeft het risicovolle activum volledig verkocht op weg naar boven en kijkt nu naar elke verdere rally zonder er iets van te hebben — de short-straddle staart, vastgezet, met de premiestroom uitgeschakeld. Concentratie is hefboomwerking op zowel de inkomsten uit vergoedingen als het verlies, plus een pad-afhankelijkheid — tijd doorgebracht binnen het bereik — die de naïeve $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ schaling niet vastlegt.

LVR: het verlies dat u de markt niet kunt aanrekenen

Impermanent verlies meet de LP ten opzichte van een passieve HODLer, en die benchmark smokkelt stilletjes marktrisico binnen: het grootste deel van wat "IL vs HODL" u aanrekent, is slechts de directionele blootstelling die u toch al zou hebben gehad door de tokens te bezitten. De scherpere decompositie — degene die de kosten isoleert die specifiek zijn voor het zijn van een AMM — is loss-versus-rebalancing (LVR), van Milionis, Moallemi, Roughgarden en Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

Het idee is om de LP niet te benchmarken tegen aanhouden, maar tegen een herbalancerende portefeuille die op elk moment exact dezelfde tokenhoeveelheden als de pool aanhoudt — dezelfde delta, dezelfde marktblootstelling — maar handelt tegen de frictieloze externe marktprijs in plaats van tegen de eigen bonding curve van de pool. Beide portefeuilles dragen identiek prijsrisico, dus het aftrekken van de ene van de andere annuleert de marktruis volledig en laat alleen de structurele kosten van het zijn van de AMM over: het geld dat de pool verliest omdat arbitreurs, niet de LP, elke prijsbeweging vastleggen. Dat residu is LVR.

Modelleer de externe prijs als geometrische Brownse beweging met volatiliteit $\sigma$. Het centrale resultaat van het artikel — dat de auteurs een "Black–Scholes formule voor AMM's" noemen — is dat LVR zich opbouwt als een deterministische, niet-negatieve drift:

waarbij $x(P)$ de risicovolle-activahouding van de pool is als functie van de prijs en $x'(P) < 0$ (de AMM verkoopt het risicovolle activum naarmate de prijs stijgt). Voor de constant-product pool, $x(P) = L/\sqrt P$, dus $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, en aangezien de poolwaarde $V = 2L\sqrt P$ is, stort de snelheid als een fractie van de poolwaarde in tot een constante:

Dat is de beroemde σ²/8. Het is onafhankelijk van vergoedingen en inventaris: een constant-product pool verliest $\sigma^2/8$ van zijn waarde per tijdseenheid aan arbitrage, punt uit. Bij 5% dagelijkse volatiliteit is dat $0.05^2/8 \approx 3.1$ basispunten elke dag — ongeveer 11% van de poolwaarde per jaar — voordat er ook maar één dollar aan vergoedingen wordt geteld. Voor een geconcentreerde positie geeft dezelfde logica $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ binnen bereik: de hefboomwerking die IL versterkte, versterkt LVR met dezelfde factor.

Waarom LVR de juiste rekeneenheid is, en IL niet, komt neer op één eigenschap: het verschil tussen LP en herbalancering heeft nul volatiliteit. Het is een zuivere voorspelbare drift, $-\!\int \ell\,dt$. Dat betekent dat het prijsrisico volledig afdekbaar is — repliceer de herbalancerende portefeuille met een dynamische delta-hedge en wat overblijft is deterministisch. De ware economie van de LP is daarom

Dek de eerste term af en de LP houdt vergoedingen − LVR − gas over — een short-variantiepositie waarvan de carry de vergoedingenstroom is en waarvan de kosten een doorlopende, voorspelbare, door volatiliteit gedreven leegloop zijn. Dit is precies de gamma-theta afweging van een short-optieboek: LVR is de gamma-kosten $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, vergoedingen zijn de theta die u verzamelt, en de analogie met Black–Scholes optieprijsstelling is structureel, niet decoratief. Het is ook dezelfde spanning tussen ongunstige selectie en spread die Avellaneda–Stoikov formaliseren voor orderboek market makers, waarbij de vergoedingenlaag van de pool de rol speelt van de genoteerde spread.

Eén verfijning houdt de framing eerlijk. De zuivere σ²/8 veronderstelt continue, kosteloze arbitrage. In werkelijkheid creëert de vergoedingenlaag zelf een no-arbitrageband — arbitreurs handelen pas als een prijsbeweging de vergoeding overschrijdt — dus de gerealiseerde LVR is kleiner dan het frictieloze cijfer, en vergoedingen doen dubbel werk: ze betalen u en ze verbreden de band die u beschermt. De vergoedingenbewuste, discrete-tijdversie wordt uitgewerkt in het vervolg Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023); beschouw continue σ²/8 als een bovengrens voor de leegloop.

Markout: ongunstige selectie blok voor blok meten

LVR is een theorema over een diffusie. De empirische schaduw die het werpt op echte fills is markout, en het is hoe u ongunstige selectie op een live positie meet zonder enig model van volatiliteit.

Markout evalueert een fill tegen een referentie "eerlijke" prijs enige horizon $\Delta$ later. Voor een passieve liquiditeitsverschaffer is elke swap die tegen uw bereik handelt een fill die u niet heeft gekozen — de nemer heeft deze gekozen, en ze hebben deze gekozen omdat het goed voor hen was. Definieer de markout van de LP op een fill als de getekende inventariswijziging maal de daaropvolgende prijsbeweging:

waarbij $\Delta q$ de hoeveelheid risicovolle activa is die de LP verwierf in de transactie (negatief wanneer de LP verkocht). Geïnformeerde en toxische stroom maakt dit systematisch negatief: de pool koopt het risicovolle activum van een verkoper die gelijk heeft, net voordat de prijs daalt, en verkoopt aan een koper die gelijk heeft, net voordat deze stijgt. Gemiddeld over vele fills bevindt de LP zich aan de verkeerde kant van de volgende tick — wat precies LVR is, gerealiseerd één swap tegelijk.

Gemeten per blok, wordt dit een duidelijke metric voor ongunstige selectie: neem de netto inventariswijziging van de LP over een blok en vergelijk deze met de prijs één of enkele blokken later. Geaggregeerd over de levensduur van een positie, is de som van de markouts per blok de empirische LVR. De reden waarom dit belangrijk is, is dat het markout-getal meestal lelijk is. De empirische studies met grote steekproeven — beginnend met de analyse van Loesch, Hindman, Richardson en Welch uit 2021 van Uniswap v3-posities (de Topaze Blue / Bancor-studie) en versterkt door de LVR-kwantificeringsdashboards die volgden — vonden dat een groot deel van de v3 LP's, op veel grote pools ongeveer de helft of meer, slechter presteerde dan simpelweg de tokens aanhouden zodra IL en ongunstige selectie waren verrekend met de vergoedingen. Cartea, Drissi en Monga formaliseren dezelfde hoeveelheid voor geconcentreerde liquiditeit als "voorspelbaar verlies", en komen via een andere route tot dezelfde door volatiliteit geschaalde drift.

De praktische conclusie voor een LP die een live orderboek monitort: fee APR is een brutogetal; fees + markout is het netto. Een positie kan een gezonde fee-opbrengst en een diep negatieve markout laten zien, en de som is wat u daadwerkelijk heeft verdiend. De arbitreurs die die markout tegen u realiseren, zijn dezelfde zoekers die worden beschreven in het MEV- en mempool-artikel — een backrun tegen een verouderde AMM-quote na elke orakelbeweging is LVR-extractie, blok voor blok, en het is het goedaardige, prijscorrecte uiteinde van het MEV-spectrum, zelfs als het het toxische uiteinde van uw PnL is.

Wanneer LPing daadwerkelijk beter is dan aanhouden

Vat alles samen tot de beslissing die het dient. Dek het marktrisico af en een LP-positie is +EV ten opzichte van zijn benchmark precies wanneer de vergoedingeninkomsten de LVR-snelheid overtreffen:

waarbij $f$ de vergoedingenlaag van de pool is en $\tau$ de omzet — handelsvolume gedeeld door TVL, per tijdseenheid. Herschikt is de voorwaarde een vergelijking van twee volatiliteiten. De vergoedingenstroom impliceert een break-even volatiliteit

en de LP wint wanneer de gerealiseerde volatiliteit eronder uitkomt. Dit is de AMM-versie van impliciet versus gerealiseerd: de pool quoteert een impliciete vol via zijn vergoedingenopbrengst, en het verschaffen van liquiditeit is het verkopen van variantie op dat niveau. Enkele uitgewerkte referentiepunten (omzet duidelijk hypothetisch, gekozen om representatief te zijn voor actieve pools):

• 0,05% pool, omzet 1,0/dag (volume ≈ TVL dagelijks): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ dagelijks. Onder ~6,3% gerealiseerde dagelijkse vol, ligt de LP voor.
• 0,30% pool, omzet 0,2/dag: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ dagelijks.
• Stablecoin / gecorreleerd paar, $\sigma \approx 0.2\%$ dagelijks: LVR is $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ per dag — in wezen niets, omdat LVR schaalt met het kwadraat van volatiliteit. Bijna elke vergoedingenopbrengst dekt het.

Die kwadratische afhankelijkheid is de hele strategie in één feit. Het halveren van de volatiliteit van het paar halveert de leegloop, terwijl de vergoedingenopbrengst onaangetast blijft. Dit is waarom de duurzame LP-voorsprong ligt in paren met lage σ — stablecoin-paren, liquid-staking-token/ETH-paren en andere sterk gecorreleerde legs — en waarom LPing met volatiele paren een gok is dat de vergoedingen buitengewoon zijn of dat u sneller kunt hedgen en herbalanceren dan de pool leegloopt.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

De enige input waar de hele beslissing op neerkomt, is $\sigma$ — niet de gerealiseerde volatiliteit van vorige maand, maar een voorspelling van de gerealiseerde volatiliteit over de houdperiode, wat precies een volatiliteitsvoorspellingsprobleem is. Een GARCH één-dag-vooruit volatiliteitsvoorspelling ingeplugd in $\sigma^\ast$ verandert "betaalt deze pool genoeg" in een live, bijwerkbaar signaal: LP wanneer de voorspelling onder de break-even ligt, blijf afzijdig wanneer een volatiliteitsregimeverschuiving deze erboven duwt.

Concentratie verandert de verhouding niet zolang u binnen bereik bent — het vermenigvuldigt de vergoedingenopbrengst en LVR met dezelfde $\Lambda$, dus de ongelijkheid tussen vergoedingen en volatiliteit is schaal-invariant binnen bereik. Wat het verandert, is alles rond de randen: een strak bereik brengt minder tijd binnen bereik door (geen vergoedingen, bevroren IL wanneer buiten bereik), en vereist actief herbalanceren waarvan gas en re-entry markout reële kosten zijn. Dus de eerlijke regel voor strakke bereiken is smal: rechtvaardig ze alleen wanneer uw voorspelde gerealiseerde volatiliteit laag is ten opzichte van de bereikbreedte, of wanneer u de positie actief beheert en afdekt in plaats van deze in te stellen en te vergeten. De mechanismen van dat actieve beheer — herbalanceringstriggers, delta-hedging van de veranderende inventaris van de pool, en het omzetten van de vergoedingen − LVR carry in een afgedekte strategie — zijn het onderwerp van het begeleidende artikel over Uniswap v3 LP-strategieën en hedging.

Wat mee te nemen

• Impermanent verlies heeft een gesloten vorm, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, symmetrisch in log-prijs (een 2× en een −50% beweging kosten beide 5,72%) en kwadratisch in log-rendement nabij instap — de vingerafdruk van een short-gamma uitbetaling.
• Geconcentreerde liquiditeit is IL met hefboomwerking. Het absolute divergentieverlies blijft ongewijzigd voor een gegeven $L$, maar gelijk kapitaal zet $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ keer meer $L$ in, dus zowel IL als vergoedingen schalen met $\Lambda$ — en de positie bevriest in het verliezende activum zodra de prijs het bereik verlaat.
• LVR is het verlies dat hedging overleeft. Afgezet tegen een herbalancerende portefeuille, verliest een constant-product pool $\sigma^2/8$ aan waarde per tijdseenheid, ongeacht de vergoedingen; de gehedgde PnL van de LP is vergoedingen − LVR − gas, een short-variantie carry.
• Markout is LVR gemeten op echte fills. Markout per blok kwantificeert direct ongunstige selectie, en de empirische gegevens tonen aan dat een groot deel van de v3 LP's netto negatief is ten opzichte van aanhouden zodra dit is meegerekend. Fee APR is bruto; fees + markout is netto.
• De beslissing is één ongelijkheid. Een LP verslaat zijn benchmark wanneer de vergoedingenopbrengst $\sigma^2/8$ overschrijdt, d.w.z. wanneer de gerealiseerde vol onder de door vergoedingen geïmpliceerde break-even $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$ valt. Omdat LVR schaalt met $\sigma^2$, ligt de voorsprong in lage-volatiliteit, gecorreleerde paren — en de input die dit bepaalt, is een volatiliteitsvoorspelling.

Referenties

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.