Impermanent Loss dan LVR: matematika sebenarnya dari profitabilitas LP

Menyediakan likuiditas terlihat seperti produk hasil dan berperilaku seperti buku opsi pendek. Angka APR utama di dasbor kumpulan adalah angka kotor: ini menghitung biaya yang masuk dan secara diam-diam mengabaikan dua biaya yang keluar — perbedaan antara posisi Anda dan apa yang Anda setorkan (kerugian tidak permanen), dan pendarahan yang lebih stabil dan licik kepada arbitraseur yang mengambil kutipan usang Anda pada setiap pergerakan harga (kerugian-versus-penyeimbangan kembali). Dapatkan akuntansi yang benar dan seluruh bisnis akan berkurang menjadi satu ketidaksetaraan: apakah aliran biaya membersihkan biaya yang didorong oleh volatilitas untuk memegang posisi? Jika salah, Anda adalah penjual varians sistematis yang lupa memberi harga varians.

Artikel ini adalah tindak lanjut yang dijanjikan untuk Uniswap v3 untuk quant, yang diakhiri dengan menyebutkan kerugian-versus-penyeimbangan kembali dan menunjuk ke sini. Kami membangun kalkulus profitabilitas dari prinsip-prinsip pertama: bentuk tertutup untuk kerugian tidak permanen pada kumpulan produk-konstan, mengapa likuiditas terkonsentrasi adalah IL yang dileverage, hasil LVR σ²/8 dan dekomposisi PnL yang tepat yang diaktifkannya, bagaimana markout per blok mengukur pemilihan yang merugikan secara empiris, dan kondisi impas — perbandingan biaya-versus-volatilitas — yang memberi tahu Anda kapan posisi LP sebenarnya +EV dibandingkan dengan hanya memegang token.

Invarian produk-konstan dan lahirnya kerugian tidak permanen

Kumpulan Uniswap v2 memegang cadangan $x$ dari token berisiko dan $y$ dari numéraire dan memberlakukan $x \cdot y = k$ pada setiap perdagangan. Harga marjinal aset berisiko adalah $P = y/x$. Karena $k$ dilestarikan, cadangan pada harga berapa pun $P$ dipatok:

Mulai dari harga $p_0$ dengan cadangan $(x_0, y_0)$ dan biarkan harga melayang ke $p$. Posisi LP bernilai, ditandai pada harga baru,

Jika Anda hanya memegang token yang disetorkan daripada mengumpulkannya, Anda akan bernilai

Definisikan rasio harga $r = p/p_0$. Bagi, dan $\sqrt{k}$ dan $\sqrt{p_0}$ akan saling menghilangkan dengan bersih, meninggalkan kerugian tidak permanen sebagai fungsi dari rasio harga saja:

Itulah keseluruhan objeknya. Ini negatif untuk setiap $r \neq 1$ dan nol hanya ketika harga kembali ke tempat Anda masuk — "tidak permanen" justru karena ia menghilang jika harga kembali. Dua properti yang patut diinternalisasi.

Ini simetris dalam log-harga. Ganti $r \to 1/r$: ekspresi tidak berubah, karena $\frac{2\sqrt{1/r}}{1 + 1/r} = \frac{2\sqrt r}{1 + r}$. Penggandaan dan pembagian dua sama-sama merugikan. Secara konkret, pergerakan 2× ($r=2$) dan pergerakan −50% ($r = 0.5$) keduanya memberikan

Simetri paling bersih ketika Anda menulis rasio harga dalam log. Dengan $u = \ln r$, manipulasi singkat meruntuhkan IL menjadi sekan hiperbolik:

yang membuat bentuk kuadrat-dalam-log-pengembalian eksplisit: di dekat harga masuk, IL tumbuh dengan kuadrat dari pergerakan harga log — tanda pembayaran short-gamma, dan alasan mengapa ia tetap dapat diabaikan untuk goyangan kecil dan menggigit keras pada tren.

Angka-angka terlihat kecil sampai Anda ingat apa yang mereka ukur: IL adalah selisih versus memegang, dan itu hanya terealisasi relatif terhadap tolok ukur itu. Token yang 4× meninggalkan LP naik banyak dalam dolar — hanya 20% lebih sedikit daripada jika mereka memegangnya. IL bukanlah kerugian yang Anda rasakan; itu adalah biaya peluang yang harus Anda tanggung. Aliran biaya adalah pembayaran itu. Apakah itu cukup adalah sisa dari artikel ini.

Likuiditas terkonsentrasi adalah kerugian tidak permanen yang dileverage

Uniswap v3 memungkinkan LP membatasi modal ke rentang harga $[p_a, p_b]$. Di dalam rentang, posisi berperilaku persis seperti kumpulan v2 — kurva ikatan yang sama — tetapi hanya menggunakan cadangan yang diperlukan untuk menutupi pita itu (konstruksi cadangan virtual yang diturunkan dalam artikel mekanika v3). Konsekuensi untuk IL sangat tajam, dan itu muncul dari satu baris aljabar.

Tulis $s = \sqrt p$. Posisi v3 dengan likuiditas $L$ pada $[p_a, p_b]$, dimasukkan pada harga $p_0$ dan masih dalam rentang pada $p$, memegang $x(p) = L(1/\sqrt p - 1/\sqrt{p_b})$ dan $y(p) = L(\sqrt p - \sqrt{p_a})$. Hitung nilainya dikurangi nilai HODL dari token awalnya sendiri, dan semua yang melibatkan $p_a$ dan $p_b$ saling menghilangkan:

Ini adalah kerugian divergensi absolut yang sama dengan kumpulan v2 dengan $L$ yang identik — batas rentang tidak muncul. Jadi dari mana rasa sakit ekstra itu berasal? Dari modal. Konsentrasi ke $[p_a, p_b]$ memungkinkan dolar yang sama mendukung $L$ yang jauh lebih besar. Untuk rentang yang secara geometris berpusat pada harga masuk, faktor amplifikasi adalah persis

pengganda "efisiensi modal" v3. Posisi rentang penuh memiliki $\Lambda = 1$; rentang dari $0.5p_0$ hingga $2p_0$ memberikan $\Lambda \approx 3.4$; pita $[2700, 3300]$ di sekitar $p_0 = 3000$ (±10%) memberikan $\Lambda \approx 20.4$. Karena kerugian absolut berskala dengan $L$ dan modal yang sama membeli $\Lambda$ kali lebih banyak $L$, IL fraksional berskala dengan cara yang sama:

Ambil posisi ±10% itu, entri $3.000, dan naikkan harganya. Angka v2 dari tabel di atas dikalikan dengan ~20:

Pergerakan 10% yang merugikan LP rentang penuh sebelas basis poin merugikan LP terkonsentrasi 2,3% dibandingkan dengan memegang. Dan itu menjadi lebih buruk di batas, karena rentang memiliki batas kedua yang disembunyikan oleh rumus di atas: setelah harga melewati $p_b$, posisi adalah 100% numéraire, berhenti menghasilkan biaya, dan divergensi membeku pada komposisi batas. LP terkonsentrasi telah sepenuhnya menjual aset berisiko dalam perjalanan naik dan sekarang menyaksikan reli lebih lanjut tanpa aset itu — ekor short-straddle, terkunci, dengan aliran premium dimatikan. Konsentrasi adalah leverage pada pendapatan biaya dan kerugian, ditambah ketergantungan jalur — waktu yang dihabiskan dalam rentang — yang tidak ditangkap oleh penskalaan $\Lambda \cdot \text{IL}_{v2}$ yang naif.

LVR: kerugian yang tidak bisa Anda salahkan pada pasar

Kerugian tidak permanen mengukur LP terhadap HODLer pasif, dan tolok ukur itu secara diam-diam menyelundupkan risiko pasar: sebagian besar dari apa yang "IL vs HODL" bebankan kepada Anda hanyalah eksposur arah yang akan Anda bawa pula dengan memiliki token. Dekomposisi yang lebih tajam — yang mengisolasi biaya yang spesifik untuk menjadi AMM — adalah kerugian-versus-penyeimbangan kembali (LVR), dari Milionis, Moallemi, Roughgarden dan Zhang, Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing (arXiv:2208.06046).

Idenya adalah untuk membandingkan LP bukan dengan memegang, tetapi dengan portofolio penyeimbang yang memegang, pada setiap saat, jumlah token yang persis sama dengan kumpulan — delta yang sama, eksposur pasar yang sama — tetapi berdagang pada harga pasar eksternal tanpa gesekan daripada melawan kurva ikatan kumpulan itu sendiri. Kedua portofolio membawa risiko harga yang identik, sehingga mengurangi satu dari yang lain sepenuhnya menghilangkan kebisingan pasar dan hanya menyisakan biaya struktural menjadi AMM: uang yang hilang oleh kumpulan karena arbitraseur, bukan LP, menangkap setiap pergerakan harga. Sisa itu adalah LVR.

Modelkan harga eksternal sebagai gerak Brownian geometris dengan volatilitas $\sigma$. Hasil utama makalah ini — yang oleh para penulis disebut "rumus Black–Scholes untuk AMM" — adalah bahwa LVR terakumulasi sebagai drift deterministik, non-negatif:

di mana $x(P)$ adalah kepemilikan aset berisiko kumpulan sebagai fungsi harga dan $x'(P) < 0$ (AMM menjual aset berisiko saat harganya naik). Untuk kumpulan produk-konstan, $x(P) = L/\sqrt P$, jadi $|x'(P)| = \tfrac{1}{2}L P^{-3/2}$, dan karena nilai kumpulan adalah $V = 2L\sqrt P$, laju sebagai fraksi nilai kumpulan runtuh menjadi konstanta:

Itulah σ²/8 yang terkenal. Ini tidak tergantung biaya dan tidak tergantung inventaris: kumpulan produk-konstan kehilangan $\sigma^2/8$ dari nilainya per unit waktu untuk arbitrase, titik. Pada volatilitas harian 5%, itu adalah $0.05^2/8 \approx 3.1$ basis poin setiap hari — sekitar 11% dari nilai kumpulan setahun — sebelum satu dolar biaya dihitung. Untuk posisi terkonsentrasi, logika yang sama memberikan $\ell/V \approx \Lambda\,\sigma^2/8$ saat dalam rentang: leverage yang memperkuat IL memperkuat LVR dengan faktor yang identik.

Mengapa LVR adalah unit akun yang tepat, dan IL tidak, bermuara pada satu properti: perbedaan LP-minus-penyeimbangan kembali memiliki volatilitas nol. Ini adalah drift yang dapat diprediksi murni, $-\!\int \ell\,dt$. Itu berarti risiko harga sepenuhnya dapat dilindung nilai — mereplikasi portofolio penyeimbang dengan lindung nilai delta dinamis dan apa yang tersisa adalah deterministik. Ekonomi LP yang sebenarnya adalah

Lindung nilai istilah pertama dan LP dibiarkan memegang biaya − LVR − gas — posisi varians pendek yang hasil keuntungannya adalah aliran biaya dan biayanya adalah pendarahan yang berjalan, dapat diprediksi, didorong oleh volatilitas. Ini persis seperti trade-off gamma-theta dari buku opsi pendek: LVR adalah biaya gamma $\tfrac{1}{2}\Gamma\sigma^2P^2$, biaya adalah theta yang Anda kumpulkan, dan analogi dengan penetapan harga opsi Black–Scholes bersifat struktural, bukan dekoratif. Ini juga merupakan ketegangan pemilihan yang merugikan-versus-spread yang Avellaneda–Stoikov formalisasikan untuk pembuat pasar buku pesanan, dengan tingkat biaya kumpulan memainkan peran spread yang dikutip.

Satu penyempurnaan menjaga kerangka kerja tetap jujur. σ²/8 yang bersih mengasumsikan arbitrase berkelanjutan dan tanpa biaya. Pada kenyataannya, tingkat biaya itu sendiri menciptakan pita tanpa arbitrase — arbitraseur hanya berdagang setelah pergerakan harga melebihi biaya — sehingga LVR yang terealisasi lebih kecil dari angka tanpa gesekan, dan biaya memiliki fungsi ganda: mereka membayar Anda dan mereka memperlebar pita yang melindungi Anda. Versi diskrit-waktu yang sadar biaya dikerjakan dalam tindak lanjut Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees (Milionis, Moallemi, Roughgarden, 2023); perlakukan σ²/8 berkelanjutan sebagai batas atas pendarahan.

Markout: mengukur pemilihan yang merugikan blok demi blok

LVR adalah teorema tentang difusi. Bayangan empiris yang dilemparkannya pada pengisian nyata adalah markout, dan itulah cara Anda mengukur pemilihan yang merugikan pada posisi langsung tanpa model volatilitas sama sekali.

Markout mengevaluasi pengisian terhadap harga "adil" referensi beberapa horizon $\Delta$ kemudian. Untuk penyedia likuiditas pasif, setiap swap yang berdagang melawan rentang Anda adalah pengisian yang tidak Anda pilih — pengambil yang memilihnya, dan mereka memilihnya karena itu baik untuk mereka. Definisikan markout LP pada pengisian sebagai perubahan inventaris yang ditandatangani dikalikan dengan pergerakan harga berikutnya:

di mana $\Delta q$ adalah kuantitas aset berisiko yang diperoleh LP dalam perdagangan (negatif ketika LP menjual). Aliran yang terinformasi dan beracun membuat ini secara sistematis negatif: kumpulan membeli aset berisiko dari penjual yang benar, tepat sebelum harga jatuh, dan menjual kepada pembeli yang benar, tepat sebelum harga naik. Dirata-ratakan selama banyak pengisian, LP berada di sisi yang salah dari tick berikutnya — yang persis LVR terealisasi satu swap pada satu waktu.

Diukur per blok, ini menjadi metrik pemilihan yang merugikan yang bersih: ambil perubahan inventaris bersih LP selama satu blok dan tandai terhadap harga satu atau beberapa blok kemudian. Agregat selama masa posisi, jumlah markout per blok adalah LVR empiris. Alasan mengapa itu penting adalah bahwa angka markout biasanya jelek. Studi empiris sampel besar — dimulai dengan analisis Loesch, Hindman, Richardson, dan Welch tahun 2021 tentang posisi Uniswap v3 (studi Topaze Blue / Bancor) dan diperkuat oleh dasbor kuantifikasi LVR yang menyusul — menemukan bahwa sebagian besar LP v3, di banyak kumpulan utama sekitar setengah atau lebih, berkinerja buruk dibandingkan dengan hanya memegang token setelah IL dan pemilihan yang merugikan dikurangi dari biaya. Cartea, Drissi, dan Monga memformalkan kuantitas yang sama untuk likuiditas terkonsentrasi sebagai "kerugian yang dapat diprediksi," mencapai drift yang diskalakan volatilitas yang sama melalui jalur yang berbeda.

Pelajaran praktis untuk LP yang memantau buku langsung: APR biaya adalah angka kotor; biaya + markout adalah bersih. Posisi dapat menunjukkan hasil biaya yang sehat dan markout yang sangat negatif, dan jumlahnya adalah apa yang sebenarnya Anda peroleh. Arbitraseur yang merealisasikan markout itu terhadap Anda adalah pencari yang sama yang diprofilkan dalam artikel MEV dan mempool — backrun terhadap kutipan AMM yang usang setelah setiap pergerakan oracle adalah ekstraksi LVR, blok demi blok, dan itu adalah ujung spektrum MEV yang jinak dan mengoreksi harga bahkan ketika itu adalah ujung beracun dari PnL Anda.

Kapan LPing benar-benar mengalahkan holding

Runtuhkan semuanya ke keputusan yang dilayaninya. Lindung nilai risiko pasar dan posisi LP adalah +EV terhadap tolok ukurnya tepat ketika tingkat pendapatan biaya membersihkan tingkat LVR:

di mana $f$ adalah tingkat biaya kumpulan dan $\tau$ adalah perputaran — volume perdagangan dibagi dengan TVL, per unit waktu. Disusun ulang, kondisi tersebut adalah perbandingan dua volatilitas. Aliran biaya menyiratkan volatilitas impas

dan LP menang setiap kali volatilitas yang terealisasi datang di bawahnya. Ini adalah versi AMM dari tersirat-versus-terealisasi: kumpulan mengutip vol tersirat melalui hasil biayanya, dan menyediakan likuiditas adalah menjual varians pada tingkat itu. Beberapa titik referensi yang dikerjakan (perputaran jelas hipotetis, dipilih untuk mewakili kumpulan aktif):

• Kumpulan 0,05%, perputaran 1,0/hari (volume ≈ TVL harian): $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.0005 \cdot 1.0} \approx 6.3\%$ harian. Di bawah ~6,3% vol harian yang terealisasi, LP unggul.
• Kumpulan 0,30%, perputaran 0,2/hari: $\sigma^\ast = \sqrt{8 \cdot 0.003 \cdot 0.2} \approx 6.9\%$ harian.
• Stablecoin / pasangan berkorelasi, $\sigma \approx 0.2\%$ harian: LVR adalah $\sigma^2/8 \approx 5\times10^{-7}$ per hari — pada dasarnya tidak ada, karena LVR berskala dengan kuadrat volatilitas. Hampir semua hasil biaya membersihkannya.

Ketergantungan kuadrat itu adalah keseluruhan strategi dalam satu fakta. Membagi dua volatilitas pasangan akan mengurangi pendarahan seperempat, sementara hasil biaya tidak terpengaruh. Itulah mengapa keunggulan LP yang tahan lama hidup dalam pasangan σ rendah — pasangan stablecoin, pasangan token-staking-likuid/ETH, dan kaki berkorelasi erat lainnya — dan mengapa LP pasangan volatil adalah taruhan bahwa biaya luar biasa atau bahwa Anda dapat melakukan lindung nilai dan menyeimbangkan kembali lebih cepat daripada kumpulan yang berdarah.

import numpy as np

def breakeven_daily_vol(fee_tier: float, turnover: float) -> float:
    """Daily volatility at which fee income exactly offsets v2 (or in-range v3) LVR.
    fee_tier: pool fee as a fraction (0.0005 = 0.05%).
    turnover: daily trading volume / TVL."""
    daily_fee_yield = fee_tier * turnover
    return np.sqrt(8 * daily_fee_yield)

def lp_is_plus_ev(fee_tier, turnover, sigma_forecast) -> bool:
    """LP beats the rebalancing benchmark iff forecast vol < break-even vol."""
    return sigma_forecast < breakeven_daily_vol(fee_tier, turnover)

sigma_star = breakeven_daily_vol(0.0005, 1.0)   # ~0.063  (6.3%/day)
lp_is_plus_ev(0.0005, 1.0, sigma_forecast=0.045)  # 4.5% forecast -> True

Satu masukan yang menjadi dasar seluruh keputusan adalah $\sigma$ — bukan vol yang terealisasi bulan lalu, tetapi perkiraan vol yang terealisasi selama periode kepemilikan, yang persis merupakan masalah perkiraan volatilitas. Perkiraan volatilitas GARCH satu hari ke depan yang dimasukkan ke dalam $\sigma^\ast$ mengubah "apakah kumpulan ini membayar cukup" menjadi sinyal langsung yang dapat diperbarui: LP ketika perkiraan berada di bawah impas, menyingkir ketika pergeseran rezim volatilitas mendorongnya di atas.

Konsentrasi tidak mengubah rasio saat Anda berada dalam rentang — ia mengalikan hasil biaya dan LVR dengan $\Lambda$ yang sama, sehingga ketidaksetaraan biaya-versus-vol tidak bergantung pada skala dalam rentang. Apa yang diubahnya adalah segala sesuatu di sekitarnya: rentang yang ketat menghabiskan lebih sedikit waktu dalam rentang (tanpa biaya, IL beku saat keluar), dan menuntut penyeimbangan kembali aktif yang biaya gas dan markout masuk kembali adalah biaya nyata. Jadi aturan jujur untuk rentang ketat adalah sempit: benarkan hanya ketika perkiraan vol yang terealisasi rendah relatif terhadap lebar rentang, atau ketika Anda secara aktif mengelola dan melakukan lindung nilai posisi daripada mengaturnya dan melupakannya. Mekanika manajemen aktif itu — pemicu penyeimbangan kembali, lindung nilai delta inventaris kumpulan yang berubah, dan mengubah biaya − LVR menjadi strategi yang dilindung nilai — adalah subjek dari artikel pendamping tentang strategi LP Uniswap v3 dan lindung nilai.

Apa yang harus diambil

• Kerugian tidak permanen memiliki bentuk tertutup, $\text{IL}(r) = \frac{2\sqrt r}{1+r} - 1 = \operatorname{sech}(\tfrac12\ln r) - 1$, simetris dalam log-harga (pergerakan 2× dan −50% keduanya merugikan 5,72%) dan kuadrat dalam log-pengembalian di dekat entri — sidik jari pembayaran short-gamma.
• Likuiditas terkonsentrasi adalah IL yang dileverage. Kerugian divergensi absolut tidak berubah untuk $L$ tertentu, tetapi modal yang sama menyebarkan $\Lambda = 1/(1-\sqrt[4]{p_a/p_b})$ kali lebih banyak $L$, sehingga IL dan biaya berskala dengan $\Lambda$ — dan posisi membeku menjadi aset yang merugi setelah harga keluar dari rentang.
• LVR adalah kerugian yang bertahan dari lindung nilai. Dibandingkan dengan portofolio penyeimbang, kumpulan produk-konstan kehilangan $\sigma^2/8$ nilai per unit waktu terlepas dari biaya; PnL LP yang dilindung nilai adalah biaya − LVR − gas, hasil keuntungan varians pendek.
• Markout adalah LVR yang diukur pada pengisian nyata. Markout per blok mengukur pemilihan yang merugikan secara langsung, dan catatan empiris menunjukkan sebagian besar LP v3 negatif bersih dibandingkan dengan memegang setelah dihitung. APR biaya adalah kotor; biaya + markout adalah bersih.
• Keputusan adalah satu ketidaksetaraan. LP mengalahkan tolok ukurnya ketika hasil biaya melebihi $\sigma^2/8$, yaitu ketika vol yang terealisasi jatuh di bawah impas yang tersirat biaya $\sigma^\ast = \sqrt{8f\tau}$. Karena LVR berskala dengan $\sigma^2$, keunggulan hidup dalam pasangan berkorelasi volatilitas rendah — dan masukan yang menentukannya adalah perkiraan volatilitas.

Referensi

• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.
• Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. (2023). Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees. arXiv:2305.14604.
• Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B., Welch, N. (2021). Impermanent Loss in Uniswap v3. Topaze Blue / Bancor.
• Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023). Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision. SSRN / arXiv.
• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Fan, Z., Marmolejo-Cossío, F., Moroz, D., Neuder, M., Rao, R., Parkes, D. C. (2022). Strategic Liquidity Provision in Uniswap v3. arXiv:2106.12033.